《定积分在几何中的应用》课件.ppt

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1、 badxxfA)(一一. .定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？xyoA A 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。曲边梯形的面积曲边梯形的面积复习引入复习引入曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值, 0)( xf baAdxxf)(, 0)( xf baAdxxf)(badxxf)()(xfy ab 2、定积分定积分 的数值在的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。代数和来表示。1S2S3S321SSSdx

2、xfba )(xyoA AbadxxfxfA)()(312、)(1xfy )(2xfy abbadxxf)(二、二、微积分基本定理内容是什么？设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或记作baaFbFxxf)()(d)(解解:作出作出y2=x,y=x2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点

3、为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)1 12 20 0S S = =( ( x x - -x x ) )d dx x323102()|33xx.31 边边曲梯形OABC曲梯形OABDS= S-SoxyABCDO11200 xdxx dx01012:,xxyyyxyx解方程组得2xy yx2yx2yx2:,4yxyxx=8y=4解方程组得直线直线y=x-4与与x轴交点为轴交点为(4,0)88042(4)xdxxdx4881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx解解:作出作出y=x-4, 的图象的

4、图象如图所示如图所示:S1S22yx4 xy2yx80124 (84)2sxdx 38202 2|83x2 24016 2 833 4201(4)2syy dy234011(4)|26yyy2311404 444263 点评：点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .定积分在几何中的应用定积

5、分在几何中的应用1.求下列曲线所围成的图形的面积求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.332)32() 1 (312dxxxS1)()2(10dxeeSx解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy8281202222( 24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822024 22 21166426|(4 )|18332333xxxx28022 2( 24)xdxxxdx2解解: 求两曲线的交点求两曲线的交点:(0,0),( 2,4),(3,9). 236xyxxy32012

6、)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 2xy xxy63 1A2A思考题：思考题：在曲线在曲线y=xy=x2 2 (x0) (x0)上某点上某点A A处作切线处作切线, ,使之与曲线及使之与曲线及x x轴围成图形的面积为轴围成图形的面积为1/121/12。求过点求过点A A的切线方程的切线方程. .A Ax xy yo oy=xy=x2 2），设切点（200 xx02xk则，切线的斜率)(2y0020 xxxx2000)(2yxxxx即，0200221210 xxdxxSx12110 x解之得：; 12xy所以，切线方程为：三三.小结小结求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .