九下各章介绍.ppt

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1、人教版义务教育教科书人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍数学九年级下册介绍新中国教育出版事业从这里开始新中国教育出版事业从这里开始人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室 李龙才李龙才数学九年级下册章 名课 时第二十六章 反比例函数8课时第二十七章 相似 14课时第二十八章 锐角三角函数12课时第二十九章 投影与视图10课时（一）内容安排（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题（二）编写时考虑的几个问题（三）对教学的几个建议（三）对教学的几个建议分章介绍第第二十六二十六章章 反比例函数反比例函数26.1 反比例函数反比例函数 3课时课时26.2 实际问题与反比例函数实际问题与反比例函

2、数 4课时课时数学活动数学活动小结小结 1课时课时 本章包括反比例函数的概念、图象及本章包括反比例函数的概念、图象及其性质，实际问题与反比例函数其性质，实际问题与反比例函数。 本章本章首先从现实世界中具有反比例关首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度描述反比系的实例出发，从函数角度描述反比例关系，再次经历用函数研究变化规例关系，再次经历用函数研究变化规律的过程，认识反比例函数律的过程，认识反比例函数 （k为常为常数，数，k0）中两个变量）中两个变量x，y之间的依之间的依赖关系：在变量赖关系：在变量y随变量随变量x的变化而变的变化而变化的过程中化的过程中它们它们的积的积xy始终保持

3、不始终保持不变（变（xy=k）；然后用）；然后用“描点描点”法画法画出反比例函数的图象，观察图象并出反比例函数的图象，观察图象并结合解析式，得出反比例函数的性结合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决简单质；最后运用反比例函数解决简单的实际问题。的实际问题。一、一、内容安排内容安排1. 本章知识结构框图本章知识结构框图 两条主线两条主线 模型思想模型思想 研究函数的套路研究函数的套路2. 内容概述内容概述基础：基础：函数的概念、函数的表示方函数的概念、函数的表示方法以及反比例法以及反比例关系关系研究方法：类比研究方法：类比正比例正比例函数、一次函数、一次函数和二次函数的研究方法函

4、数和二次函数的研究方法章引言章引言26. 1 反比例反比例函数函数 概念、图象和概念、图象和性质性质 反比例反比例函数的函数的解析式解析式由常数由常数k唯一唯一确定确定 通过通过描点画图，得出其图象，然后通过图描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其象，并结合解析式研究其性质性质 k0，k0时的情形。对时的情形。对k0，先研究，先研究具体的具体的k=6，12时反比例函数的图象，然时反比例函数的图象，然后归纳得到后归纳得到k0时反比例函数的图象特征时反比例函数的图象特征和性质：图象是双曲线；图象分别位于第和性质：图象是双曲线；图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，一、第三象限

5、；在每一个象限内，y随的随的x增大而减小增大而减小。 然后然后类比类比k0的情形，研究的情形，研究k0的的情形情形。横向联系横向联系 物理物理背景背景 路程、速度与时间，电流、电阻与电压，路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容理问题是反比例函数研究的重要内容。 “a=bc”型数量关系的物理问题，我们都型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们。认识它们。数形

6、结合数形结合 从从图象上可以观察函数的变化规律，整体图象上可以观察函数的变化规律，整体上把握函数的性质，但是难以深入局部和上把握函数的性质，但是难以深入局部和细节。而解析式可以对函数的性质进行无细节。而解析式可以对函数的性质进行无限限“解读解读”，但很抽象，不直观，但很抽象，不直观。 “数缺形时少直观，形少数时难入微；数数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，一朝分家万事休形结合百般好，一朝分家万事休”数学模型数学模型 章引言章引言 “思考思考”栏目栏目 “实际问题与反比例函数实际问题与反比例函数”三、对本章教学的建议三、对本章教学的建议1. 从变量角度进一步加深对函数的认识从变量角度

7、进一步加深对函数的认识 函数函数定义突出了变化与对应思想，其内定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定一确定。 函数函数的内涵非常丰富，与数、式、方程的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常等联系非常紧密紧密。2. 增减性增减性 我们我们只研究增减性。增减性是基本要求，必只研究增减性。增减性是基本要求，必须掌握。须掌握。渐近性是指双曲线在其所在象限与坐标轴越渐近性是指双曲线

