2022年高数公式大全 3.pdf

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1、高等数学公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 1 页 共 20 页平方关系：sin2()+cos2()=1 tan2( )+1=sec2() cot2( )+1=csc2() 积的关系：sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos*csc sec=tan *csc csc =sec*cot 倒数关系：tan cot =1 sin csc =1 cos se

2、c=1 直角三角形ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( +)=cos cos-sin sin cos( -)=cos cos+sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( +)=(tan+tan )/(1-tan tan ) tan( -)=(tan-tan )/(1+tan tan ) 三角和的三角函数：sin( +)=sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin -sin sin sin cos( +)=cos co

3、s cos-cos sin sin -sin cos sin -sin sin cos tan( +)=(tan+tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tan tan -tan tan ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 20 页辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(

4、A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式：三倍角公式：sin(2 )=2sin cos=2/(tan+cot ) sin(3 )=3sin -4sin3() cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2( )-1=1- 2sin2() cos(3 )=4cos3( )-3cos tan(2 )=2tan /1-tan2( ) 半角公式：sin( /2)= (1-cos)/2) cos( /2)= (1+cos )/2) tan( /2)= (1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos )=

5、(1-cos)/sin 降幂公式sin2()=(1-cos(2 )/2=versin(2)/2 cos2( )=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2( )=(1 -cos(2 )/(1+cos(2) 万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1 -tan2( /2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2( /2) 积化和差公式：sin cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos sin =(1/2)sin(+)-sin( -) cos cos=(1/2)cos(+)+cos( -) sin sin =-(1/

6、2)cos(+)-cos( -) 和差化积公式：sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 20 页cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos

7、2 =2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2 其他：sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算编辑本段 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k ）sin cos（2k

8、 ）cos tan（2k ）tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角， +的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ）tan cot （ ） cot 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan cot （ ）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sin 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4

9、页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 20 页cos（ ） cos tan（ ） tan cot （ ） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2 ） sin cos（2 ） cos tan（2 ） tan cot （2 ）cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2 ） cos cos（/2 ） sin tan（/2 ） cot cot （/2 ） tan sin（/2 ） cos cos（/2 ） sin tan（/2 ） cot cot （/2 ）tan sin（3/2 ） cos

10、cos（3/2 ）sin tan（3/2 ）cot cot （3/2 ） tan sin（3/2 ） cos cos（3/2 ）sin tan（3/2 ）cot cot （3/2 ）tan (以上 kZ) 部分高等内容编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z) 1z/1！ z2/2！z3/3 ！z4/4 ！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解：对于微分

11、方程组y=-y;y=y ，有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx ，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 20 页cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3

12、/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0导数公式：基本积分表：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxC

13、axarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - -

14、第 6 页 共 20 页三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tan cot -sin cos -tan-cot90 -cos sin cottan90 +cos -sin -cot-tan180 -sin -cos -tan-cot180 +-sin -cos tancot270 -cos -sin cottan270 +-cos sin -cot-tan360 -sin cos -tan-cot360 +sin cos tancotxxarthxxxarchxx

15、xarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284. 2)11(lim1sinlim0exxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 20 页和差角公式：和差化积公式：倍角公式：半角公式：c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s

16、i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nc t gtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(! 2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctg

17、ctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 20 页中值定理与导数应用：拉 格 朗 日 中 值

18、定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1; 0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式

19、：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 20 页。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr

20、,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000

21、002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 20 页多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyy

22、udxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用：名师资料总结

23、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 20 页),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFF

24、GGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。方 向 上 的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(g

25、rad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法： 不 确 定时值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时，则：，令：设,00),(,0),( ,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 12 页 共 20 页DzDyDxzy

26、xDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdr

27、rFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧名师资料总结 - - -精品资料欢迎

28、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 13 页 共 20 页。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),

29、()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdyd

30、zzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 14 页 共 20 页dsAd

31、vAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotc

32、oscoscos)()()(常数项级数：是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ：nnnnqqqqqnn1312112) 1(32111112级数审敛法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 15 页 共 20 页散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛

33、法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1) 1()1()2() 1()2()2()1 (232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

34、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 16 页 共 20 页0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)

35、0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!) 1() 1(! 2)1(1)1 (121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2s i n2c o ss inc o sixixixixixeexeexxixe或三角级数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

36、师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 17 页 共 20 页。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ：。，其 中 ，0,c o s,s i n2c o s,2s i n,c o s,s i n, 1c o ss i n)s i nc o s(2)s i n ()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：是 偶 函 数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfba

37、nnxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3, 2, 1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 ,2,1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3 ,2 ,1(sin)(1)2,1 ,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：名师资料总结 - - -精品资

38、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 18 页 共 20 页即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(

39、0),(),(),(一阶线性微分方程：) 1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的， 其 中 ：分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时 为 非 齐 次时 为 齐 次，0)(0)()(

40、)()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 19 页 共 20 页的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为 常 数 ；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -