2022年高等数学——导数练习题 .pdf

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1、高等数学导数练习题1 一选择题1. 若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于( ) A. k2 B.k C.k21 D.以上都不是2. 若 f （x）=sin cosx，则?(? )等于 ( ) Asin BcosCsin +cosD 2sin 3. f （x）=ax3+3x2+2，若?(-1 ) = 4, 则 a 的值等于 ( ) A319B316C313D 3104. 函数 y=x sin x 的导数为 ( ) Ay=2x sin x+x cosx By=xx2sin+x cosxCy=xxsin+x cosx D y=xxsinx cosx5.

2、函数 y=x2cosx 的导数为 ( ) Ay=2xcosxx2sin x By=2xcosx+x2sin xCy=x2cosx2xsin x D y=xcosxx2sin x6. 函数 y=22xax（a0）的导数为 0，那么 x 等于（）Aa BaCa D a27. 函数 y=xxsin的导数为（）Ay=2sincosxxxxBy=2sincosxxxxCy=2cossinxxxxD y=2cossinxxxx8. 函数 y=2)13(1x的导数是（）A3) 13(6x B2)13(6x C3)13(6x D 2) 13(6x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

3、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题2 9. 已知 y=21sin2 x+sin x，那么 y是（）A仅有最小值的奇函数 B 既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数 D 非奇非偶函数10. 函数 y=sin3（3x+4）的导数为（）A3sin2（3x+4）cos（3x+4） B 9sin2（3x+4）cos（3x+4）C9sin2（3x+4） D9sin2（3x+4）cos（3x+4）11. 函数y=cos（sinx）的导数为（）A sin （si

4、n x）cosx Bsin （sin x）Csin （sin x）cosx Dsin （cosx）12. 函数 y=cos2x+sinx 的导数为（）A2sin2 x+xx2cosB2sin2 x+xx2cosC2sin2 x+xx2sinD2sin2 xxx2cos13. 过曲线 y=11x上点 P（1，21）且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A2y8x+7=0 B2y+8x+7=0 C2y+8x9=0 D 2y8x+9=0 14. 函数 y=ln （32xx2）的导数为（）A32xB2231xxC32222xxxD 32222xxx15. 函数 y=lncos2 x 的导数为（

5、）Atan2 x B2tan2xC2tan x D2tan2x16. 已知3)2(3123xbbxxy是 R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A. 21bb，或 B.21bb，或 C. 21bD. 21b17. 函数的单调递增区间是( ) xexxf)3()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题3 A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18. 函数 y=xxa22（a0且 a1），

6、那么 ?为（）Axxa22ln a B2（ln a）xxa22C2（x1）xxa22ln a D（x1）xxa22ln a19. 函数 y=sin32x的导数为（）A2（cos32x）32xln3 B（ln3 ）32xcos32xCcos32x D32xcos32x20. 已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A1 B2 C3 D4 21. 曲线1323xxy在点（1，1）处的切线方程为（）A43xyB23xy C34xy D54xy22. 函数) 1() 1(2xxy在1x处的导数等于（）A1 B2 C 3 D4 23. 已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在的

7、解析式可能为（）A) 1( 3) 1()(2xxxfB) 1(2)(xxfC 2) 1(2)(xxf D1)(xxf24. 函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则 a=（）A.2 B.3 C.4 D.5 25. 函数32( )31f xxx是减函数的区间为 ( ) A.(2,) B.(,2) C.(,0) D.(0, 2)26. 函数()323922yxxxx=-0）的导数。6. 设函数)(xf在点0 x 处可导，试求下列各极限的值（1）xxfxxfx)()(lim000；（2）；2)()(lim000hhxfhxfh（3）若2)(0 xf，则。2)()(lim000k

8、xfkxfk7. 求函数xy在1x处的导数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题9 8. 求函数baxxy2（a、b 为常数）的导数。9. 利用洛必达法则求下列极限：0ee(1)limxxxx；1ln(2) lim1xxx；3232132(3)lim1xxxxxx；2ln()2(4) limtanxxx；(5) lim(0,enaxxxan为正整数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

9、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题10 0(6) limln(0)mxxxm；011(7)lim()e1xxx；10(8)lim(1sin)xxx；sin0(9) limxxx；10. 求下列函数的单调增减区间：2(1)365yxx；(2)y = ?4- 2?2+ 2；2(3)1xyx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

10、 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题11 11. 求下列函数的极值：32(1)37yxx；22(2)1xyx；2(3)exyx；23(4)3(2)yx；32(5)(1)yxx ；32(6)(1)xyx；四解答题1. 求曲线 y=x3+x2-1 在点 P（-1，-1）处的切线方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题12 2. 求过点（ 2，0）且与曲线

11、 y=x1相切的直线的方程。3. 质点的运动方程是23,stt求质点在时刻 t=4 时的速度。4. 求曲线2211(2,)(3 )4yMxx在处的切线方程。5. 求曲线sin 2( ,0)yxM在处的切线方程。6. 已知曲线C ：xxxy2323，直线kxyl :，且直线 l 与曲线C 相切于点00, yx00 x，求直线 l 的方程及切点坐标。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题13 7. 已

12、知1323xxaxxf在 R上是减函数，求a的取值范围。8. 设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值。（1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的0 3x， ，都有2( )f xc 成立，求 c 的取值范围。9. 已知a为实数，axxxf42。 求导数xf ； （2） 若01f， 求xf在区间2,2上的最大值和最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题14 10. 设函

13、数3( )f xaxbxc (0)a为奇函数，其图象在点(1, (1)f处的切线与直线670 xy垂直，导函数( )fx 的最小值为12。（1）求a，b ，c的值；（2） 求函数( )f x 的单调递增区间， 并求函数( )f x 在 1,3上的最大值和最小值。11. 已知曲线xxy1上一点)25,2(A，用斜率定义求：（1）点 A的切线的斜率（2）点 A处的切线方程12. 已知函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf，判断)(xf在1x处是否可导？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

14、- - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题15 13. 已知函数cbxaxxxf23，当1x时，取得极大值7；当3x时，取得极小值求这个极小值及cba,的值。14. 已知函数axxxxf93)(23。（1）求)(xf的单调减区间；（2）若)(xf在区间 2，2. 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值。15. 设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用t表示cba,；（2）若函数)()(xgxfy在（ 1，3）上单调递减，求t的取值范围。名师资

15、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题16 16. 设函数32()fxxbxcx xR ，已知( )( )( )g xf xfx是奇函数。（1）求 b、c的值。（2）求( )g x的单调区间与极值。17. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、 宽、高各为多少时， 其体积最大？最大体积是多少？18. 已知函数3211( )32f xxaxb

16、x在区间 11)， ， (13， 内各有一个极值点。（1）求?2- 4? 的最大值；（2）当?2- 4? = 8时，设函数 ? = ?(?) 在点?(1,?(1)处的切线为 ? ，若? 在点? 处穿过函数 ? = ?(?) 的图象（即动点在点 ? 附近沿曲线 ? = ?(?) 运动，经过点 ? 时，从? 的一侧进入另一侧），求函数?(?) 的表达式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题17 19

17、. 设函数ln(1)0( )10kxxf xxx，若( )f x在点0 x处可导，求 k 与(0)f的值。20. 设函数21cos0( )0110e1xxxxf xkxxx，当 k 为何值时，( )f x在点0 x处连续。21. 设2ln(1)yx，求函数的极值，曲线的拐点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题18 22. 利用二阶导数，判断下列函数的极值：2(1)(3) (2)yxx；(2)2

18、eexxy23. 曲线32yaxbxcxd 过原点，在点 (1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲线的拐点，求, , ,a b c d 。24. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：42(1)25 2,2yxx；2(2)ln(1) 1,2yx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题19 21(3),112xyx；(4)0, 4yxx。25. 已知函数32( )6(0)f xaxaxba，在

19、区间 1,2 上的最大值为 3，最小值为29，求,a b的值。26. 欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？27. 确定下列曲线的凹向与拐点：23(1)yxx ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题20 2(2)ln(1)yx；13(3)yx；22(4)1xyx；(5)exyx；(6)exy28. 某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费

20、1000元，而每件的库存费为 0.05元，如果年销售率是均匀的， 且上批销售完成后， 立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题21 29. 某化工厂日产能力最高为1000吨，每天的生产总成本C （单位：元）是日产量x（单位：吨）的函数：( )10007500,1000CC xxxx（1）求当日产量为 10

21、0吨时的边际成本；（2）求当日产量为 100吨时的平均单位成本。30. 生产x单位某产品的总成本 C 为x的函数：21( )11001200CC xx ，求：（1）生产 900单位时的总成本和平均单位成本；（2）生产 900单位到 1000单位时的总成本的平均变化率；（3）生产 900单位和 1000单位时的边际成本。31. 设生产x单位某产品，总收益R为x的函数：2( )2000.01RR xxx ，求：生产 50 单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。32. 生产x单位某种商品的利润是x的函数：2( )50000.00001L xxx ，问生产多少单位时获得的利润最大？名师资料总结 -

22、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题22 33. 某厂每批生产某种商品x单位的费用为( )5200C xx，得到的收益是2( )100.01R xxx ，问每批生产多少单位时才能使利润最大？34. 某商品的价格 P 与需求量 Q的关系为105QP，求（1）求需求量为 20 及30时的总收益 R、平均收益 R及边际收益 R ；（2） Q为多少时总收益最大？35. 某工厂生产某产品，日总成本为C 元，其中固定成本为2

23、00 元，每多生产一单位产品，成本增加10 元。该商品的需求函数为502QP，求 Q为多少时，工厂日总利润 L 最大？36. 已知函数bxaxxxf23)(的图象与 x 轴切于点（ 1，0），求)(xf的极大值与极小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题23 37. 已知cbxaxxf24)(的图象经过点 (0,1)，且在1x处的切线方程是2yx。（1）求)(xfy的解析式；（2）求)(xfy

24、的单调递增区间。38. 已知函数cbxaxxxf33)(23在2x处有极值，其图象在1x处的切线与直线0526yx平行. （1）求函数的单调区间；（2）当 3 , 1x时，241)(cxf恒成立，求实数c的取值范围。39. 已知2x是函数2( )(23)xf xxaxae 的一个极值点（718.2e）。（1）求实数 a的值；（2）求函数( )f x在3,23x的最大值和最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高

25、等数学导数练习题24 40. 已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示（1）求dc,的值；（2）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（3）在（ 2）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。41. 已知函数)(3ln)(Raaxxaxf（1）求函数)(xf的单调区间；（2） 函数)(xf的图像在4x处切线的斜率为,23若函数2)( 31)(23mxfxxxg在区间（ 1，3）上不是单调函数，求m的取值范围。42. 已知常数0a，e为自然对数的底数，函数xexfx)(，xaxxgln)(2（1

26、）写出)(xf的单调递增区间，并证明aea；（2）讨论函数)(xgy在区间), 1(ae上零点的个数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题25 43. 已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点， 且在1x处取得极大值（1）求实数 a的取值范围；（2）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（3） 对于 （II ） 中的函数)(xf， 对任意R、， 求证：81|

27、)sin2()sin2(|ff44. 已知函数( )ln(1)(1)1f xxk x（1）当1k时，求函数( )f x的最大值；（2）若函数( )f x没有零点，求实数k的取值范围；45. 定义),0(,)1(),(yxxyxFy：（1）令函数22( )(3,log (24)f xFxx，写出函数( )f x的定义域；（2）令函数322( )(1,log (1)g xFxaxbx的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得曲线 C在)14(00 xx处有斜率为 8 的切线，求实数a的取值范围；（3）当,*x yN且xy时，求证( , )( , )F x yF y x。名师资料总结 - - -精品资料

28、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题26 46. 已知函数)0,( ,ln)2(4)(2aRaxaxxxf（1）当 a=18时，求函数)(xf的单调区间；（2）求函数)(xf在区间,2ee上的最小值。47. 已知函数( )(6)lnf xx xax在(2,)x上不具有单调性（1）求实数a的取值范围；（2）若( )fx是( )f x的导函数，设22( )( )6g xfxx，试证明：对任意两个不相等正数12xx、，不等式1212

29、38|()() |27g xg xxx恒成立。48. 已知函数.1,ln) 1(21)(2axaaxxxf（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）证明：若.1)()(,),0(,521212121xxxfxfxxxxa有则对任意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题27 49. 已知函数21( )ln,( )(1),12f xxaxg xaxa（1）若函数( ),( )f xg x在区间1,3上都是

30、单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（2）若(1, (2.71828)aeeL，设( )( )( )F xf xg x，求证：当12,1, x xa时，不等式12|()()| 1F xF x成立。50. 设曲线C：( )lnfxxex（2.71828e） ，( )fx表示( )f x导函数（1）求函数( )f x的极值；（2）对于曲线C上的不同两点11(,)A xy，22(,)B xy，12xx，求证：存在唯一的0 x12(,)x x，使直线AB的斜率等于0()fx。五求证题1. 证明：若函数)(xf在点0 x 处可导，则函数)(xf在点0 x 处连续。名师资料总结 - - -精品

31、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题28 2. 证明：当1x时，恒等式222arctanarcsin1xxx成立。3. 设( )f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，证明在(0,1)内存在一点c，使( )2( )( )cfcf cfc 4. 已知函数( )f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且(0)1, (1)0ff，证明在(0,1)内至少存在一点 ? ，使得 ?(? ) = -? (? )?。5.

32、 证明不等式：2121sinsinxxxx 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学导数练习题29 6. 证明不等式：11()() (1,0)nnnnnbababnaabnab。7. 证明函数2ln(1)yxx单调增加。8. 证明函数sinyxx 单调减少。9. 证明不等式：123(0,1)xxxx。10. 证明：当0 x时，ln(1)1xxx。11. 证明方程3310 xx在 (0,1)内只有一个实根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 29 页 - - - - - - - - -