2021-2022学年浙江省温州市十校联合体高二(上)期末数学试卷.pdf

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1、 1 2021-2021学年浙江省温州市十校结合体高二上期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1 4 分准线方程是 y=2 的抛物线标准方程是 Ax2=8y Bx2=8y Cy2=8x Dy2=8x 2 4 分直线 l1：xy+1=0 和 l2：xy+3=0，那么 l1与 l2之间间隔 是 A B C D2 3 4 分设三棱柱 ABCA1B1C1体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，那么三棱锥 EAFG 体积是 A B C D 4 4 分假设直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=

2、m 相切，那么 m 的值是 A0 或 2 B2 C D或 2 5 4 分在四面体 ABCD 中 命题：ADBC 且 ACBD 那么 ABCD 命题：AC=AD 且 BC=BD 那么 ABCD A命题都正确 B命题都不正确 C命题正确，命题不正确 D命题不正确，命题正确 6 4 分设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考察以下命题，其中正确的命题是 Am，n ，mn B，m，nmn C，m，nmn D，=m，nmn 7 4 分正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1的大小是 A B C D 8 4 分过点0，2的直线交抛物线 y2=16x 于 Ax1，y1 ，Bx2，

3、y2两点，且 y12y22=1，那么OABO 为坐标原点的面积为 A B C D 2 9 4 分在ABC 中，ACB=，AB=2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到PBC， 设二面角 PBCA 大小为 ， PB 与平面 ABC 所成角为 ， PC 与平面 PAB所成角为 ，假设 0，那么 A且 B且 C且 D且 10 4 分如图，F1，F2是椭圆 C1与双曲线 C2的公共焦点，点 A 是 C1，C2的公共点设 C1，C2的离心率分别是 e1，e2，F1AF2=2，那么 A B C D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11 6 分双曲线

4、 C：x24y2=1 的渐近线方程是 ，双曲线 C 的离心率是 12 6 分某空间几何体的三视图如以下图单位：cm ，那么该几何体的体积V= cm3，外表积 S= cm2 13 4 分抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，那么满足= 14 6 分直线 l1：y=mx+1 和 l2：x=my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，那么P 点横坐标是 用 m 表示 ，的最大值是 15 6 分四面体 ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1，那么该四面体体积的最大值是 ，外表积的最大值是 16 4 分过双曲线 G：a0，b0的右顶点 A 作斜率为 1

5、的直线 m，分别与两渐近线交于 B，C 两点，假设|AB|=2|AC|，那么双曲线 G 的离心率为 3 17 4 分在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是正方体棱上的一点不包括棱的端点 ，对确定的常数 m，假设满足|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数为 n，那么 n 的最大值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 14 分抛物线 C：y2=4x，直线 l：y=x+b 与抛物线交于 A，B 两点 假设|AB|=8，求 b 的值； 假设以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程 19 15 分在四棱锥 EAB

6、CD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点 O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点 求证：DE平面 ACF； 求证：BDAE； 假设 AB=CE， 在线段 EO 上是否存在点 G， 使 CG平面 BDE？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由 20 15 分如图，四棱锥 PABCD，PA底面 ABCD，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F 分别是 PC，PD 的中点 证明：EF平面 PAB； 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值 21 15 分点 Cx0，y0是椭圆+y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F1，0 假设圆 C 与

7、y 轴相切，务实数 x0的值； 假设圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围 22 15 分椭圆 C 的方程是，直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，假设 F1Ml，F2Nl，M，N 分别为垂足 证明：； 求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值 2021-2021学年浙江省温州市十校结合体高二上期末 4 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1 4 分准线方程是 y=2 的抛物线标准方程是 Ax2=8y Bx2=8y Cy2=8x Dy2=8x

8、 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x2=2pyp0 ， 抛物线的准线方程为 y=2， =2， p=4， 抛物线的标准方程为：x2=8y 应选 A 2 4 分直线 l1：xy+1=0 和 l2：xy+3=0，那么 l1与 l2之间间隔 是 A B C D2 【解答】解：平行直线 l1：xy+1=0 与 l2：xy+3=0， l1与 l2间的间隔 d=， 应选 C 3 4 分设三棱柱 ABCA1B1C1体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点，那么三棱锥 EAFG 体积是 A B C D 【解答】解：三棱柱 ABCA1B1C1体积为 V

9、， V=SABCAA1， E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中点， SAFG=， 三棱锥 EAFG 体积： VEAFG=SABCAA1= 5 应选：D 4 4 分假设直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，那么 m 的值是 A0 或 2 B2 C D或 2 【解答】解：圆 x2+y2=m 的圆心为原点，半径 r= 假设直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切，得圆心到直线的间隔 d=， 解之得 m=2舍去 0 应选 B 5 4 分在四面体 ABCD 中 命题：ADBC 且 ACBD 那么 ABCD 命题：AC=AD 且 BC=BD 那么 ABCD A命题都正确 B命题

10、都不正确 C命题正确，命题不正确 D命题不正确，命题正确 【解答】解：对于作 AE面 BCD 于 E，连接 DE，可得 AEBC，同理可得 AEBD，证得 E 是垂心，那么可得出 AECD，进而可证得 CD面 AEB，即可证出ABCD，故正确； 对于，取 CD 的中点 O，连接 AO，BO，那么 CDAO，CDBO， AOBO=O， CD面 ABO， AB 面 ABO， CDAB，故正确 应选 A 6 4 分设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考察以下命题，其中正确的命题是 Am，n ，mn B，m，nmn C，m，nmn D，=m，nmn 【解答】解：设 m、n 是两条不同的直

11、线，、 是两个不同的平面，那么： m，n ，mn 时，、 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正确 ，m，n 时，m 与 n 一定垂直，故 B 正确 6 ，m，n 时，m 与 n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故 C 错误 ，=m 时，假设 nm，n ，那么 n，但题目中无条件 n ，故 D也不一定成立， 应选 B 7 4 分正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1的大小是 A B C D 【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1， 那么 A1，0，0 ，

12、B1，1，0 ，B11，1，1 ，D10，0，1 ， =0，1，0 ，=1，1，1 ，=0，0，1 ， 设平面 ABD1的法向量 =x，y，z ， 那么，取 y=1，得， 设平面 BB1D1的法向量 =a，b，c ， 那么，取 a=1，得 =1，1，0 ， 设二面角 ABD1B1的大小为 ， 那么 cos=， = 二面角 ABD1B1的大小为 应选：C 8 4 分过点0，2的直线交抛物线 y2=16x 于 Ax1，y1 ，Bx2，y2两点，且 y12y22=1，那么OABO 为坐标原点的面积为 A B C D 【解答】解：设直线方程为 x=my+2m，代入 y2=16x 可得 y216my32

13、m=0， 7 y1+y2=16m，y1y2=32m， y1y22=256m2+128m， y12y22=1， 256m2256m2+128m=1， OABO 为坐标原点的面积为|y1y2|= 应选：D 9 4 分在ABC 中，ACB=，AB=2BC，现将ABC 绕 BC 所在直线旋转到PBC， 设二面角 PBCA 大小为 ， PB 与平面 ABC 所成角为 ， PC 与平面 PAB所成角为 ，假设 0，那么 A且 B且 C且 D且 【解答】解：在ABC 中，ACB=，AB=2BC， 可设 BC=a，可得 AB=PB=2a，AC=CP=a， 过 C 作 CH平面 PAB，连接 HB， 那么 PC

14、 与平面 PAB 所成角为 =CPH， 且 CHCB=a， sin=； 由 BCAC，BCCP， 可得二面角 PBCA 大小为 ，即为ACP， 设 P 到平面 ABC 的间隔 为 d， 由 BC平面 PAC， 且 VBACP=VPABC， 即有BCSACP=dSABC， 即aaasin=daa 解得 d=sin， 那么 sin=， 8 即有 另解：由 BCAC，BCCP， 可得二面角 PBCA 大小为 ，即为ACP 以 C 为坐标原点，CA 为 x 轴，CB 为 z 轴，建立直角坐标系 Oxyz， 可设 BC=1，那么 AC=PC=，PB=AB=2， 可得 Pcos，sin，0 ， 过 P 作

15、 PMAC，可得 PM平面 ABC， PBM=，sin=， 可得 ； 过 C 作 CN 垂直于平面 PAB，垂足为 N， 那么CPN=， sin= 应选：B 10 4 分如图，F1，F2是椭圆 C1与双曲线 C2的公共焦点，点 A 是 C1，C2的公共点设 C1，C2的离心率分别是 e1，e2，F1AF2=2，那么 A B C D 【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tan， e1=， a1=， b12=a12c2=c2， =c2tan 9 根据双曲线的几何性质可得，=， a2=， b22=c2a22=c2=c2 =c2， c2tan=c2， sin2=cos2， ， 应选：B 二、填

16、空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11 6 分双曲线 C：x24y2=1 的渐近线方程是 y=x ，双曲线 C 的离心率是 【解答】解：双曲线 C：x24y2=1， 即为=1， 可得 a=1，b=，c=， 可得渐近线方程为 y=x； 离心率 e= 故答案为：y=x； 12 6 分某空间几何体的三视图如以下图单位：cm ，那么该几何体的体积V= cm3，外表积 S= cm2 【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三 10 棱锥， 所以V=cm3，S=+= 故答案为：； 13 4 分抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线与

17、 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，那么满足= 【解答】解：设 N 到准线的间隔 等于 d，由抛物线的定义可得 d=|NF|， 由题意得 cosNMF= NMF= 故答案为： 14 6 分直线 l1：y=mx+1 和 l2：x=my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，那么P 点横坐标是 用 m 表示 ，的最大值是 【解答】解：直线 l1：y=mx+1 和 l2：x=my+1 相交于点 P， ， x=mmx+1+1， 解得 x=， y=m+1=， P 点横坐标是； =， ， =+=2，且 m=0 时“=成立； 的最大值是 故答案为：， 15 6 分四面体 ABCD 中，AB=AC=BC=

18、BD=CD=1，那么该四面体体积的最大值 11 是 ，外表积的最大值是 +1 【解答】解：四面体 ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1， 当平面 ABC平面 BDC 时，该四体体积最大， 此时，过 D 作 DE平面 ABC，交 BC 于 E，连结 AE， 那么 AE=DE=， 该四面体体积的最大值： Smax= ABC，BCD 都是边长为 1 的等边三角形， 面积都是 S=， 要使外表积最大需ABD，ACD 面积最大， 当 ACCD，ABBD 时，外表积取最大值， 此时=， 四面体外表积最大值 Smax=1+ 故答案为：， 16 4 分过双曲线 G：a0，b0的右顶点 A 作斜率为

19、1 的直线 m，分别与两渐近线交于 B，C 两点，假设|AB|=2|AC|，那么双曲线 G 的离心率为 或 【解答】解：由题得，双曲线的右顶点 Aa，0 所以所作斜率为 1 的直线 l：y=xa， 假设 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 Bx1，y1 ，Cx2，y2 联立其中一条渐近线 y=x，那么 ， 解得 x2=； 同理联立 ， 12 解得 x1=； 又因为|AB|=2|AC|， i当 C 是 AB 的中点时，那么 x2=2x2=x1+a， 把代入整理得：b=3a， e=； ii当 A 为 BC 的中点时，那么根据三角形相似可以得到， x1+2x2=3a， 把代入整理得：a=3b

20、， e= 综上所述，双曲线 G 的离心率为或 故答案为：或 17 4 分在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是正方体棱上的一点不包括棱的端点 ，对确定的常数 m，假设满足|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数为 n，那么 n 的最大值是 12 【解答】解：正方体的棱长为 1， BD1=， 点 P 是正方体棱上的一点不包括棱的端点 ， 满足|PB|+|PD1|=m， 点 P 是以 2c=为焦距，以 2a=m 为长半轴的椭圆， P 在正方体的棱上， P 应是椭圆与正方体与棱的交点， 结合正方体的性质可知， 满足条件的点应该在正方体的 12 条棱上各有一点 满足条件 满足

21、|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数 n 的最大值是 12， 13 故答案为 12 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 14 分抛物线 C：y2=4x，直线 l：y=x+b 与抛物线交于 A，B 两点 假设|AB|=8，求 b 的值； 假设以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程 【解答】解： 设 Ax1，y1 ，Bx2，y2 ，由抛物线 C：y2=4x，直线 l：y=x+b 得 y2+4y4b=02 分 |AB|=|y1y2|=85 分 解得 b=17 分 以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，设 AB 中点为 M |AB|=

22、|y1+y2|又 y1+y2=49 分 4=解得 b= ，那么 M，212 分 圆方程为x2+y+22=414 分 19 15 分在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点 O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点 求证：DE平面 ACF； 求证：BDAE； 假设 AB=CE， 在线段 EO 上是否存在点 G， 使 CG平面 BDE？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由 【解答】解： I连接 OF由 ABCD 是正方形可知，点 O 为 BD 中点 又 F 为 BE 的中点， 所以 OFDE 又 OF 面 ACF，DE面 ACF， 所以 DE平面 ACF

23、 4 分 II 证明：由 EC底面 ABCD，BD 底面 ABCD， 14 ECBD， 由 ABCD 是正方形可知，ACBD， 又 ACEC=C，AC、E 平面 ACE， BD平面 ACE， 又 AE 平面 ACE， BDAE9 分 III ：在线段 EO 上存在点 G，使 CG平面 BDE理由如下： 取 EO 中点 G，连接 CG， 在四棱锥 EABCD 中，AB=CE，CO=AB=CE， CGEO 由可知，BD平面 ACE，而 BD 平面 BDE， 平面 ACE平面 BDE，且平面 ACE平面 BDE=EO， CGEO，CG 平面 ACE， CG平面 BDE 故在线段 EO 上存在点 G，

24、使 CG平面 BDE 由 G 为 EO 中点，得14 分 20 15 分如图，四棱锥 PABCD，PA底面 ABCD，ABCD，ABAD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F 分别是 PC，PD 的中点 证明：EF平面 PAB； 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值 【解答】 证明：因为 E，F 分别是 PC，PD 的中点，所以 EFCD， 又因为 CDAB，所以 EFAB， 又因为 EF平面 PAB，AB 平面 PAB， 所以 EF平面 PAB 解：取线段 PA 中点 M，连结 EM，那么 EMAC， 故 AC 与面 ABEF 所成角的大小等于 ME 与面 ABEF 所成角的大小

25、 作 MHAF，垂足为 H，连结 EH 因为 PA平面 ABCD，所以 PAAB， 又因为 ABAD，所以 AB平面 PAD， 15 又因为 EFAB， 所以 EF平面 PAD 因为 MH 平面 PAD，所以 EFMH， 所以 MH平面 ABEF， 所以MEH 是 ME 与面 ABEF 所成的角 在直角EHM 中，EM=AC=，MH=，得 sinMEH= 所以 AC 与平面 ABEF 所成的角的正弦值是 21 15 分点 Cx0，y0是椭圆+y2=1 上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F1，0 假设圆 C 与 y 轴相切，务实数 x0的值； 假设圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，求|FA|

26、FB|的取值范围 【解答】解： 当圆 C 与 y 轴相切时，|x0|=， 2 分 又因为点 C 在椭圆上，所以， 3 分 解得， 5 分 因为，所以 6 分 圆 C 的方程是xx02+yy02=x012+， 令 x=0，得 y22y0y+2x01=0， 设 A0，y1 ，B0，y2 ，那么 y1+y2=2y0，y1y2=2x01， 8 分 由，及得22x02+2， 又由 P 点在椭圆上，x0，所以， 10 分 |FA|FB|=12 分 = = 16 =， 14 分 所以|FA|FB|的取值范围是4，2+2 15 分 22 15 分椭圆 C 的方程是，直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有

27、一个公共点，假设 F1Ml，F2Nl，M，N 分别为垂足 证明：； 求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值 【解答】解： 证明：将直线的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12中， 得4k2+3x2+8kmx+4m212=0 由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知， =64k2m244k2+3 4m212=0， 化简得：m2=4k2+3 设 d1=|F1M=，d2=|F2M|=， d1d2=3， |F1M|+|F2M|=d1+d2=2 当 k0 时，设直线的倾斜角为 ， 那么|d1d2|=|MN|tan|，|MN|=， S=|MN|d1+d2=， m2=4k2+3，当 k0 时，|m|， +=， S 当 k=0 时，四边形 F1MNF2是矩形， 17 所以四边形 F1MNF2面积 S 的最大值为 2