2022年高等数学练习题 .pdf

《2022年高等数学练习题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学练习题 .pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 高等数学专业年级学号姓名一、判断题 . 将或 填入相应的括号内.（每题 2分，共 20 分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(xf在0 x点可导，则)(xf也在0 x点可导 . （）6. 若连续函数)(xfy在0 x点不可导，则曲线)(xfy在)(,(00 xfx点没有切线. （）7. 若)(xf在ba,上可积，则)(xf在ba,上连续 . （）8. 若),(yxfz在（00, yx）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz在（00,yx）处可微 .

2、（）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且1)0()0(ff, 则)0(f为)(xf的一个极小值 . 二、填空题 .（每题 2 分，共 20 分）1. 设2)1(xxf，则)1(xf. 2. 若1212)(11xxxf，则0limx. 3. 设 单 调 可 微 函 数)(xf的 反 函 数 为)(xg, 6)3(,2) 1(,3) 1(fff则)3(g. 4. 设yxxyu, 则du. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

3、- - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 5. 曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为. 6. 设)(xf为可导函数 ,)()1()(, 1)1 (2xfxfxFf,则)1(F. 7. 若),1(2)(02xxdttxf则)2(f. 8. xxxf2)(在0,4上的最大值为. 9. 广义积分dxex20. 10. 设 D 为圆形区域dxdyxyyxD5221, 1. 三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1. 计算)2(1)1(11(lim222nnnn. 2. 求1032)10()3()2)(1(xxxxy在（ 0，+）内的导数 . 3.

4、 求不定积分dxxx)1 (1. 4. 计算定积分dxxx053sinsin. 5. 求函数22324),(yxyxxyxf的极值 . 6. 设平面区域D 是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin. 7. 计算由曲线xyxyxyxy3,2, 1围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程yxyy2的通解 . 四、证明题（每题 10 分，共 20 分）1. 证明：2tanarcsin1xarcxx)(x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 28 页

5、- - - - - - - - - 3 2. 设)(xf在闭区间 ,ba上连续，且,0)(xfdttfdttfxFxxb0)(1)()(证明：方程0)(xF在区间),(ba内有且仅有一个实根. 高等数学参考答案一、判断题 . 将或填入相应的括号内（每题2 分，共 20 分）1. ；2. ；3.；4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10. 二、 填空题 . （每题 2 分，共 20 分）1.442xx；2. 1；3. 1/2；4.dyyxxdxyy)/()/1(2；5. 2/3 ；6. 1 ；7. 336；8. 8 ；9. 1/2 ；10. 0. 三、计算题（每题5 分，共 40 分

6、）1.解： 因为21(2 )nn222111(1)(2 )nnn21nn且21lim0(2 )nnn，21limnnn=0 由迫敛性定理知：)2(1)1(11(lim222nnnn=0 2.解： 先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(lnxxxy101022111xxxyy)(10()1(xxy)10102211xxx3.解： 原式 =xdx112=xdx2)(112名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - 4

7、=2cxarcsin4.解： 原式 =dxxx023cossin=2023sincosxdxx223sincosxdxx=2023sinsinxxd223sinsinxxd=2025sin52x225sin52x=4/5 5.解：02832yxxfx022yxfy故00yx或22yx当00yx时8)0, 0(xxf，2)0,0(yyf，2)0, 0(xyf02)2()8(2且 A=08（0，0）为极大值点且0)0,0(f当22yx时4)2,2(xxf，2)2,2(yyf，2)2,2(xyf02)2(42无法判断6.解： D=yxyyyx2, 10),(102sinsinyyDdxyydydxd

8、yyy=dyxyyyy2sin10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - 5 =dyyyy)sin(sin10=1010coscosyydy=1010coscos1cos1ydyyy=1sin17.解： 令xyu，xyv；则21u，31vvvuuvvvuuvyyxxJvuvu2122213ln212131DdvvdudA8.解： 令uy2，知xuu42)(由微分公式知：)4(222cdxxeeyudxdx)4(22cd

9、xxeexx)2(222cexeexxx四. 证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解： 设21arcsinarctan)(xxxxf222222211111111)(xxxxxxxxf=0 cxf)(x令0 x0000)0(cf即：原式成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - 6 2.解：,)(baxF在上连续且dttfaFab)(1)(0 故方程0)(xF在),(ba上至少有一个实根.又)(1)()(xfx

10、fxF0)(xf2)(xF即)(xF在区间,ba上单调递增)(xF在区间),(ba上有且仅有一个实根.高等数学专业学号姓名一、判断题（对的打，错的打；每题2 分，共 10分）1.)(xf在点0 x处有定义是)(xf在点0 x处连续的必要条件. 2. 若)(xfy在点0 x不可导，则曲线)(xfy在)(,(00 xfx处一定没有切线. 3. 若)(xf在,ba上可积，)(xg在,ba上不可积，则)()(xgxf在,ba上必不可积. 4. 方程0 xyz和0222zyx在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则*

11、yyy为一阶线性微分方程的通解. 二、填空题（每题2分，共 20分）1. 设, 5)(,12)3(afxxf则a. 2. 设xxxf3arcsin)21ln()(，当)0(f时，)(xf在点0 x连续 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - 7 3. 设xtttxxf2)11(lim)(，则)(xf. 4. 已知)(xf在ax处可导，且Aaf)(，则hhafhafh)3()2(lim0. 5. 若2)(cos)(2

12、xfdxdxxf，并且1)0(f，则)(xf. 6. 若)(),(xgxf在点b左连续，且)()(),()(xgxfbgbf)(bxa，则)(xf与)(xg大小比较为)(xf).(xg7. 若2sin xy，则)(2xddy；dxdy. 8. 设xxtdtxf2ln)(，则)21(f. 9. 设yxez2，则)1, 1(dz. 10. 累次积分dyyxfdxxRR)(202022化为极坐标下的累次积分为. 三、计算题（前 6 题每题 5分，后两题每题 6分，共 42分）1. xxtxdtttdtt0sin010sin)1(lim; 2. 设1ln22xxeey，求y; 3. dxxxx2sin

13、1cossin; 4. 20224dxxx; 5. 设22yxxz, 求yxzyz2,. 6. 求由方程)ln()(2yxyxxy所确定的函数)(xyy的微分dy. 7. 设平面区域D是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin. 8. 求方程0)ln(lndyyxydxy在初始条件eyx 1下的特解 . 四、 （ 7 分）已知bxaxxxf23)(在1x处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极大值与极小值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 28 页

14、 - - - - - - - - - 8 五、应用题（每题 7 分，共 14分）1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10hkm时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元 . 问轮船的速度为多少时, 每航行km1所消耗的费用最小？2. 过点)0, 1(向曲线2xy作切线，求： （1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题（ 7 分）设 函 数)(xf在ax0上 的 二 阶 导 数 存 在 ， 且0)0(f, 0)(xf. 证 明xxfxg)()(在ax0上单调增加 . 高等数学参考答案一、判断题1.

15、；2. ；3. ；4. ；5. . 二、填空题1. 36 ； 2. 32； 3. xex2)1(4； 4. A5； 5. xsin1； 6.；7. 22cos2,cosxxx；8. 2ln；9. dydx2；10.200)2cos(Rrdrrfd. 三、计算题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - 9 1. 原式xxxxxxsincos)sin1 (limsin10ee12.2222222222) 1(2)1(2121

16、11xxxxxxxxxeeeeeeeeey22222) 1(221xxxxeeeexe2113原式 =dxxxxx2)cos(sincossin)cos(sin)cos(sin12xxdxxCxxcossin14设txsin2则tdtdxcos2原式=202cos2cos2sin4tdttt2022cossin16tdtt20202)4cos1(22sin4dtttdt20)4sin41(2tt523222222)(22yxxyyxyxyxyz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

17、- 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - 10 322212223222)(2)(23)(yxxyxxyyxyyxz3222232)()2(yxyxyyx6两边同时微分得：)(1)()ln()(2dydxyxyxyxdydxdxdy即)()ln()ln(2dydxdyyxdxyxdxdy故dxyxyxdy)ln(3)ln(2（本题求出导数后，用dxydy解出结果也可）7102sinsinyyDdxyydydxdyyy10)sin(sindyyyy101010coscoscosydyyyy10sin1cos1cos1y1sin18原方程可化为yxyydydx1ln1通解为

18、1ln1ln1Cdyyeexdyyydyyy1lnlnlnlnCdyyeeyyln1ln1Cydyyy)(ln21ln12CyyyCylnln21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - 11 eyx 1代入通解得1C故所求特解为：01ln2)(ln2yxy四、解：baxxxf23)(2因为)(xf在1x处有极值2，所以1x必为驻点故023) 1(baf又21)1 (baf解得：3,0ba于是xxxf3)(3)1(3)

19、(2xxfxxf6)(由0)(xf得1x，从而06)1 (f， 在1x处有极小值2) 1(f06) 1(f，在1x处有极大值2)1(f五、1. 解： 设船速为)/(hkmx，依题意每航行km1的耗费为)96(13kxxy又10 x时，6103k故得006. 0k， 所以有)96006.0(13xxy，),0(x令0)8000(012.032xxy， 得驻点20 x由极值第一充分条件检验得20 x是极小值点 . 由于在),0(上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20hkm时，每航行km1的耗费最少，其值为2 .7209620006.02miny

20、（元）2. 解： （1）设切线与抛物线交点为),(00yx，则切线的斜率为100 xy，又因为22xy上的切线斜率满足12yy，在),(00yx上即有120yy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - 12 所以112000 xyy，即1200 xy又因为),(00yx满足2020 xy，解方程组212020020 xyxy得1300yx所以切线方程为)1(21xy则所围成图形的面积为：61)12(2102dyyyS（

21、2）图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为：6)2()1(4132102dxxdxxV六、证：22)0()()()()()(xfxfxf xxxfxfxxxf在, 0 x上，对)(xf应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x，使得)()0()(fxfxf代入上式得2)()()(xfxf xxxf由假设0)(xf知)(xf为增函数，又x，则)()(fxf, 于是0)()(fxf, 从而0)(xxf，故xxf)(在),0(a内单调增加 . 高等数学试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1 分，共 10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

22、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - 13 1函数221arcsin11yxx的定义域为 _。 2 函数xyxe上点（，）处的切线方程是_。 3 设( )f x在0 x可导且0()fxA，则000(2 )(3 )limhf xhf xhh _ 。 4 设曲线过(0,1)，且其上任意点( , )x y的切线斜率为2x，则该曲线的方程是_。 5 41xdxx_。1limsinxxx_。 7设( ,)sinf x yxy，则( , )xfx y_。 8累次积分222200()RRxdxf xy dy化为极坐标下的累次积

23、分为_。 9微分方程322323()0d yd ydxx dx的阶数为 _。 10设级数1nna发散，则级数1000nna _ 。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（ 110 每小题 1 分， 1117 每小题 2 分，共 24分）1设函数1( ),( )1f xg xxx，则( ( )f g x（）11x11x11x 20 x时，1sin1xx是（）无穷大量无穷小量有界变量无界变量 3下列说法正确的是（）若( )f x在0 xx连续，则( )f x在0 xx可导名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

24、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - 14 若( )fx在0 xx不可导，则( )f x在0 xx不连续若( )fx在0 xx不可微，则( )f x在0 xx极限不存在若( )fx在0 xx不连续，则( )f x在0 xx不可导 4若在( , )a b内恒有( )0 ,( )0fxfx，则在( , )a b内曲线弧( )yfx为 （）. 上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧 5设( )( )FxG x，则（）( )( )F xG x为常数( )( )F xG x为常数( )( )0F xG

25、 x( )( )ddF x dxG x dxdxdx611xdx（） 7方程231xy在空间表示的图形是（）平行于xOy面的平面平行于Oz轴的平面过Oz轴的平面直线8设332( , )f x yxyx y，则(,)f tx ty（）( ,)tf x y2( ,)t fx y3( , )t f x y21( ,)f x yt9设0na，且1limnnnaa，则级数1nna（）在1p时收敛，1p时发散在1P时收敛，1p时发散在1p时收敛，1p时发散在1p时收敛，1p时发散10方程236yxyx y是（）一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

26、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - 15 可分离变量的微分方程二阶微分方程11下列函数中为偶函数的是（）xye31yx3cosyxxlnyx12设( )f x在( , )a b可导，12axxb，则至少有一点( , )a b使（）( )( )( )()f bf afba21( )( )( )()f bf afxx21()()( )()fxfxfba2121()()( )()f xf xfxx 13 设( )f x在0 xx的左右导数存在且相等是( )f x在0 xx可导的（

27、）充分必要的条件必要非充分的条件必要且充分的条件既非必要又非充分的条件14设22( )cos( )df xxf xdx，则(0)1f，则( )f x（）cosx2cosx1sin x1sinx15过点（，）且切线斜率为34x的曲线方程为（）44434x16设幂级数0nnna x在0 x（00 x）收敛，则0nnna x在0 xx（）绝对收敛条件收敛发散收敛性与na有关 17 设域由2,yx yx所围成，则sinDxdx（）110sinxxdxdyx；10sinyyxdydxx；10sinxxxdxdyx；10sinxxxdydxx. 三、计算题（ 13 每小题 5 分，49 每小题 6 分，共

28、 51 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - 16 设1(3)xyx x求y . 求243sin(916)lim34xxx . 计算2(1)xdxe. 设10(cos )arctan,(sin )arctanttxuudu yuudu，求dydx . 求过点（，），（，）的直线方程. 设sinxyzue，求 . 计算sin00sinxardrd. 求微分方程21()1ydydxx的 通解 . 将3( )(1)(

29、2)fxxx展成的幂级数 . 四、应用和证明题（共15 分）（分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为0k）求速度与时间的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - 17 （分）借助于函数的单调性证明：当x1时，123xx。高等数学参考答案一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）（，）221arctan2xc（）2200()df rrdr三阶发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中

30、，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， 110 每小题 1 分，1117 每小题 2 分，共 24 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17三、计算题（13 每小题 5 分， 49 每小题 6 分，共 51 分）解：1lnln(1)lnln(3)2yxxx11111()213yyxxx11111()2(3)13xyx xxxx解：原式24318 cos(916)lim3xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17

31、页，共 28 页 - - - - - - - - - 18 24418( )cos(9( )16)333解：原式2(1)(1)xxxee dxe(1)xdxe-2(1)(1)xxdee(1)1xxxeedxe11xe1ln(1)1xxxece解： 因为(cos ),(sin )dxt arctgtdt dyt arctgtdt(sin )(s )dyt arctgtdttgtdxco t arctgtdt解： 所求直线的方向数为，所求直线方程为112103xyz解：sin(sin )xyzdued xyzsin1(s)2xyzedxdyco zdzy解： 原积分sin230001sinsin2

32、adrdrad232202sin3ada解： 两边同除以2(1)y得22(1)(1)dydxyx两边积分得22(1)(1)dydxyx亦即所求通解为1111cxy解： 分解，得( )f x1112xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - - 19 1111212xx001( 1)22nnnnnnxx（1x且12x）1011( 1)2nnnnx（1x）四、应用和证明题（共分）解： 设速度为，则满足dummgkudt解方程

33、得1()ktumgcek由t=0定出，得(1)ktmguek证： 令( )f x123xx则( )f x在区间，连续而且当1x时，211( )0(1)fxxxx因此( )f x在，单调增加从而当1x时，( )f x(1)f即当1x时，123xx高等数学专业学号姓名一、判断正误（每题2 分，共 20 分）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. 2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数. 3. xfy在点0 x连续，则xfy在点0 x必定可导 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

34、- 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - - 20 4. 若x点为xfy的极值点，则必有0 xf0. 5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数. 6. 方程122yx表示一个圆 . 7. 若yxfz,在点000, yxM可微，则yxfz,在点000, yxM连续 . 8. xexy22是二阶微分方程. 9. xxtdtdxd11sinsinsin. 10. 若xfy为连续函数，则dttfxa必定可导 .二、填空题（每题4 分，共 20 分）1. _sin1xdx. 2. _2sinlimxxx. 3. 设1xf，且10f，则_dxxf. 4. 2xyz，则_dz. 5

35、. _sin2baxdxd. 三、计算题与证明题（共计60 分）1.nnnn12lim1， （5 分） ；111lim20 xxex， （5 分） 。2. 求函数xxxxysincoscossin的导数。（10 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - 21 3. 若在,上00,0 fxf.证明：xxfxF在区间0 ,和,0上单调增加 .（10 分）4. 对物体长度进行了n次测量，得到n个数nxxx,21。现在要确

36、定一个量x，使之与测得的数值之差的平方和最小.x应该是多少？（10 分）5. 计算dxxx2sin.（5 分）6. 由曲线xyln与两直线0,1yxey所围成的平面图形的面积是多少.（5 分）7. 求微分方程yxdxdyx满足条件02xy的特解。（5 分）8. 计算二重积分,2dxdyxDD是由圆122yx及422yx围成的区域 .（5 分）高等数学参考答案一、判断正误（每题2 分，共 20 分）1-5 ， ， ， ， . 6-10. ， ， ， ， . 二、填空题（每题4 分，共 20 分）cxxcos1tan.1；0 .2；cx221.3；xydydxy2.42；0 .5. 三、计算题与证

37、明题。 （共计 60 分）1. nnnn12lim1=1331131lim?nnnnn=13limnnne111lim20 xxex=11lim0 xxxexxe=201limxxexx=xexx21lim0212lim0 xxe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - 22 2. 令xxycos1sinxxysin2cos则xxeysinlncos1xxeysinlncos1xxxxxexxxsinlncotsins

38、inlncos21cossinlncos同理xxxyx21sin2tancoslncosxxxyxsinlncotsin21cosxxxx21sintancoslncos3. xxfxFxxfxF=2xxfxf x令xfxf xxg则0 xf xxg为单调递减。时，为单调递增；时，当xgxxgx00则当0 x时( )00g xg为单调递增时，当xFxxF00当0 x时( )00g xg为单调递增时，当xFxxF00故命题成立。4.令22221nxxxxxxxfnxxxnxxf212则令为驻点nxxxxfn100020nxf的极小值点点为xfx0nxxxn1应为5. dxxx2sin=dxxx2

39、2cos1=dxxxx2cos21=cxxxx2cos812sin41412名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - - 23 6. 232111101010210yyeyyedyeyeS7. 方程变形为11yxy而?cdxeeydxxdxx111=xxc21初始条件：102cyxxxy211*8、20 ,21,*rrD?202132222415coscos*drrdrdrdrdxdyxDD高等数学专业学号姓名一、判断（每

40、小题 2 分，共 20 分）1. f(x) 在点 x0处有定义是f(x) 在点 x0处连续的必要条件. ( ) 2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( ) 3. y=f(x) 在 x0处可导 ,则 y=| f(x)| 在 x0处也可导 . ( )4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )5. 可导函数 f(x) 的极值点一定是f(x) 的驻点 . ( )6. 对任意常数k,有dxxkf)(=kdxxf)(. ( )7. 若 f(x)在a,b上可积 ,则 f(x) 在a,b上有界 . ( )8. 若 f(x,y) 在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称 ,则当f(x,y) 为关于x 的奇

