最新同济大学微积分第三版课件第三章第二节ppt课件.ppt

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1、同济大学微积分第三版课件第同济大学微积分第三版课件第三章第二节三章第二节本节要点本节要点 本节通过复合函数的求导公式本节通过复合函数的求导公式, 建立了不定积分的换建立了不定积分的换一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法元积分公式元积分公式.例例1 求积分求积分1d0 .x aaxb解解 111ddxaxbxaxba axb 一般地一般地: 当被积函数形式为当被积函数形式为 时时, 总可作变总可作变()f axb1d.f axbxF axbCa11d axbaaxb1ln.axbCauaxb( )f x( )F x换换 , 即若即若 有原函数有原函数

2、, 则则 类似地有类似地有ee de,xxxfxFCsincos dsin,fxx xFxC111d, 11nnnf xxxF xCnn .1lndln, fxxFxCx2sectandtan, xfxxFxC例例2 求积分求积分1d .ln lnlnxxxx1dln lnlnxxxx解解 因因 得得 1ln,xxln lnln.xC1dlnlnlnlnxx1dlnln lnlnxxx例例3 求积分求积分2332d .xxx解解2332dxxx33312d23xx4/3312.4xC例例4 求积分求积分121e d .xxx121e dxxx解解111e de.xxCx 例例5 求积分求积分t

3、an d ,x xcot d .x x解解 sintan ddcosxx xxx同理可得同理可得cot dln sin.x xxC1dcosln cos,cosxxCx 例例6 求积分求积分221d0 ,x aax221d0 .x aax解解 2222111dd1xxaxaxa同理可得同理可得 221darcsin.xxCaax1arctan.xCaa211d1xaaxa例例7 求积分求积分221d0 .x axa解解 因因221111,2xaaxaxa221111dd2xxxaaxaxa111dd2xaxaaxaxa11lnlnln.22xaxaxaCaaxa故故 值得注意的是值得注意的是,

4、 上面的例上面的例5, 例例6, 例例7均可以作为基本均可以作为基本的积分公式的积分公式.例例8 求积分求积分arctand .1xxxx解解 注意到注意到 则有则有1dd ,2xxx2arctan2arctandd11xxxxxxx2arctandarctanxx2arctan.xC注意注意 在三角函数的积分中在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函利用三角恒等式对三角函2222sincos1, 1tansec,xxxx2211cos1cos2, sin1cos2,22xxxxsin22sin cos ,xxx1coscoscoscos,.2数做某些变换是积分中经常使用的方法数做某些变换

5、是积分中经常使用的方法. 常用的三角公常用的三角公式是式是:例例9 计算下列积分计算下列积分: 4cosd ,x x6secd .x x解解 32sind1cosdcosx xxx 31coscos.3xxC 3sind ,x x25sincosd ,xx x22522sincosdsin1sindsinxx xxxx241cos2cosdd2xx xx246sin2sinsindsinxxxx357121sinsinsin.357xxxC11cos412cos2d42xxx134cos2cos4d8xxx262secd1tandtanx xxx1132sin2sin4.84xxxC2412t

6、antandtanxxx3521tantantan.35xxxC例例10 求积分求积分csc d ,x xsec d .x x解解 1csc ddsinx xxx1dtanln tan.22tan2xxCx2sec112dd22sin costan222xxxxxx又又,1coscsccot ,sinxxxxcsc dln csccot.x xxxC即即2sin2sin22tan2sincos2xxxxxd12sec ddcossin2xx xxxx注注 此题中的两个公式也可作为两个基本的积分公式此题中的两个公式也可作为两个基本的积分公式.ln csccot22xxCln sectan.xxC

7、例例11 求积分求积分cos3 cos2 d .xx xcos3 cos2 dxx x解解11sinsin5.25xxC1coscos5d2xxx例例12 求积分求积分241d ,1xxx41d .1xx 解解 分子分母同除以分子分母同除以 , 并注意到并注意到2x1d xx则有则有241d1xxx211d , xx22211d1xxxx21d12xxxx11arctan.22xxC41d1xx 2411d21xxx2241 11d21xxxx 241 1d21xxx222222111111dd1122xxxxxxxx2211dd11221122xxxxxxxx11211arctanln.12

8、 224 22xxxxCxx例例13 求积分求积分1sine d .1cosxxxx解解 由三角公式由三角公式2sin2sincos,1cos2cos,222xxxxx得积分得积分 212sincos1sin22e de d1cos2cos2xxxxxxxxx21sectane d222xxxxtanedtane.22xxxxxCtanetaned22xxxxx定理定理 设设 是单调的、可导函数是单调的、可导函数, 且且 xt 0,t 1dd.txf xxfttt证证 设设 的原函数为的原函数为 , 记记 ftt t 1,xF x由由 dd1,d dtF xfttftf xtxt二、第二类换元

9、法二、第二类换元法 ftt又又 有原函数有原函数, 则有换元公式则有换元公式知知 是是 的原函数的原函数, 所以有所以有 F xf x 1df xxF xCxC 1d.txfttt 上述积分方法即称为上述积分方法即称为第二类换元积分法第二类换元积分法. 一般一般, 当被积函数中含有当被积函数中含有 等因子时等因子时2222,xaax作代换作代换,22,xatan ,xat22,axsin ,xat作代换作代换22,xasec .xat可通过适当的三角代换来求出相应的积分可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有常用代换有:作代换作代换,abx作代换作代换.abxt这类代换的主要目的是这

10、类代换的主要目的是消去积分表达式中的根式消去积分表达式中的根式.例例14 求积分求积分22d0 .axx a解解 令令 sin ,2 2xat t 22dcoscos daxxat at t由由 22sin,cos,xaxttaa22axxta22cos dat t21cos2 d2att21sin2,22attC原积分为原积分为222221darcsin.22axaxxx axCa例例15 求积分求积分21d .1xxx解解 做变换做变换 sin ,2 2xt t 则原积分为则原积分为:21d1xxx1costdsin costtt211ln.ln csccotttxCCxx例例16 求积分

11、求积分22d0 .xaxa解解 令令 tan ,2 2xat t 222dsec dsecxat tatxa由由 知知tanxta22axxta则则sec dln sectan.t tttC22sec,axta所以所以2222dlnxxaxCaaxa同理可得同理可得 222222dlnln.xxaxCxxaCaaxa注注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.22ln.xxaC例例17 求积分求积分222d0 .xaxxa解解 令令 tan ,2 2xat t 则则222222d11secdtansecxat tatatxxa221cosdsin

12、ttat222211csc.axtCCaax 本节又建立了如下的一些积分公式本节又建立了如下的一些积分公式:tan dln cos,x xxC cot dln sin,x xxCsec dln sectan,x xxxCcsc dln csccot,x xxxC2211darctan.xxCaxaa(2121)221darcsin,xxCaax(2222)2211dln,2xaxCxaaxa(23)2222dln.xxxaCxa 利用上述积分公式利用上述积分公式, 我们可以计算下面积分我们可以计算下面积分.例例18 求积分求积分dnxaxbx其中其中 为非零常数为非零常数., a b解解 令令

13、 则则1,xt2211dd11nnnttttabtabtt 11ln1nabtCbn111d1nntnabt111ln.1nabCbnx例例19 求积分求积分1d .12xxx解解 令令 所以原积分为所以原积分为12dd ,xtxt t 22122ddd1112txtttttxx111dln.111ttCttt故故 1121dln.12121xxCxxx注注 对形如对形如 的积分的积分, 常用代换常用代换,df xaxbx,axbt从而将积分转换为从而将积分转换为22,d .tatfttbb例例20 求积分求积分1d .21xxx解解 令令1xt21,d2 d ,txxt t 则有则有212d

14、d121txtttxx 22211dd11ttttttt 221ln1d3/41/2tttt 2221ln1arctan33tttC 2211ln21arctan.33xxxC 例例21 求积分求积分 2d,24xxx2d,49xx 2d,1xxxd0 .2xxx aax解解2d24xxx22d11arctan.3313xxCx222d1d(2 )24923xxxx2221dd215122xxxxx1212arcsinarcsin.552xxCC21ln 249.2xxC 令令22 sin ,0,2xat t2222 sind2 sin4 sin cos d222 sinxatxxatatt taxaat22421 cos28sind8d2tat tat2234cos2cos4 d3arcsin2xatttaa222212224axaaxaxxaxCaa则则233arcsin2.22xaxaxaxCa53 结束语结束语