二次型及其标准型.pptx

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1、二次型及其标准型 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学第五第五章章 相似矩阵及二次型相似矩阵

2、及二次型 二二次次型型及及其其标标准准型型5.5教学要求教学要求1. 掌握掌握二次型及其有关二次型及其有关概念概念2.2. 掌握掌握化二次型为标准型化二次型为标准型的的两种方法两种方法 正交变换法正交变换法、配方法配方法精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型引引例例cossin ,sincos ,xxyyxy 221mxny221axbxycy对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线 ，只要选取适当的坐标旋转变换，只要选取适当的坐标旋转变换就可将曲线方程化为标准型就可将曲线方程化为标准型（二次齐次式

3、，只含平方项）（二次齐次式，只含平方项） 在在物理、力学及工程也有类似的问题，且往物理、力学及工程也有类似的问题，且往往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学一一 二二次次型型有有关关概概念念含有含有 n 个变量个变量 的二次齐次多项的二次齐次多项式式12,nx xx 212111121211,22nnnfx xxa xa x xa x x2222222nna xa x x2nnna x 2112

4、niiiijijiij na xa x x 称为称为 n 元二次型元二次型。,1nijiji ja x x ijjiaa 定义定义5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学二次型二次型主要主要问题问题寻找可逆的线性变换寻找可逆的线性变换11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 2221211122212121,1, 22nnnnnnnnfx xxa xa xa xa x xaxx2221122nnfk yk yk y二次型的

5、二次型的标准型标准型 规范规范型型222211pprfzzzz 作可逆变换作可逆变换 111|rrrkyzrnkyz 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型一一 二二次次型型有有关关概概念念精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 2221211122212121,1,1, 22 ijjinnnnnnnnaanijiji jfx xxa xa xa xa x xaxxa x x 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型 1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax AxTxTfx

6、 Ax A为为对称矩阵对称矩阵ijjiaa一一 二二次次型型有有关关概概念念精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学ijx x 222112211212000000nnnnnfk yk yk yykyyyyky （1） A一定一定是是对称对称阵阵；（4 4）标准型的矩阵为）标准型的矩阵为对角阵对角阵；（5 5）规范型的矩阵也是对角阵）规范型的矩阵也是对角阵, , （2 2） A 的对角线上的元素的对角线上的元素 恰为恰为 的系数，的系数，iia2ix222211pprfyyyy 对角对角元元只能只能为为1 1，-1-1或或0 0 。111212122212n

7、nnnnnaaaaaaAaaa ijjiaa （3 3） 是是 的的系数的系数的一半一半；5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型一一 二二次次型型有有关关概概念念精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学Tfx Ax 1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 称称实矩阵实矩阵 A 为二次型为二次型 f 的矩阵的矩阵。 f 与与 A可建立可建立一一对应一一对应的的关系关系,即给了二次即给了二次型型 ，就可以得到实对称矩阵，就可以得到实对称矩阵 A;反之，给出了一个实对称矩阵反之，给出了一个实对称矩阵

8、A，就可写出一个二，就可写出一个二次型次型 f 。12,nf x xxA的秩就是二次型的秩就是二次型 f 的秩的秩。一一 二二次次型型有有关关概概念念5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学212321223(,)24fxxxxx xx x 将将二次型二次型写成写成矩阵形式矩阵形式( )Tf xx Ax 课课堂堂练练习习 112323010112020 xfxxxxx 2R fR A答案答案，并，并求出求出 f 的秩。的秩。练习练习5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品

9、ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学二二正正交交变变换换法法前边提到将前边提到将二次型二次型化化为为标准标准型型的主要问题为：的主要问题为：寻找可逆的线性变换寻找可逆的线性变换 11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 记记12nxxxx 1111nnnnccccc 可可逆逆12nyyyy xcy Tfxx Ax TfcyA cy TTfy c Acy Tfyy12(,)ndiag k kk 得到标准型得到标准型2221122nnfk yk yk y5.5 5.5 二二 次次 型型

10、及及 其其 标标 准准 型型xcy 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学若若c 为正交矩阵为正交矩阵，在正交变换在正交变换xcy 下下就可将就可将 f 转化为标转化为标准型准型二二正正交交变变换换法法5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型 Tfxx Ax xcy TfcyA cy TTfy c Acy Tfyy12(,)ndiag k kk 得到标准型得到标准型2221122nnfk yk yk y前边提到将前边提到将二次型二次型化化为为标准标准型型的主要问题为：的主要问题为：寻找可逆的线性变换寻找可逆的线性变换 11111221

11、221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy xcy 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 Tfxx Ax xcy 12(,)ndiag 因为因为实二次型的矩阵实二次型的矩阵 A 为实对称方阵，故对为实对称方阵，故对任一任一个个 n 元元实二次型实二次型，一定可以找到，一定可以找到一个正交变换一个正交变换，使得，使得 TTTTfx Axyc Ac yyy2221122nnyyy其中其中C为正交阵为正交阵12,n 为实对称方阵为实对称方阵 A 的的特征值。特征值。其中其中1TCACC AC 如何得如何

12、得到到C呢呢定理定理5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型C的列向量是矩阵的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量，的两两正交的单位向量，其中第其中第j列是列是 j对应的特征向量对应的特征向量二二正正交交变变换换法法精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学求求正交变换正交变换xQy 将二次型将二次型 化化为标准为标准形。形。123121323(,)222f x xxx xx xx x 练习练习5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型课课堂堂练练习习P130 例例14练习练习1 1精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流

13、,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 合合同同的的定定义义与与性性质质设设 A和和B是是n阶矩阵阶矩阵, ,若有可逆矩阵若有可逆矩阵C，使，使 性质性质，我们称，我们称 A 与与 BTBC AC （1 1） 当当 C 为为正交阵正交阵时时，因而因而正交相似变换正交相似变换也是也是合同变换合同变换。1TCACC AC （2 2） A 与与 B 合同合同A，B 的特征值中的特征值中正正项个数和负项项个数和负项个数相等个数相等。定义定义合同合同。5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学配配方方法法 用

14、正交变换法化二次型成标准型，具有保持用正交变换法化二次型成标准型，具有保持 向量长度向量长度不变不变（设（设 Q为为 n阶正交阵，阶正交阵，y=Q x, ,则则 ）的的优点优点。如果不限于用正交变换，还。如果不限于用正交变换，还有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。配方法配方法yx 含有平方项含有平方项 xi2不含有平方项不含有平方项 xi2 ，只有交叉只有交叉项项 xi xj5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 化化二次型二次型成标准型，并求所用

15、的变换矩阵。成标准型，并求所用的变换矩阵。 解解 由于由于 f 中含变量中含变量 x1 的平方项的平方项,故把含故把含 x1 的项的项 归并归并起来，起来，配方配方可得可得22212312132325226fxxxx xx xx x22211213232322256 fxx xx xxxx x 22222123232323232256 xxxxxx xxxx x 2221232233=44 xxxxx xx不再含不再含x1继续配方继续配方，可得，可得 2212323=2fxxxxx例例 15.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型配配方方法法精品ppt文档收集于网络，仅供学

16、习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 化二次型化二次型1123223332 yxxxyxxyx 令令1123223332 xyyyxyyxy 即即就把就把 f 化成标准型（规范型化成标准型（规范型）2212fyy所用的所用的变换矩阵为变换矩阵为 111012 10001CC 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型成标准型，并求所用的变换矩阵。成标准型，并求所用的变换矩阵。22212312132325226fxxxx xx xx x例例 1 2212323=2fxxxxx配配方方法法精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 解解

17、 由于由于 f 中中不含平方项不含平方项, 含含 x1 x2 的乘积项的乘积项 ， 故令故令11221233 xyyxyyxy 代入可得代入可得221213232248fyyy yy y再再配方配方，得，得 22132332226fyyyyy令令 113223332262 zyyzyyzy 1110110001xyC y5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型配配方方法法成成规范规范型型，并求所用的变换矩阵。，并求所用的变换矩阵。121 323226fx xx xx x化化二次型二次型例例 2精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学令令

18、 113223332262 zyyzyyzy 即即111132612 223261 336yzzyzzyz 就把就把 f 化成规范型化成规范型222123,fzzz212016012260016yzzC 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型配配方方法法成成规范规范型型，并求所用的变换矩阵。，并求所用的变换矩阵。121 323226fx xx xx x化化二次型二次型例例 2110110001xy 22132332226fyyyyy 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学因为因为 x=c1y=c1c2z , 故故所用的变换矩阵所用的

19、变换矩阵为为12016110110012260010016C5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型配配方方法法成成规范规范型型，并求所用的变换矩阵。，并求所用的变换矩阵。121 323226fx xx xx x化化二次型二次型例例 2110110001xy 22132332226fyyyyy 1212361212160016精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学小小结结 二次型的二次型的标准型标准型显然显然不是唯一的不是唯一的，只是标准型，只是标准型中所含的项数（系数中所含的项数（系数0）确定（即是二次型的）确定（即是二次型的秩秩

20、。 在限定变换为实变换时，标准型中在限定变换为实变换时，标准型中正系数的个正系数的个数是不变的数是不变的（负系数的个数也不变）。这与选择的（负系数的个数也不变）。这与选择的线性变换无关线性变换无关。( )r A5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学求一可逆变换求一可逆变换将该二次型化成标准形，并求出将该二次型化成标准形，并求出规范形规范形。222123123121323 (,)+2+3+228f x xxxxxx xx xx x设设练习练习2 25.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标

21、 准准 型型课课堂堂练练习习222123123121323 (,)+2+3+228f x xxxxxx xx xx x解解：222123233+3-7xxxxxx（） （）222123+-7yyy 222123-zzz1123223333yxxxyxxyx 11232233323xyyyxyyxy 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学练习练习2 25.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型课课堂堂练练习习222123123121323 (,)+2+3+228f x xxxxxx xx xx x解解：222123233+3-7xxxxx

22、x（） （）222123+-7yyy 222123- zzz1123223333yxxxyxxyx 11232233323xyyyxyyxy 222123123 (,)-f x xxzzz112233(,7)zy zy zy112233(,7)zy zy zy 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学练习练习2 25.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型课课堂堂练练习习1123223333yxxxyxxyx 11232233323xyyyxyyxy 222123123 (,)-f x xxzzz所用的所用的可逆变换可逆变换为为练习练习2

23、 2222123123 (,)-f x xxzzz112233(,7)zy zy zy 112233112013001xyxyxy 123112100013010001007zzz 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 方程方程在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下表示什么曲面表示什么曲面？2221xyxzyz5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型课课堂堂练练习习练习练习3 3解：由练习解：由练习1（P130，例，例14）222fxyxzyz 的标准型为的标准型为222123fzzz 故故 2221xyxzyz在空间直角坐标系下在空

24、间直角坐标系下表示表示单页双单页双曲面曲面精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 222123123121323(,)222f x xxxxxax xx xbx x设二次型设二次型 试求试求 a ，b 及及经经正交变换正交变换 化化成成 ，5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型课课堂堂练练习习练习练习4 4经经正交变换正交变换 化化成成 ， x Qy 22232+fyy 解：二次型解：二次型 f x Qy 22232+fyy 正交阵正交阵Q 。意味着意味着 f 的矩阵的矩阵A的特征值为的特征值为0,1,20Aa b 22(21)AE

25、a 22(12 1) 00A Eaa 精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学惯惯性性定定理理 Tfxx Ax 设有设有二次型二次型 ，它的秩为，它的秩为 r 有两个有两个中中正数的正数的个数个数相等。相等。惯性定理惯性定理xCy 可逆可逆变换变换及及xPz 2221122 0rrifk yk yk yk使使 2221 122 0rrifzzz及及12,r 则则12,rk kk中正数的个数与中正数的个数与正惯性指数正惯性指数负负惯性指数惯性指数从而负数的个数也从而负数的个数也相等。相等。 设二次型设二次型 f 的的正正惯性指数惯性指数为为 p , ,秩秩为为

26、 r, ,则则 f 的的规范型规范型可确定为可确定为222211pprfyyyy 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学212321223(,)24f x xxxx xx x的的秩为秩为正惯性指数为正惯性指数为负负惯性指数惯性指数为为 正正（负）惯性指数（负）惯性指数等于等于 矩阵矩阵正正（负）特负）特征值的个数，即标准形征值的个数，即标准形中正中正（负）平方项（负）平方项的的个数。个数。 正正（负）特征值的（负）特征值的个数个数与与正正（负）（负）惯性指数惯性指数有什么关系？有什么关系？2 2

27、1 11 15.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型惯惯性性定定理理练习练习5 5精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学222123121323224fxxxx xx xx x1. 设设 经经正交变换正交变换化为化为 ，求，求，。22232fyy想想一一想想解：二次型解：二次型 f 意味着意味着 f 的矩阵的矩阵A的特征值为的特征值为0,1,202A 22(2)(2 )AE 22(11 2 ) 00A E 经经正交变换正交变换 化化成成 ， x Qy 22232+fyy 5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精

28、品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学 2. 设设二次型二次型 (b 0)，其其中中 f 的矩阵的矩阵 A的特征值之和的特征值之和为为 1，特征值之积为，特征值之积为12，（1） 求求 a, b的的值。值。（2） 用正交变换用正交变换化化 f 为为标准型，并写出所用的标准型，并写出所用的正交正交 变换及变换及对应的正交矩阵。对应的正交矩阵。22212313222faxxxbx x想想一一想想002002abAb 解：解：2221,| 2( 2)12aAab 1,2ab5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供

29、学习交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学3. 已知已知 的的秩为秩为2，求（求（1）c及及 A的特征值的特征值 （2）指出指出 f = 1表示何种曲面表示何种曲面。22212312132355266fxxcxx xx xx x想想一一想想解：解：的的秩为秩为2，意味着，意味着 A的行列式等于的行列式等于0 222123121323(1) 55266fxxcxx xx xx x由此求出由此求出 c =3 , A的特征值为的特征值为0,4,9表示椭圆柱面。表示椭圆柱面。3223(2) 491fyy5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习

30、交流,如有侵权请联系管理员删除大连事海大学4. 已知已知 的的秩为秩为2， （1）求求 a 的的值值； （2）求正交）求正交变换变换 X = QY，把把 f 化为化为标准标准形形; （3）求）求方程方程 f (x1, x2, x3) = 0的解的解。22212312(1)(1)22(1)fa xa xxa x x想想一一想想(3)(1) a =0 , A的特征值为的特征值为0,2,22221231222fxxxx x解：解：22123()20 xxx1231 010 xfxkx故故的的解解为为5.5 5.5 二二 次次 型型 及及 其其 标标 准准 型型精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除谢谢精品ppt文档收集于网络，仅供学习交流,如有侵权请联系管理员删除