2022年隐函数求导归纳 .pdf

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1、1 第 五 节 隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。教学重点： 由一个方程确定的隐函数求导方法。教学难点： 隐函数的高阶导函数的计算。教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程),(yxf=0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，, 0),(00yxFy， 则方程),(yxF=0 在点),(00yx

2、的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)( xfy，它满足条件)(00 xfy，并有yxFFdxdy(2) 公式（ 2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程 (1)所确定的函数)(xfy代入，得恒等式0)(,(xfxF,其左端可以看作是x 的一个复合函数， 求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0dxdyyFxF由于yF连续，且0),(00yxFy，所以存在 (x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内0yF，于是得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3、名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 2 .yxFFdxdy如果),(yxF的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dxdyFFyFFxdxydyxyx22.232222yxyyyxxyyxxyxyxyyyxyyxyzyxxFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF例 1 验证方程0122yx在点 (0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当 x =0 时，1y的隐函数)( xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0 的值。解 设),(yxF122yx，则yFxFyx2,2

4、,02)1 ,0(,0)1 ,0(yFF. 因此由定理1 可知，方程0122yx在点 (0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当 x =0 时，1y的隐函数)( xfy。下面求这函数的一阶和二阶导数yxFFdxdy=yx，00 xdxdy; 22dxyd=,1)(332222yyxyyyxxyyyxy1022xdxyd。隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F(zyx,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

5、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 3 与定理 1 一样，我们同样可以由三元函数F(zyx,)的性质来断定由方程F(zyx,)=0所确定的二元函数z=),(yx的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2 设函数F(zyx,)在点),(000zyxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(000zyxF，0),(000zyxFz，则方程F(zyx,)=0 在点),(000zyx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有xz=zxFF,yz=

6、zyFF. (4) 这个定理我们不证.与定理 1 类似，仅就公式(4)作如下推导 . 由于F(yx, f),(yx)0,将上式两端分别对x 和y求导，应用复合函数求导法则得xF+zFxz=0, yF+zFyz=0。因为zF 连续，且0),(000zyxFz,所以存在点),(000zyx的一个邻域，在这个邻域内zF0，于是得xz=zxFF,yz=zyFF。例2设04222zzyx，求.22xz解设F(zyx,) =zzyx4222，则xF=2 x , zF =42 z.应用公式 (4)，得xz=zx2。再一次 x 对求偏导数，得22xz2)2()2(zxzxz名师资料总结 - - -精品资料欢迎

7、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 4 .)2()2()2(2)2(3222zxzzzxxz二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组.0),(,0),(zuyxGvuyxF(5) 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性

8、质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3 设函数),(vuyxF、),(vuyxG在点),(00000vuyxP的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),(0000vuyxF，0),(0000vuyxG,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比 (Jacobi)式): J),(),(vuGF=vGuGvFuF在 点),(00000vuyxP不 等 于 零 ， 则 方 程 组0),(vuyxF，0),(vuyxG在 点),(0000vuyx的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯一 确 定 一 组 单值 连 续 且 具 有连 续 偏 导 数 的函 数),(),(yxvvyxuu，它满足条件),(),

9、(000000uxvvyxuu，并有xu),(),(1vxGFJ,vuvuvxvxGGFFGGFFxv),(),(1xuGFJ,vuvuxuxuGGFFGGFF(6) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 5 yu),(),(1vyGFJ,vvvuvyvyGGFFGGFFyvJ1),(),(yuGF.uyuyuvuvFFGGFFGG这个定理我们不证. 例3设1,0 xvyuyvxu，求xu,yu,xv和yv. 解此题

10、可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对x 求导并移项，得.,vxvxxuyuxvyxux在022yxxyyxJ的条件下，.,2222yxxvyuxyyxvyuxxvyxyvxuxyyxxvyuxu将所给方程的两边对y求导，用同样方法在022yxJ的条件下可得,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

11、 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 6 函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。作业：作业卡 p14-15 第 六 节 微分法在几何上的应用教学目的： 根据导函数的几何性质， 学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法。教学重点： 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。教学难点： 曲线切线、曲面切平面的切向量。教学内容：一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程为(),(),(),()xtytztt(1) 这里假定式 (1)的三个函数都可导。在 曲 线 上 取

12、 对 应 于0tt的 一 点),(000zyxM及 对 应 于ttt0的 邻 近 一 点),( 000zzyyxxM。根据解析几何，曲线的割线MM的方程是.000zzzyyyxxx当M沿着 趋于 M 时，割线MM的极限位置M T就是曲线 在点M处的切线 (图87).用t除上式的各分母，得,000tzzztyyytxxx令MM这时0),(t通过对上式取极限，即得曲线在点M处的切线方程为)(00txx=.)()(0000tzztyy(2) 这里当然要假定)( ),( ),( 000ttt不能都为零 .如果个别为零，则应按空间解析几何名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 7 有关直线的对称式方程的说明来理解。切线的方向向量称为曲线的切向量。向量)( ),( ),( 000tttT就是曲线 在点M处的一个切向量。通 过 点M而 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 曲 线 在 点M处 的 法 平 面 ， 它 是 通 过 点),(000zyxM而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为0)( )( )( 000000zztyytxxt(3) 例 1 求曲线32,tztytx在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。

14、解因为,3,2,12tztyxttt而点(1,1,1),所对应的参数1t，所以( 1 , 2 , 3 )T于是，切线方程为312111zyx, 法平面方程为,0)1(3)1(2)1(zyx即.632zyx如果空间曲线 的方程以)(),(xzxy的形式给出，取x 为参数，它就可以表为参数方程的形式).(),(,xzxyxx若)(),(xx都在 x=x0处可导，那末根据上面的讨论可知，)( ),( ,1xxT,因此曲线在点),(000zyxM处的切线方程为,)()(100000 xzzxyyxx(4) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

15、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 8 在点),(000zyxM处的法平面方程为0)( )( )(000zzxyyxxx(5) 设空间曲线 的方程以0),(,0),(zyxGzyxF(6) 的形式给出，),(000zyxM是曲线 上的一个点，又设,FG有对各个变量的连续偏导数，且.0),(),(),(000zyxzyGF这时方程组 (6)在点),(000zyxM的某一邻域内确定了一组函数).(),(xzxy要求曲线 在点 M 处的切线方程和法平面方程，只要求出),( ),( xx然后代入 (4)、(5)两式就

16、行了.为此，我们在恒等式,0)(),(,xxxF0)(),(,xxxG两边分别对x 求全导数，得.0,0dxdzzGdxdyyGxGdxdzzFdxdyyFxF由假设可知，在点M 的某个邻域内,0),(),(zyGFJ故可解得,)(zyzyxzxzGGFFGGFFxdxdy,)(zyzyyxyxGGFFGGFFxdxdz于是)( ),( , 1xxT是曲线在点M处的一个切向量，这里名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - -

17、 9 ,)(000zyzyxzxzGGFFGGFFx,)(000zyzyyxyxGGFFGGFFx分子分母中带下标0 的行列式表示行列式在点),(000zyxM的值 .把上面的切向量T乘以,0zyzyGGFF得,0001yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT这也是曲线在点M处的一个切向量， 由此可写出曲线在点),(000zyxM处的切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx(7) 曲线 在点),(000zyxM处的法平面方程为)(00 xxGGFFzyzy.0)()(0000zzGGFFyyGGFFyxyxxzxz(8) 如果0),(),(

18、0zyGF而00),(),(,),(),(yxGFxzGF中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果. 例2求曲线6222zyx,0zyx在点 (1,-2,1) 处的切线及法平面方程。解将所给方程的两边对x 求导并移项，得.1,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy由此得,1111zyxzzyzxdxdy.1111zyyxzyxydxdz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 10 ,0)1,2,1(dxdy.1)1,2

19、,1(d xd z从而,1,0, 1T故所求切线方程为,110211zyx法平面方程为0)1()2(0)1(zyx, 即.0zx二、曲线的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程F(zyx,) = 0 (9) 的情形，然后把由显式给出的曲面方程(,)zfxy作为它的特殊情形. 设曲面由方程(9)给出，),(000zyxM是曲面上的一点，并设函数F(zyx,)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面上，通过点M任意引一条曲线（图88） ，假定曲线的参数方程为),(),(),(tztytx(10) 0tt对应于点),(000zyxM且)( ),( ),( 000ttt不全为零，则由(2)式可得这曲线

20、的切线方程为)(00txx=,)()(0000tzztyy我们现在要证明，在曲面上通过点M且在点M处具有切线的任何曲线，它们在点M处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线完全在曲面上，所以有恒等式F0)(),(),(ttt, 又因F(zyx,)在点),(000zyx处有连续偏导数，且)( ),( 00tt和0( t)存在，所以这恒等式左边的复合函数在0tt时有全导数，且这全导数等于零: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - -

21、- - - 11 ,0)(),(),(0tttttFdtd即有0)( ),()( ),()(),(000000000000tzyxFtzyxFtzyxFxzy(11) 引入向量) ,(),(),(000000000zyxFzzyxFzyxFnyx则(11)式表示曲线（10）在点 M 处的切向量)( ),( ),( 000tttT与向量垂直 .因为曲线 (10)是曲面上通过点M的任意一条曲线， 它们在点M的切线都与同一个向量 n 垂直 ,所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图 88） .这个平面称为曲面在点M的切平面 .这切平面的方程是)(,()(,()(,(0000000

22、00000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx(12) 通过点),(000zyxM而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx(13) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量) ,(),(),(000000000zyxFzzyxFzyxFnyx就是曲面在点M处的一个法向量。现在来考虑曲面方程),(yxz(14) 令F(zyx,) =f),(yx z, 可见Fx(zyx,)=fx),(yx, Fy(zyx,)=fy),(yx, Fz(zyx,)=-1.于是，当函数f),(yx的偏导

23、数fx),(yx、fy),(yx在点),(00yx连续时，曲面（14）在点M),(000zyx处的法向量为0000(,) ,(,) ,1 )xynfxyfxy切平面方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 12 ,0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx或)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx(15) 而法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxy

24、x这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数),(yxz在点),(00yx的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数),(yxz在点),(00yx的全微分，在几何上表示曲面),(yxz在点),(000zyx处的切平面上点的竖坐标的增量. 如果用 、 、 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为,1c o s22yxxfff,1c o s22yxyfff.11c o s22yxff这里，把),(),(0000yxfyxfyx分别简记为xf,yf。例 3 求球面14222zyx在点 (1,2,3)处的切平面及法线方程

25、。解F(zyx,) =14222zyx, n =（Fx, Fy, Fz）= (2, 2, 2 ),xyzn |(1 ,2 ,3) =（2,4,6）. 所以在点 (1,2,3)处此球面的切平面方程为,0)3(6)2(4)1(2zyx即,01432zyx法线方程为,332211zyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 13 即.321zyx由此可见，法线经过原点(即球心 ). 小结：本节在空间曲线的切线与法平面、 曲

26、面的切平面与法线两方面研究了微分法的应用。 利用导函数的几何性质， 针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量， 从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程， 推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角。作业：作业卡 p16-17 第 七 节 方向导数与梯度教学目的： 掌握方向导数的定义和求法；掌握梯度的定义、 求法及其与等高线的关系。教学重点： 方向导数与梯度的求法 。教学难点： 方向角的确定 。教学内容：一、方向导数现在我们来讨论函数),(yxfz在一点P沿某一方向的变化率问题。设函数),(yxfz在点P),(yx的某一邻域)( pU内有定义

27、.自点P引射线l。 设 x 轴正向到射线l的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0） ，并设P(x + x ,y+y)为l上的另一点且P)( pU。我们考虑函数的增量f( x + x ,y+y)f),(yx与P、P两点间的距离22)()(yx的比值 .当P沿着l趋于P时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数f),(yx在点P沿方向l的方向导数，记作lf，即.),(),(lim0yxfyyxxflf(1) 关于方向导数lf的存在及计算，我们有下面的定理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

28、 - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 14 定理如果函数),(yxfz在点P),(yx是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有lf,s i nc o syfxf(2) 其中为x轴到方向l的转角。证根据函数),(yxfz在点P),(yx可微分的假定，函数的增量可以表达为(,)( ,)().fffxx yyfx yxyxy两边各除以，得到.)(s i nc o s)(),(),(yfxfyyfxxfyxfyyxxf所以0(,)(,)l i mc o ss i n.fxxyyfxyffxy这就.sincosyfxflf例1求函数z= xye2

29、在点P)0,1(处沿从点P)0, 1(到点Q1,2方向的方向导数。解这里方向l即向量PQ=1,1的方向，因此x 轴到方向l的转角.4，因为,2 yexz,22 yxeyz在点)0,1(，1xz,2yz.故所求方向导数21c o s ()2 s i n ().442zl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 15 对于三元函数u =),(zyxf来说，它在空间一点P),(zyx沿着方向l(设方向l的方向角为、的方向导数

30、，同样可以定义为0(,)(,)l i m,ffxxyyzzfxyzl(3) 其中222)()()(zyx， x =cos,y=cos,z=cos。同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向l的方向导数为.c o sc o sc o szfyfxflf(4) 二、梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形，设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点),(yxD，都可定出一个向量,ffijxy这向量称为函数z=),(yx在点P),(yx的梯度，记作gradf),(yx，即gradf),(yx= ,ffijxy如果设cossineij

31、是与方向l同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知c o ss i n,c o s, s i n(,)(,) c o s (,) ,) .ffffflxyxyg r a d fxyeg r a d fxyg r a d fxye这里， (,) ,gradfx ye)表示向量gradf),(yx与 e 的夹角。 由此可以看出， 就是梯度在射线l上的投影，当方向l与梯度的方向一致时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - -

32、- - 16 c o s(,) ,gradfx ye) 1，从而lf有最大值 .所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数f),(yx在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知，梯度的模为.),(22yfxfyxg r a d f当xf不为零时，那末x 轴到梯度的转角的正切为.tanxfyf我们知道， 一般说来二元函数),(yxfz在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数 )所截得的曲线l的方程为.),(czyxfz这条曲线l在xOy面上的

33、投影是一条平面曲线*L ，它在xOy平面直角坐标系中的方程为.),(cyxf对于曲线*L上的一切点，已 给函数的函数值 都是 c ，所以我们称平面 曲线*L为函数),(yxfz的等值线 . 由于等值线cyxf),(上任一点),(yx处的法线的斜率为xyyxffffdxdy11, 所以梯度ffijxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 17 为等值线上点P处的法向量，因此我们可得到梯度与等值线的下述关系：函数)(x

34、fz在点P),(yx的梯度的方向与过点P的等值线cyxf),(在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。例 2 求.122yxgrad解 这里.1),(22yxyxf因为,)(2222yxxxf,)(2222yxyyf所以22222222122.()()xygradijxyxyxy例 3 设222),(zyxzyxf，求)2,1, 1(gradf。解zyxfffgradfzyx2,2,2, 于是4,2,22,1, 1g r a df。小结：本节主要研究函数),(yxfz在一点P沿某

35、一方向的变化率问题， 给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的求法，并通过梯度的意义介绍了等值线、等量面、数量场与向量场等概念。作业：作业卡 p18-19 第 八 节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义， 熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法， 并能够解决实际问题。 熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点： 多元函数极值的求法。教学难点： 利用拉格朗日乘数法求条件极值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17

36、页，共 23 页 - - - - - - - - - 18 教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点，如果都适合不等式00(,)(,)fx yfxy，则称函数(,)fx y在点),(00yx有极大值00(,)fxy。如果都适合不等式),(),(00yxfyxf，则称函数(,)fx y在点),(00yx有极小值),(00yxf极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例 1 函数2243yxz在点（ 0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于 (0，0)的点，函数值都为

37、正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（ 0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点。例函数22yxz在点（ 0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点 （0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy平面下方的锥面22yxz的顶点。例函数xyz在点（ 0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理 1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它

38、在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000yxfyxfyx证不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值。 依极大值的定义，在点),(00yx的某邻域内异于),(00yx的点都适合不等式),(),(00yxfyxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 19 特殊地，在该邻域内取0yy，而0 xx的点，也应适合不等式000(,)(,)fxyfxy这表明一元函数f),(0yx在0 xx处取得极大值，因此必有

39、0),(00yxfx类似地可证0),(00yxfy从几何上看，这时如果曲面),(yxfz在点),(000zyx处有切平面，则切平面)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xOy坐标面的平面00zz。仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(yxfyxfyx同时成立的点),(00yx称为函数),(yxfz的驻点，从定理1 可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xyz的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理 2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的

40、某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000yxfyxfyx，令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000则),(yxf在),(00yx处是否取得极值的条件如下：(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(yxfz的极值的求法叙述如下：第一步解方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

41、心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 20 0),(,0),(yxfyxfyx求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A，B和C。第三步定出2BAC的符号， 按定理 2 的结论判定00(,)fxy是否是极值、 是极大值还是极小值。例 1 求函数xyxyxyxf933),(2233的极值。解先解方程组22(,)3690 ,(,)360 ,xyfxyxxfxyyy求得驻点为（ 1,0） 、 （1,2） 、 （-3,0） 、 （-3,2） 。再求出二阶偏导数(,)66,(,)0,(,)66

42、xxxyyyfx yxfx yfx yy在 点 (1,0) 处 ，06122BAC又0A， 所 以 函 数 在( 1, 0 )处 有 极 小 值( 1 , 0 )5f；在点 (1,2) 处，0)6(122BAC，所以f(1,2) 不是极值；在点 (-3,0) 处，06122BAC，所以f(-3,0) 不是极值；在 点 (-3,2) 处 ，0)6(122BAC又0A所 以 函 数 在 (-3,2) 处 有 极 大 值f(-3,2)=31 。例 2 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解 设水箱的长为xm ，宽为ym，则其高应为mxy2

43、，此水箱所用材料的面积)22(2xyxxyyxyA，即)22(2yxxyA（0 x，0y）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 21 可见材料面积A是 x 和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(yx。令0)2(22xyAx，0)2(22yxAy解这方程组，得：32x，32y从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数)

44、,(yxfz在附加条件0),(yx下的可能极值点，可以先构成辅助函数),(),(),(yxyxfyxF其中为某一常数求其对x 与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2) 联立.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx（1）由这方程组解出x ，y及，则其中 x ，y就是函数),(yxf在附加条件下0),(yx的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数),(tzyxfu在附加条件0),(tzyx，0),(tzyx(2) 下的极值，可以先构成辅助函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF其中1

45、，2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 22 解，这样得出的tzyx、就是函数),(tzyxf在附加条件 (2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例 3 求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为zyx,， 则问题就是在条件0222),(2axzyzxytz

46、yx（3）下，求函数x y zV)000(zyx，的最大值。构成辅助函数)222(),(2axzyzxyxyzzyxF求其对yx、z 的偏导数，并使之为零，得到0)(20)(20)(2zyxyzxxzzyyz（4）再与 (10)联立求解。因yx、z都不等于零，所以由(11)可得yxzyzx，zyzxyx由以上两式解得zyx将此代入式 (10)，便得zyx=a66这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为2a的长方体中，以棱长为a66的正方体的体积为最大，最大体积3366aV。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

47、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 23 小结：本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。 在介绍多元函数极值的定义后， 介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤， 讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。作业：作业卡 p20-21 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -