双曲线及其标准方程.ppt

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1、 1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程 2会用待定系数法求双曲线的标准方程 重点：双曲线的定义及其标准方程 难点：双曲线标准方程的推导1. 1. 说出椭圆定义以及定义中需要注意的问题说出椭圆定义以及定义中需要注意的问题等于等于常数常数2a ( 2a|F1F2|=2c0) 的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆.即即平面内平面内与两与两定点定点F1、F2的距离的的距离的 2. 引入问题：引入问题：等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的数学实验：数学实验：11取一条拉链；取一条拉链；22如图把它固定在如图把它固定在 板上

2、的两点板上的两点F F1 1、F F2 2；3 3 拉动拉链（拉动拉链（M M）。）。思考：思考：1 1、余下一段拉链的目的是什么？、余下一段拉链的目的是什么？ 2 2、谁是动点，谁是定点、谁是动点，谁是定点 3 3、给双曲线下定义、给双曲线下定义 焦点焦点F1、F2; 焦距焦距|F1F2|=2c.注意：注意：02a2c ；oF2F1M： 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（3）若）

3、若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？6|),0 , 5(),0 , 5()2(2121PFPFFF2222|(5)(5)|6xyxy 请说出下列方程对应曲线的名称：请说出下列方程对应曲线的名称：（3 3） （4 4） （两条射线两条射线） （双曲线（双曲线）（双曲线双曲线） （双曲线右支双曲线右支） 6|),0 , 5 (),0 , 5() 1 (2121PFPFFF6)3()3(2222yxyx二、双曲线标准方程二、双曲线标准方程F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：(1). (1). 建系设点建系设点. . 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段

4、F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系.(3).(3).坐标化坐标化设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0).(2).(2).列式列式|MF1| - |MF2|=2a(4).(4).化简化简aycxycx2)()(2222 1. 双曲线方程的推导双曲线方程的推导aycxycx2)()(2222 222222)(2)(ycxaycx 222)(ycxaacx即：)()(22222222acayaxac平方得：)0(222 bbac移项平方，得，0 ac可设双曲线的标准方程双曲线的标准方程=x2a2-y2b21(a0,b0)F2F1MOyx思考：思考：当双曲

5、线的焦点在当双曲线的焦点在y轴上时轴上时,它的标准方程它的标准方程是怎样的呢？是怎样的呢？A=x2a2-y2b21(a0,b0)F1F2oxyF1F2oxy（1 1）焦点在）焦点在x x轴上轴上（2 2）焦点在）焦点在y y轴上轴上22ax22by=122ay22bx=1c2=a2b2(a0, b0)思考：如何区分焦点位置？ 2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程看看x2、y2的系数正负的系数正负定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关系的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+

6、|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab221.1169xy223.11625xy 222.1169yx（5，0）（0，5 ）41, 0 （一）基础练习，规范格式（一）基础练习，规范格式1.1.判断下列双曲线的焦点在哪个轴上，并且写出焦点坐标及判断下列双曲线的焦点在哪个轴上，并且写出焦点坐标及其焦距？其焦距？2.2.已知已知a=4,b=3,a=4,b=3,焦点在焦点在x x轴上，求双曲线的方程轴上，求双曲线的方程;223.203xymm双曲线的一个焦点

7、是（ ， ），则-2例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6， （1）双曲线的标准方程为）双曲线的标准方程为_ （2）若）若 |F1|=10,则则|F2|=_4或或16221916xy（3）若）若|F1|= 7，则，则|F2|=_13（二）典型例题（二）典型例题例例2 2: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .22121xymm解解: :22121xymm 变式变式1 1：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2m 2222.(_).3

8、5156xymmmmABCD变变式式是是方方程程表表示示双双曲曲线线的的充充分分非非必必要要条条件件必必要要非非充充分分条条件件充充要要条条件件不不充充分分也也不不必必要要条条件件A 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线

9、在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3.(.(课本第课本第4747页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx

10、22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2 答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置的准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .1yxab22222222解：由题意可设双曲线的方程为解：由题意可设双曲线的方程为因为点因为点P1、P2在双曲线上，所

11、以有：在双曲线上，所以有：故所求双曲线的标准方程为：故所求双曲线的标准方程为：1169yx 2 22 2 例例4 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上轴上，并且双曲线上两点两点P1、P2的坐标分别为的坐标分别为9(3,42) , (,5) , 4 求双曲线求双曲线的标准方程的标准方程319()541bab 2 22 22 22 22 22 22 22 2( (4 42 2) )a a解得解得169ab 2 22 2变题：若去变题：若去掉掉焦点在焦点在y轴上的条件，如何？轴上的条件，如何？已知双曲线上两点已知双曲线上两点 P P1 1,P,P2 2的坐标分别为的坐标分别为 ,

12、 , ,求求双曲线的标准方程双曲线的标准方程. .(3, 4 2)9(,5)4方程 表示双曲线221mxny0mn1.用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤:(1)定位定位(确定焦点所在位置确定焦点所在位置)(2)定型定型(求求a,b,c的值的值)小小 结结 论论2.已知双曲线过两点已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点位而又不能确定其焦点位置时置时,可不讨论而设方程为可不讨论而设方程为Ax2-By2=1(AB0),避免讨论避免讨论.例例5.已知双曲线已知双曲线 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F1、F2,点点M为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点,并且并且

13、F1MF2=90o,求求F1MF2的面积的面积.221916xy例例6.已知已知B(-5,0),C(5,0)是是ABC的两个顶点的两个顶点,且且sinB-sinC= sinA,求顶点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.35解解:根据条件根据条件,由正弦定理得由正弦定理得: AC - AB =3/5 BC =6所以所以 点点A的轨迹为以的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支2a=6,c=5a=3,c=5,b=4所以所以A 的轨迹方程为的轨迹方程为22xy1916(x-3,y0):双曲线 :2 标准方程)0, 0(1122222222babxaybyax(3)(3)应用应用(1)(1)

14、定义定义: : | |MF1|- -|MF2| | =2a（02a|F1F2|）1. 方程方程mx2-my2=n中中mn0，则其表示焦点在，则其表示焦点在 轴上轴上 的的 .x 双曲线双曲线2. 若方程若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的轴上的 双曲线，则双曲线，则k .(-1, 1)3. 双曲线双曲线 的焦点坐标是的焦点坐标是 .1422ykx),(k 40 4. 双曲线双曲线 的焦距是的焦距是6，则，则k= . kyx222 6 5. 若方程若方程 表示双曲线，求实数表示双曲线，求实数k的的 取值范围取值范围. 15222kykx|-2k5当堂检测当堂检测