41、函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - - 24 时,Ddxdyyxf),(=0. ( )9. )(y2=- 2x-ex的通解中含有两个独立任意常数. ( )10. 若 z=f(x,y) 在 Po的两个偏导数都存在,则 z=f(x,y) 在 P0连续. ( )二、填空（每空 2 分，共 20 分）1.xlim xsinx1+x1sinx+(xx2)x= . 2.函数 f(x)=xx3在0,3上满足罗尔定理的条件,定理

42、中的数值= .3. 设 f(x)=00 xxaxex当 a= 时,f(x)在 x=0 处连续 . 4. 设 z=eyx22,则 dz| (0,0)= .5. 函数 f(x)=ex-x-1 在内单调增加 ;在内单调减少 .6. 函数32yaxbxcxd满足条件时, 这函数没有极值. 7.dxdbax2sindx = 其中 a,b 为常数 . 8. f(x)=1 且(0)0f,则dxxf)(= .9.若 I=102),(xxyxfdxdxdy 交换积分次序后得.三、计算（每小题 5 分, 共 40 分）1. 求0limx(21x-xtgx1) ；2. dtttxe1ln+dtty)3(cos1=2

43、,求 dy；3. 求dxxx)1 (1；4. 求dxx143111；5. 求dxxex02；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - - 25 6. 设 z=ln(x2+y2) 求xz,yxz2；7. 计算I=Dxdxdy.其中 D 是由圆 x2+y2=4 围成的区域；8. 求微分方程 - ydx+(x+y3)dy=0 的通解 . 四、应用题 (每题 7 分, 共 14 分) 1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖

44、只够砌20 米长的墙壁 ,问应围成的长方形的长 ,宽各为多少才能使这间小屋面积最大. 2. 求由 y=x1,x=1,x=2 与 x 轴所围成的图形的面积及该图绕x 轴旋转一周的旋转体的体积. 五、证明 ( 本题 6 分) 证明 :当 x0 时,不等式 1+xx121成立 . 高等数学参考答案一、判断正误（每题2 分，共 20 分）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9 ； 10 . 二、填空题（每题4 分，共 20 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

45、- - 第 25 页，共 28 页 - - - - - - - - - 26 1. 21e； 2. 2 ； 3. 1 ； 4. 2dx； 5.0)，+，,0（-； 6.230bac；7.0 ； 8. 212xc； 9. 10( , )yydyf x y dx . 三、计算题与证明题（共计60 分）1. 2011limtanxxxx20tanlimtanxxxxx30tanlimxxxx20sec1lim3xxx202sectan1lim63xxxx 2. 方程两边同时对x求导得：则ln(cos3)0 xxxeeyye(cos3)0 xycos3xyycos3xdydxy 3. 1(1)dxxx

46、21dxx2121()dxx2arctanxc4、令2112xtxtdxtdt当34x时12t；当1x时0t原式11221tdtt112200122111tdtdttt1202ln112ln 2tt5.0202)21(dxexdxxexx0202)21()21(dxeexxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 28 页 - - - - - - - - - 27 414102xe6. 2222222)(1yxxyxyxxz2222222)(42)(2yxxyy

47、yxxyxz7. 令sincosryrx，2020cosrdrrdI031sincos2032020202rdrrd8. 解：21yxydydx)(121cdyeyexdyydyy)21(2cyy原方程的通解为：)21(2cyyx四、 （每题 7 分，共 14分）1. 解：设长方形的长和宽分别为x和y，面积为s，则202yx即yx2202220yyxys)0(y0420ys，得5y04s当长10 xM ；宽5yM时，面积最大。五、 （本题 6 分）令xxxf1211)(012121)(xxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 28 页 - - - - - - - - - 28 0)0()(fxf即xx1211名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 28 页 - - - - - - - - -