8、在其所在象限与坐标轴越来越近，但永远不与它们相交来越近，但永远不与它们相交；对称性对称性是指双曲线关于直线是指双曲线关于直线y=x对称，关于对称，关于原点中心对称原点中心对称；相对相对于原点的位置是指当于原点的位置是指当k取不同值时，双曲取不同值时，双曲线相对于原点位置的线相对于原点位置的远近。远近。27.1 图形的相似图形的相似 2课时课时27.2 相似三角形相似三角形 7课时课时27.3 位似位似 3课时课时数学活动数学活动小结小结 2课时课时相似图形与相似多边形相似图形与相似多边形相似三角形相似三角形的判定、性质和应用的判定、性质和应用位似位似图形及应用图形及应用第二十七章 相似（一）内

9、容安排知识结构相似多边形相似多边形相似三角形相似三角形相似图形相似图形应用应用相似三角形相似三角形的判定的判定相似三角形相似三角形的性质的性质位似图形位似图形 主线：研究几何问题的套路（思路和方法）主线：研究几何问题的套路（思路和方法）,性性质、判定质、判定课标变化课标变化 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例截，所得的对应线段成比例。（明确化）（明确化） *了解相似三角形判定定理的证明。了解相似三角形判定定理的证明。1. 相似相似多边形多边形的的性质性质由由其其定义定义直接直接推出推出2. “27.2 相似三角形相似三角形”按照按照

10、“判定判定性质性质应用应用”的的顺序顺序展开展开3. 在讲在讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导（一）内容安排主要变化相似多边形的相似多边形的性质性质由由其其定义直接推出定义直接推出 主要变化举例过去过去主要变化举例现在现在 按照按照“判定判定性质性质应用应用”的的顺序研究相似三角形顺序研究相似三角形 主要变化举例过去过去现在现在主要变化举例讲讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导 过去过去现在现在重点：重点：三角形三角形相似相似的判定的判定和性质和性质难点：难点：相似三角形判定定理的相似三角形判定定理的证明证明思想方法：研究几何问题的基本思路和方法思想方法：

11、研究几何问题的基本思路和方法 （一）内容安排重点、难点和 思想方法相似相似对内容的认识对内容的认识 初中几何，包括图形的认识、测量、运动初中几何，包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。或变化、性质和证明以及位置等。 相似是相似是“图形的变化图形的变化”的主要内容，研究的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，图形的位的主题是图形形状之间的关系，图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是似还涉及图形的位置关系，因此也是“图图形的认识形的认识”的深化；投影与视图则是在三的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出维图形与二维图形的转化中，体现出“图图形的变化形的变化

12、”。两种两种“图形的变换图形的变换” 轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；位置但不改变图形的形状和大小； 相似变换：改变了图形的位置和大小，图相似变换：改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变。形的形状则保持不变。 三角形的相似是三角形的相似是“相似相似”的核心内容。的核心内容。 “相似相似”与与“全等全等”一般与特殊。一般与特殊。 类比全等三角形，安排相似的内容，引导类比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。际测量中的应用。 位似图形是一种具

13、有特殊位置关系的相似位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐标系中研究位似，用坐标之间的关系表示标系中研究位似，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想。想。“相似相似”的内容结构的内容结构 图形的相似图形的相似 通过生活实例，在学生感受相似图形的基通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出相似多边形概念，并从定义出发给出判出相似多边形概念，并从定义出发给出判定两个多边形相似的方法，以及相似多边定两个多边形

14、相似的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。形对应角相等、对应边成比例的性质。相似三角形相似三角形 按照按照“定义定义判定判定性质性质应用应用”的顺序展开。的顺序展开。 定义：相似图形的特殊化，既是判定也是定义：相似图形的特殊化，既是判定也是性质。性质。 判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任务。判定三角形相似的任务。“判定定理判定定理”的构建过程的构建过程 从定义出发，关键是从定义出发，关键是“对应边成比例对应边成比例”； 通过旋转、平移等变换，移到通过旋转、平移等变换，移到“一个角重一个角重合、一条边平行合、一条边平行”的位

15、置，于是的位置，于是“平行截平行截割割”成为出发点成为出发点基本事实；基本事实； 特殊化：平行于三角形一边的直线截其他特殊化：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；段成比例； 预备定理：平行于三角形一边的直线和其预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似； 三个判定定理；三个判定定理； 特殊化：相似直角三角形的判定定理。特殊化：相似直角三角形的判定定理。 降低了难度但保持了相似三角形的主干内降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。

16、容，体现了公理化思想。“性质定理性质定理”的构建过程的构建过程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想化思想 按照从按照从一般到特殊的一般到特殊的顺序呈现顺序呈现研究研究对象对象 按照按照“判定判定性质性质应用应用”的顺序研究相似三角形的顺序研究相似三角形 由由相似相似多边形多边形的的定义定义直接推出直接推出相似三角形的性质相似三角形的性质 在在讲讲相似三角形相似三角形的性质前加强引导的性质前加强引导（二）编写时考虑的几个问题之一“重视渗透研究几何图形的基本套

17、路，体现公理化思想”举例按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象相似图形相似图形相似多边形相似多边形相似形的相似形的现实模型现实模型相似三角形相似三角形判定判定性质性质应用应用重视培养学生的推理论证重视培养学生的推理论证能力能力 继续继续运用运用直观操作和逻辑推理相结合的方式直观操作和逻辑推理相结合的方式研究研究 几何图形几何图形 加强加强证明思路的引导证明思路的引导（二）编写时考虑的几个问题之二继续运用继续运用直观操作和逻辑推理相结合的直观操作和逻辑推理相结合的方式研究方式研究几何图形几何图形“重视培养学生的推理论证能力”举例类比类比猜想猜想实验实验验证验证推理推

18、理证明证明加强证明思路的引导加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例加强证明思路的引导加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例“三边三边”情况情况“两边两边和夹角和夹角”情况情况（二）编写时考虑的几个问题之三加强知识间的加强知识间的联系联系 相似相似图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸，通过类比全等的内容来展开相似的研究内容通过类比全等的内容来展开相似的研究内容章引言类比章引言类比“全等三角形全等三角形”一章研究的主要内容，

19、一章研究的主要内容，提出本章要研究的主要问题提出本章要研究的主要问题“加强知识间的联系”举例类比判定三角形全等的类比判定三角形全等的SSSSSS，SASSAS，HLHL方法，让学方法，让学生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求判定三角形相似的简捷方法的角度来寻求判定三角形相似的简捷方法“加强知识间的联系”举例在在章小结中，章小结中，总结本章的总结本章的研究思路研究思路“加强知识间的联系”举例相似三角形判定定理的证明中体现的联系相似三角形判定定理的证明中体现的联系“加强知识间的联系”举例相似三角相似三角形的判定形的判定定理定理平行线分平行

20、线分线段成比线段成比例的基本例的基本事实事实边对应成比例边对应成比例平行于三角形一边平行于三角形一边的直线截其他两边的直线截其他两边（或两边的延长（或两边的延长线），所得的对应线），所得的对应线段成比例线段成比例平行于三角形一边平行于三角形一边的直线和其他两边的直线和其他两边相交，所构成的三相交，所构成的三角形与原三角形相角形与原三角形相似似应用到三应用到三角形中角形中证明证明引理引理（二）编写时考虑的几个问题之四注意注意联系实际联系实际相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接例子，相

21、似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接应用相似三角形判定和性质的实例也很多应用相似三角形判定和性质的实例也很多“注意联系实际”举例（三）对教学的几个建议之一在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学究几何图形的基本套路贯穿全章的教学 类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法，构建大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法

22、，构建本章内容的基本线索，使学生对将学习的内容做到心中本章内容的基本线索，使学生对将学习的内容做到心中有数有数 在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现性质，再给出证明性质，再给出证明（三）对教学的几个建议之二进一步培养学生的推理论证能力进一步培养学生的推理论证能力 教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导

23、学生写出完整的证明过程同时注意根据教学内容及学生写出完整的证明过程同时注意根据教学内容及时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、完成证明完成证明（三）对教学的几个建议之三注意把握好教学要求注意把握好教学要求 教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的重点内容重点内容 只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学生理解它的基本含义即可生理解它的基本含义即可 不应过多涉及平行线分线段成比例的基本事实的应用，不应过多涉及平行线分线段成比例的

24、基本事实的应用，主要由它来推出判定三角形相似的第一种判定方法主要由它来推出判定三角形相似的第一种判定方法 对于本章的重点内容，不应该满足于对于本章的重点内容，不应该满足于“探索探索”，应该让，应该让学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证明相似三角形的判定定理明相似三角形的判定定理281 锐角三角函数锐角三角函数 约约6课时课时282 解直角三角形及应用解直角三角形及应用 约约4课时课时数学活动数学活动 小结小结 约约2课时课时第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数一、内容安排一、内容安排知识结构图知识结构图1.1. 进一步加强进

25、一步加强“双基双基”基础知识、基本技能。基础知识、基本技能。2.2. 章章小结小结中加强对本章知识的梳理，突出与相关中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系内容的联系。3.3.调整章节结构调整章节结构, ,使脉络更清晰。使脉络更清晰。4.4.将原教材正文中将原教材正文中“山坡的高度山坡的高度”的内容改写成的内容改写成“阅读与思考阅读与思考 山坡山坡的高度的高度”。 一、内容安排一、内容安排主要变化主要变化进一步进一步加强加强“双基双基”基础知识、基本基础知识、基本技能技能加强基本概念的巩固、应用加强基本概念的巩固、应用加强基本技能的训练加强基本技能的训练 章章小结小结中加强对本章知识的梳理

26、，突出与相关内中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系容的联系 梳理知识梳理知识 突出与相关内容的联系突出与相关内容的联系请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 调整调整章节结构章节结构, ,使脉络更使脉络更清晰清晰修改原教材的修改原教材的“28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形”的标题，并拆的标题，并拆分成两小节：分成两小节：28.2 28.2 解直角三角形及应用解直角三角形及应用28.2.1 28.2.1 解直角三角形解直角三角形28.2.2 28.2.2 应用举例应用举例将原教材正文将原教材正文中中“山坡的高度山坡的高度”的内容改写成的

27、内容改写成“阅读与思考阅读与思考 山坡的高度山坡的高度” 重点：重点：锐角锐角三角函数三角函数的概念、解直角三角形及其简的概念、解直角三角形及其简单应用单应用 难点：难点：锐角三角函数定义的合理性锐角三角函数定义的合理性、锐角三角函数锐角三角函数的符号表示、综合运用锐角三角函数等知识的符号表示、综合运用锐角三角函数等知识解直角解直角三角形三角形 思想方法：思想方法：锐角三角函数锐角三角函数定义过程定义过程中中从从特殊到一般特殊到一般的的方法方法，利用，利用解直角三角形知识解直角三角形知识解决实际解决实际问题时的问题时的模型思想与方法。模型思想与方法。 一、内容安排一、内容安排重点、难点和思想方

28、法重点、难点和思想方法锐角的正弦的定义锐角的正弦的定义 先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30角所对的边角所对的边是斜边的一半是斜边的一半”，得到，得到30角所对的边与角所对的边与斜边的比值；再讨论斜边的比值；再讨论45角所对的边与斜角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把定而唯一确定，把RtABC中锐角中锐角A的对边的对边与斜边的比叫做与斜边的比叫做A的正弦。的正弦。锐角三角函数概

29、念的展开锐角三角函数概念的展开 课题的引入课题的引入 从实际需要看（比萨斜塔纠偏从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。与角有没有确定的关系？）。 概念属性的归纳概念属性的归纳 例证例证1 从最熟悉的从最熟悉的开始，开始，30角所对角所对的边与斜边的比值的边与斜边的比值是是1/2 。 例证例证2 等腰直角三角形中，锐角等腰直角三角形中，锐角A的对边与的对边与斜边的比是多少？斜边的比是多少？ 归纳：特殊直角三角形归纳：特殊直角三角形对边与对边

30、与斜边比的属斜边比的属性性 研究一般直角三角形：任意给定锐角研究一般直角三角形：任意给定锐角A，A的对边与斜边的比值是否为一个确定的的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？值？ 概念的明确与表示概念的明确与表示 下定义，用符号表示。下定义，用符号表示。 定义的辨析定义的辨析 （1）A为为RtABC的锐角，的锐角， ABC的大小可以变化，但的大小可以变化，但A的对边与斜的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符号）符号sinA的理解的理解一个由一个由A唯一确定的

31、数，例如唯一确定的数，例如sin30=1/2 ；等。；等。 概念的巩固应用概念的巩固应用 已知直角三角形的边求正已知直角三角形的边求正弦值等。弦值等。 概念的精致概念的精致 解直角三角形。解直角三角形。关于关于“解三角形解三角形” 教学设计中，加强思想方法、解决问题的教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：策略等方面的思考： 如何发现问题；如何发现问题； 从定性到定量地研究问题；从定性到定量地研究问题； 将新问题化归为旧问题；将新问题化归为旧问题； 从知识的相互联系性思考问题；等等。从知识的相互联系性思考问题；等等。如何研究一个数学对象（问题）如何研究一个数学对象（问题） 数学中

32、，往往是在定性研究问题后，希望数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事实基本事实”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的问题？，你能提出什么新的问题？ 六个要素中，只要知道三个（其中至少有六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。出其余三个要素。

33、关于解直角三角形关于解直角三角形1 1创设情境创设情境，引入核心，引入核心内容内容 数学数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体的发展来源于实际需要或数学内部的需要为了体现本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意现本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意从从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入 二、编写时考虑的几个问题二、编写时考虑的几个问题 实际问题实际问题案例：如何案例：如何引出本章的主要内容引出本章的主要内容 章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中心线

34、与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的问题的问题，引出本章所要研究的主要内容引出本章所要研究的主要内容。 引出本章所要研究的主要内容引出本章所要研究的主要内容案例案例：引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式 从从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节题，也是关键环节 在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论在解决这个

35、实际问题的过程中，需要用到结论“在直角在直角三角形中，三角形中， 角所对的边是斜边的一半角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为，其等价形式为“在在直角三角形中，直角三角形中， 角所对的边与斜边的比总是常数角所对的边与斜边的比总是常数 ”，后者，后者反映了直角三角形中反映了直角三角形中 角和该角的对边与斜边的比之间的对应角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系关系。 由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具

36、体内容和方式而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式案例：案例：引出解直角三角形的内容引出解直角三角形的内容 在在“28.2.1解直角三角形解直角三角形”的开始部分，教的开始部分，教科书回去解决章引言中比萨斜塔的倾斜程度的问科书回去解决章引言中比萨斜塔的倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的两边求题，这个问题实际上是已知直角三角形的两边求其锐角，它属于解直角三角形的范畴，由此比较其锐角，它属于解直角三角形的范畴，由此比较自然地引出解直角三角形的内容自然地引出解直角三角形的内容2. 加强知识间的联系加强知识间的联系 加强加强锐角锐角三角函数与三角函数与相似三角形的联系相似三角形的

37、联系相似三角形相似三角形的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用“相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例”才能得到锐角三角函数定才能得到锐角三角函数定义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充分利用了这种联系性分利用了这种联系性 加强加强解直角三角形解直角三角形与与全等的判定全等的判定、勾股定理勾股定理等等的联系的联系加加强强解直角三角形解直角三角形与直角三角形与直角三角形全全等的等的判定判定定理的联系定理的联系直角三角形直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它全等的判定定理

38、是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用加强加强解直角三角形解直角三角形与勾股定理等的联系与勾股定理等的联系关系：关系：有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余以及勾股定理，就可进一步地由这两个元锐角互余以及勾股定理，就可进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定形可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系从联定理、

39、勾股定理等已学知识有着密切的联系从联系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关知识，提高综合应用能力等都很有帮助知识，提高综合应用能力等都很有帮助 3 3加强探究性，发展学生的思维能力加强探究性，发展学生的思维能力本章编写时，对一些在重要知识点或关键环节，除继续保持本章编写时，对一些在重要知识点或关键环节，除继续保持原教科书中通过设置原教科书中通过设置“思考思考”“”“探究探究”“”“归纳归纳”等栏目，提等栏目，提供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力外，注意结合供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力外，注意结合本章内容的特点，并考虑到学生的年

40、龄特征（学习本章内容本章内容的特点，并考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书在设的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书在设置一些探究性活动栏目后，直接给出探究的结论，而将结论置一些探究性活动栏目后，直接给出探究的结论，而将结论的探索过程完全留给学生，以进一步加大学生思维力度和探的探索过程完全留给学生，以进一步加大学生思维力度和探索的空间，而不像前两个年级那样，通过填空、留白等方式索的空间，而不像前两个年级那样，通过填空、留白等方式提供探索线索，引导学生进行探究提供探索线索，引导学生进行探究 例如，教科书在详细研究了锐角的正弦、给出概念之后，

41、例如，教科书在详细研究了锐角的正弦、给出概念之后，通过一个通过一个“探究探究”栏目提出问题：栏目提出问题：“在直角三角形中，当在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定那么，一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”接着，接着，教科书直接给出锐角的余弦、正切概念，而将教科书直接给出锐角的余弦、正切概念，而将“邻边与斜邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的边的比、对边与邻边的比都是确定的”这个结论的探究过这个结论的探究过程完全留给学生自己完成程完全留给学生自己完成 再如，对于再如，对于

42、 这几个特殊角的三角函数这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个值，教科书也是首先设置一个“探究探究”栏目，在栏目，在栏目中提出问题：栏目中提出问题：“两块三角尺中有几个不同的两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？别是多少？”然后用一个表格直接给出了这几个然后用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数值的过程留给学生完成值的过程留给学生完成30,45,60鞍 又如，又如，对于解直角三角形，教科书通过一个对于解直角三角形，教科书通过一个“探究

43、探究”栏目栏目提出问题：提出问题：“（1）在直角三角形中，除直角以外的五个）在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？（元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就）知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？可以求其他元素了？”将这个栏目中真正需要探究的第二将这个栏目中真正需要探究的第二问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称

44、“知二求三知二求三”）；进而给出）；进而给出“知二求三知二求三”解直角三角形的例解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的题示范；并安排相当数量的“知二求三知二求三”解直角三角形的解直角三角形的练习题和习题，使学生对练习题和习题，使学生对“知二求三知二求三”的可行性以及具体的可行性以及具体求解方法有充分体验，获得较多的感性认识；求解方法有充分体验，获得较多的感性认识； 最后在章小结中提出问题：最后在章小结中提出问题：“两个直角三角形全等，两个直角三角形全等，要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已两

45、条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗解直角三角形的方法吗”让学生进一步思考直角三角让学生进一步思考直角三角形中能形中能“知二求三知二求三”的理论依据，并对的理论依据，并对“知二求三知二求三”的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认识全面升华为理性的程度识全面升华为理性的程度4. 加强与实际的联系，体现建模思想加强与实际的联系，体现建模思想锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐角三

46、角函数是解直角三角形的基础，解直角三角角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，它与实际联系紧密因此本章编写时，的工具，它与实际联系紧密因此本章编写时，注意加强与实际的联系注意加强与实际的联系 例如例如，第，第28.1节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出锐角的正弦；第题引出锐角的正弦；第28.2节结合确定萨斜塔倾斜程度节结合确定萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的内涵和方法等问题引出解直角三角形的内涵和方法等 再如，教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和再如，

47、教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用教科书这样将锐角三角函数和解直角三角广泛应用教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我你中有我，我中有你中有你”的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用；再者

48、，通过解决实际问题的过程：先把所起的作用；再者，通过解决实际问题的过程：先把实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问题、解决问题能力题、解决问题能力.三、对教学的几个建议三、对教学的几个建议1 1. . 加强探究加强探究过程，揭示概念的内涵过程，揭示概念的内涵 本章本章的

49、一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实际问题引入际问题引入研究特殊直角三角形研究特殊直角三角形研究一般直角三角研究一般直角三角形形给出锐角的正弦概念的定义过程，在探究直角三角形给出锐角的正弦概念的定义过程，在探究直角三角形中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫这样这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与

50、角之间的关系，具体地，在三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值与邻边之比，它们分别都是确定的值 特别需要指出的是，在理解锐角三角函数特别需要指出的是，在理解锐角三角函数的内涵时，要淡化其的内涵时，要淡化其“函数味函数味”，只要点，只要点出出“对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以有唯