2022年高等数学经典方法与典型例题归纳 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2014 年山东省普通高等教育专升本考试2014 年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务理工类专业： 电气工程及其自动化、 电子信息工程、 机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013 年 5 月 17 日星期五曲天尧编写名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、求极限的各

2、种方法1约去零因子求极限例 1：求极限11lim41xxx【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。【解】6) 1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx=4 2分子分母同除求极限例 2：求极限13lim323xxxx【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim13lim311323xxxxxxx【注】 (1) 一般分子分母同除x的最高次方；(2) nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim0110113分子 (母)有理化求极限例 3：求极限)13(lim22xxx【说明】分子或

3、分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx0132lim22xxx例 4：求极限30sin1tan1limxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim303041sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300

4、 xxxxxxxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0 xxx和exnxxxnnxx10)1 (lim)11 (lim)11 (lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑X1，最后凑指数部分。【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx例 6：(1)xxx211lim； (2)已知82limxxaxax，求a。5用等价无穷小量代换求极限【

5、说明】(1)常见等价无穷小有：当0 x时,)1ln(arctanarcsintansinxxxxxx1ex, abxaxxxb11,21cos12；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例 7：求极限0ln(1)lim1cosxxxx【解】002ln(1)limlim211cos2xxxxx xxx. 例 8：求极限xxxx30tansinlim名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - -

6、 - - - - - 学习好资料欢迎下载【解】xxxx30tansinlim613lim31coslimsinlim222102030 xxxxxxxxxx6用洛必达法则求极限例 9：求极限220)sin1ln(2coslnlimxxxx【说明】或00型的极限 ,可通过罗必塔法则来求。【解】220)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim203sin112cos222sinlim20 xxxxx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例 10：设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000 xxxdttxf

7、xdttftx【解】由于000)()()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000 xfxduufxdttfxxx=.21)0()0()0(fff7用对数恒等式求)()(limxgxf极限例 11：极限xxx20)1ln(1lim【解】xxx20)1ln(1lim=)1ln(1ln20limxxxe=.2)1ln(2lim

8、)1ln(1ln2lim00eeexxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限，也可用公式)()(limxgxf)1 (=)()1)(lim(xgxfe因为)1)(1ln()(lim)(ln()(lim)()(limxfxgxfxgxgeexf)()1)(lim(xgxfe例 12：求极限3012coslim13xxxx. 【解 1】 原式2 c

9、osln3301limxxxex202cosln3limxxx20l n2c o sl n 3l i mxxx（）01si n2co sl i m2xxxx（）011si n1l i m22co s6xxxx【解 2】 原式2 cosln3301limxxxex202cosln3limxxx20co s1ln3limxxx（1）20c o s11l i m36xxx8利用 Taylor 公式求极限例 13 求极限)0(,2lim20axaaxxx. 【解】)(ln2ln1222lnxaxaxeaaxx, )(ln2ln1222xaxaxax; ).(ln2222xaxaaxx名师资料总结 -

10、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载axxaxxaaxxxx22222020ln)(lnlim2lim. 例 14 求极限01 1lim(cot)xxxx. 【解】001 11 sincoslim(cot)limsinxxxxxxxxxxx323230()1()3!2!limxxxxxxxx333011()()12!3!lim3xxxx. 9数列极限转化成函数极限求解例 15：极限21sinlimnnnn【说明】这

11、是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7 提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限611sin11011sin222limlim1sinlimeeexxyyyyxxxxxx所以，6121sinlimennnn10n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限. 例 16：极限22222212111limnnnnn【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(xf看成 0,1定积分。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

12、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载10)(211limdxxfnnfnfnfnn【解】原式222112111111limnnnnnn1212ln2111102dxx例 17：极限nnnnn22212111lim【说明】 (1)该题遇上一题类似，但是不能凑成nnfnfnfnn211lim的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】nnnnn22212111lim因为11211122222

13、nnnnnnnnn又nnnn2lim11lim2nnn所以nnnnn22212111lim11单调有界数列的极限问题例 18：设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxx n（）证明limnnx存在，并求该极限；（）计算211limnxnnnxx. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【详解】（）因为1

14、0 x，则210sin1xx. 可推得10sin1,1,2,nnxxn，则数列nx有界 . 于是1sin1nnnnxxxx， （因当0sinxxx时，） ， 则有1nnxx，可见数列nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在 . 设limnnxl， 在1sinnnxx两边令n，得sinll，解得0l，即lim0nnx. （）因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx，由（）知该极限为1型，61sin01sin110032221limlimsin1limeeexxxxxxxxxxxx(使用了洛必达法则) 故2211116sinlimlimennxxnnnn

15、nnxxxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二、常见不定积分的求解方法的讨论0. 引言不定积分是高等数学中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性

16、更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如xkdx22sin1（其中10k） ；dxxxsin；dxex2；dxxln1等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1. 不定积分的概念定义：在某区间I 上的函数)(xf， 若存在原函数， 则称)(xf为可积函数， 并将)(xf的全体原函数记为dxxf)(, 称它是函数)(xf在区间 I 内的不定积分， 其中为积分符号，)(xf称

17、为被积函数，x称为积分变量。若)(xF为)(xf的原函数，则：dxxf)(=)(xF+C(C 为积分常数 )。在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：dxd(dxxf)() 和dxxf)(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 2

18、2 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载d完全抵消。d抵消后差一常数。2. 两 函 数 代 数 和 的 不 定 积 分 ， 等 于 它 们 各 自 积 分 的 代 数 和 ， 即 ：dxxgxf)()(=dxxf)(dxxg)(。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：dxxkf)(=kdxxf)(k0)。在这里，给出两个重要定理：(1)导数为 0 的函数是常函数。(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。2. 直接积分法 (公

19、式法 ) 从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法 )。下面先给出基本求导公式：(1) kkx)(2) xx1)(3) xx1)(ln(4) xx211)(arctan(5) xx211)(arcsin(6) axxaln1)(log(7) eexx)(8) xxcos)(sin(9) xxsin)(cos(10) xxsec)(tan2(11) xxcsc)(cot2。根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

20、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1)( 是常数kCkxkdx(2)1(11Cxdxx(3) Cxxdxln(4) Cxdxxarctan112(5) Cxdxxarcsin112(6) Caadxaxxln(7) Cedxexx(8) Cxxdxsincos(9) Cxxdxcossin(10) Cxxdxtansec2(11) Cxxdxcotcsc2。下面举例子加以说明：例 2.1：求dxxx) 143(2解原式 = dxxdxdxx432=

21、dxxdxdxx432= )()2(4)3( 332213CxCxCx=Cxxx232注意： 这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。例 2.2：求dxxx122解原式 =dxxx11)1(22=12xdxdx=Cxxarctan注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1 减 1”法，相当于是将多项式拆分成多名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - -

22、 - - - - - - - 学习好资料欢迎下载个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。3. 第一类换元法 (凑微法 ) 利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如xd xxc o ssi n2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分dxxf)(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为)()()(xxgxf，作变量代换)(xu

23、，并注意到)()(xddxx，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有.)()()()(duugdxxxgdxxf如果duug)(可以求出， 不定积分dxxf)(的计算问题就解决了，这就是第一类换元法 (凑微分法 )。注 ： 上 述 公 式 中 ， 第 一 个 等 号 表 示 换 元ux)(， 最 后 一 个 等 号 表 示 回 代)(xu. 下面具体举例题加以讨论例 3.1：求dxx) 12(10. 解原式 =dxxx)12()12(2110=)12()12(2110 xdxux12Cduuu112121111012xuCx) 12(22111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量

24、的换元和回代过程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3.2：求)(25812xdxx. 解原式)(9)4(12xdx)(1)34(13122xdx)34(1)34x(1312xdCx34ar c t an31例 3.3：求xdx21解)1111(21)1)(1(1112xxxxx1)1(1)1(21112xxdxxdxCxx1ln1ln21Cxx11ln21在这里做一个小结，当遇到形如：c

25、bxxadx2的不定积分，可分为以下3中情况：cbxxa2的：大于 0 时。可将原式化为)(21xxxx，其中， x1、x2为02cbxxa的两个解，则原不定积分为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载)(21xxxxdx)()()()()(1221112xxxxdxxxxdxxCxxxxxx2112ln)(1等于 0 时。可利用完全平方公式，然后可化成)()(2kxdkx。然后根据基本微分公式

26、(2)便可求解。小于 0 时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。例 3.4： 求xdxsec解原式xxdxxdxxdxsin1sincoscoscos22)s i n1)(sin1(sinxxxd)s i n1(s i n)s i n1(s i n21xxdxxdCxxs i n1s i n1ln21该题也可利用三角函数之间的关系求解：原式dxxxxxxtansectansecsec2)t an( s e ct a ns ec1xxdxxCxxt a ns e cln. 虽然两种解法的结果不同，但经验证均为xsec的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的

27、不唯一性。例 3.5：求xdxcos2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解xdxcos2)2cos(2122cos1xdxdxdxx)2(2c o s4121xxddxCxx42sin2例 3.6：求xdxsec6. 解xdxsec6xdxxsec)sec2(22)(tan)tan21(2xdx)( t an)t ant an21(42xdxxCxxxt an51t an32t an53注

28、：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。例 3.7：求dxxx) 1(1002. 解原式dxxx)1(111002dxxxx)1(1) 1(110099dxxxx)1(1) 1(2110099)1()1(1) 1(2) 1(11009898xdxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - -

29、 - - - 学习好资料欢迎下载Cxxx) 1(991) 1(491)1(971999897注：这里也就是类似例2 所说的方法，此处是“减1 加 1”法。4. 第二类换元法如果不定积分dxxf)(用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量替换)(tx后，所得到的关于新积分变量t的不定积分dtttf)()(可以求得，则可解决dxxf)(的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分 )法。设)(tx是单调、可导函数，且0)(t，又设)()(ttf具有原函数)(tF，则dxxf)(dtttf)()(CtF)(CxF)(，其中)(x是)(tx的反函数。注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程

30、与第一类换元积分法的正好相反。例 4.1：求不定积分)0(22adxxa. 解令taxs i n，则t d tadxcos，)2,2(t，所以dxxa22dttatacoscosdtta)2cos1 (22Ctta)2si n21(22Cttta)c o ss i n(22为 将 变 量t还 原 回 原 来 的 积 分 变 量x， 由taxsin作 直 角 三 角 形 ， 可 知axat22cos，代入上式，得dxxa22Cxaxaxa2222arcsin2a xa22x t 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

31、精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载注：对本题，若令taxcos，同样可计算。例 4.2：求不定积分)0(122adxax. 解令taxt an，则t d tadxsec2，)2,2(t，所以dxax221tdttdtatasecsecsec12Ctt1t anseclnCaxx22ln例 4.3：求不定积分)0(122adxax. 解令taxsec，则t d ttadxtansec，)2,0(t，所以dxax221tdtdttattasectantansecCtt1t anseclnCaxx22ln注：以上几

32、例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有xa22时，可令taxsin，)2,2(t；如果被积函数中含有ax22，可令taxtan，)2,2(t；如果被积函数中含有ax22；可令taxsec，)2,0(t. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 4.4：求不定积分eedxxx解令)0(tetx，则txln，所以，tdtdx。eedxxxdtttt11d

33、tt211Ctar c t anCexar c t an. 例 4.5：求不定积分xxdx232. 解xx d x232xxd223221(变形 ). 令)0(322txt，3222tx.tdtdx322原式)32(121tdttdt31Cx23231关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。5. 分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如dxexx、dxxxcos等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法分部积分法. 设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数，则u d vv

34、d uuvd)(移项得到v d uuvdudv)(，所以有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载v d uuvudv，或vduuvdxvu. 上面两个式子称为分部积分公式. 利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分dxxf)(化成udv的形式， 使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，CexCeexdxeexexddxxxxxxxxex) 1(利用分部积分法计算不定积分，选择

35、好 u,v 非常关键， 选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。例 5.1：求不定积分dxxxcos. 解令xu，dvxdxdxsincos，则Cxxxdxxxxxxddxxxcossinsinsinsincos有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。例 5.2：求不定积分dxexx2. 解令xu2和dxedvx，则dxexx2dxexexdxx2. 对后面的不定积分再用分部积分法，dxexxCeexedxxxx(运算熟练后，式子中不再指出u 和 v 了)，代入前式即得dxexx2Cexxx)22(2. 注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(

36、余 )弦函数的乘积，可设幂函数为 u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次 (幂指相碰幂为u)。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 5.3：求不定积分xdxxarctan. 解令xuar c t an，22xdx d x,则xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxx)111(21arctan222Cxxxx)ar c

37、t an(21a r c t an22注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为 u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失 (幂对角 (反三角函数 )，对角 u). 例 5.4：求不定积分dxxexsin. 解dxxexsinedxxs i n(取三角函数为u) )( s i ns i nxdexexxx d xexexxc o ss i nedxxexxc o ss i n(再取三角函数为u) )c o sc o s(s i nxdexexexxxx d xexxexxs i n)c o s( s i n解得dxx

38、exsinCxxex)cos(sin2注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv 可随意选取，但在两次分部积分中， 必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(指正余，随意选). 下面将分部积分法关于u,dv 的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：分类不定积分类型u和的选择I II III xdxxpnsin)(

39、xdxxpncos)(dxexpxn)(xdxxpnln)(xdxxpnarcsin)(xdxxpnarccos)(xdxxpnarctan)(xdxexsinxdxexcosxxpunsin),(xxpuncos),(xnexpu),()(,lnxpxun)(,arcsinxpxun)(,arccosxpxun)(,arctanxpxunxexu,sin或xeuxsin,xexu,cos或xeuxcos,6. 结论上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，

40、不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。曲天尧2013 年 5 月 17 日于济南名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载山东财经大学（燕山校区）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -