安徽中考数学压轴题 .pdf

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1、1. （2001 安徽省 12 分） 如图 1，AB 、CD 是两条线段，M 是 AB 的中点， SDMC、SDAC、S DBC分别表示 DMC 、 DAC 、 DBC 的面积当 AB CD 时， 则有DACDBCDMCSSS2（1）如图 2，M 是 AB 的中点， AB 与 CD 不平行时，作AE、MN 、BF 分别垂直DC 于 E、N、F 三个点，问结论是否仍然成立？请说明理由（2）若图 3 中， AB 与 CD 相交于点O 时，问 SDMC、SDAC和 SDBC三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论【答案】 解：（ 1）当 AB 和 CD 不平行时，结论仍然成立。理由如下：如图，由已知

2、，可得AE、BF 和 MN 两两平行，四边形AEFB 是梯形。M 为 AB 的中点，MN 是梯形 AEFB 的中位线。 MN=12（AE+BF ） 。DACDBCDMC1111SSDC AE+DC BF=DC AE+BF=DC 2MN2S2222。DACDBCDMCSSS2。（2）DBCDACDMCSSS2。证明如下：M 为 AB 的中点， SADM=SBDM，SACM=SBCM。DMCMODMOCAMDAODAMCAOCBDMBCMAODAOCSSSSSSSSSSS（）（）（）（）D B CD M CDSSS（）。DMCDBCDAC2SSS，即DBCDACDMCSSS2。【考点】 梯形中位线

3、定理。【分析】 （1）过 A，M，B 分别作 BC 的垂线 AE，MN ，BF，AE MN BF，由于 M 是AB 中点，因此MN 是梯形 AEFB 的中位线，因此MN=12（ AE+BF ），三个三角形同底，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 42 页因此结论是成立的。（2）利用 AM=MB ，让这两条边作底边来求解， ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么 ADM 和 DBM 的面积就相等（等底同高），因此 OAD ，OMD 的和就等于BMD 的面积，同理 AOC 和 OMC 的面积和等于 CMB 的面积根据这

4、些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系。2. （2001 安徽省 12 分） 某工厂生产的A 种产品，它的成本是2 元，售价是3 元，年销量为 100 万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计， 每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如表：x（十万元）0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10 万元 30 万元，问广告费在什么范围内，工厂

5、获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】 解：（ 1）设 y 与 x 的函数关系式为2y=ax +bx+c，由题意得：c=1a+b+c=1.54a+2b+c=1.8，解得a=0.1b=0.6c=1。y 与 x 的函数关系式为2y=0.1x +0.6x+1。（2）利润 =销售总额（成本费广告费），2S3 100y2 100y10 x10 x5x10。（3）22S10 x5x1010 x2.516.25， 10 0， 当 x=2.5 时，函数有最大值16.25。2.5 万元在 10 万元 30 万元内，当广告费为2.5 万元时利润最大，最大利润为162.5 万元。【考点】 二次函数的应用，待定系数

6、法，曲线上点的坐标与二次函数的关系，二次函数的最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 42 页值。【分析】 （1）根据表中数据，应用待定系数法可求出y 与 x 的二次函数关系式。（2）根据利润 =销售总额（成本费广告费），可得年利润S（十万元）与广告费 x（十万元）的函数关系式。（3）根据解析式求最值即可。3. （2002 安徽省 12 分） 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x22.6x43 （ 0 x30） y 值越大，表示接受能力越强（1）x 在什么范围内

7、， 学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内， 学生的接受能力逐步降低？（2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？【答案】 解：（ 1）y 0.1x22.6x 43 0.1（ x13）259.9。函数的 a=100，对称轴为x=13，当 0 x 13时，学生的接受能力逐步增强；当 13x30 时，学生的接受能力逐步下降。（2）当 x10 时， y 0.1（1013）259.959，第 10 分时，学生的接受能力为59。（3） x13，y 取得最大值，在第13 分时，学生的接受能力最强。【考点】 二次函数的应用。【分析】 （1）根据函数关系式求对称轴方程、顶

8、点坐标，结合草图回答问题。（2）求 x=10 时 y 的值。（3）求函数的最大值。4. （ 2002 安徽省 12 分）某学习小组在探索“ 各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6 时，它也不一定是正多边形，如图一， ABC 是正三角形，ADBECF，可以证明六边形ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5 时，它是正多边形，我想，边数是7 时，它可能也是正多边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 42

9、 页（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG （如图二）是正七边形（不必写已知、求证）（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）【答案】 解：（ 1）由图知 AFC 对ABC。ADCF， DAF 对的DEFDBC+CFAD+DBCABC。 AFC DAF 。同理可证，其余各角都等于AFC 。图 1 中六边形各内角相等。（2） A 对BEC， B 对CEA， A B，BECCEA。BCAG。同理ABBCCDDEEFFGGA。AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA。七边形 ABCDEFG 是正七边形。（3）猜想：当边数是奇数时，各内

10、角相等的圆内接多边形是正多边形。【考点】 正多边形和圆，圆周角、弦、弧的关系。【分析】 （1）根据同圆中等弧对等圆周角证明。（2）要证明一个圆内接多边形是正多边形，只要证明多边形的顶点是圆的等分点即可。（3）类（ 2）可推出：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形。5. （2003 安徽省 12 分）某风景区对5 个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计， 调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：景点A B C D E 原价（元）10 10 15 20 25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 42

11、页现价（元）5 5 15 25 30 平均日人数（千人）1 1 2 3 2 （1）该风景区称调整前后这5 个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约 9.4%。问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？6.（2003 安徽省 14 分） 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“ 正度 ” 。在研究 “ 正度 ” 时，应保证相似三角形的“ 正度 ” 相等。设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为 ， 。要求 “

12、正度 ” 的值是非负数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 42 页同学甲认为：可用式子|a b|来表示 “ 正度 ” ，|ab|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子| |来表示 “ 正度 ” ，| |的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（ 1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“ 正度 ” 的表达式。【答案】 解：（ 1）同学乙的方案较为合理。理由如下：| |的值越小， 与 越接近 60 ，该等腰三角形越接近于正三

13、角形，且能保证相似三角形的“ 正度 ” 相等。同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“ 正度 ” 相等。如： 边长为 4， 4， 2 和边长为 8， 8， 4 的两个等腰三角形相似，但|24|=2|48|=4。（2）对同学甲的方案可改为用ababkakb，（k 为正数）等来表示“ 正度 ” 。（ 3）还可用2216060120602603，等来表示 “ 正度 ” 。【考点】 新定义，开放型，相似三角形的应用。【分析】 将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立。7. （2004 安徽省 12 分） 正方形通过剪切可以拼成三角形方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设

14、计：(1)如下图，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形(2)如下图，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块再拼成一个与原三角形等面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 42 页积的矩形【答案】 解：（ 1）作图如下：（2）作图如下：【考点】 作图（应用与设计作图）。【分析】 （1）矩形的四个角都是直角图中已有一直角，那么这个直角就是矩形的一个直角作出平行于一直角边的中位线，可得到另一直角按中位线剪切即可得到矩形。（2）根据（ 1）的思路，应先作出平行于一边的中位线，得到两组相等的线段

15、，进而把上边的三角形分割为含90 的两个直角三角形即可。8. （2004 安徽省 12 分）某企业投资100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、 保养费用，预计投产后每年可创利33 万元该生产线投产后，从第1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为y(万元 )，且 y=ax2+bx，若第 1 年的维修、保养费为2 万元，第2 年的为 4 万元(1)求 y 的解析式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【答案】 解：（ 1）由题意， x=1 时， y=2；x=2 时， y=24=6。分别代入 y=ax2+bx 得ab24a2b6，解得，a1b1。y 的解析式为：y=x2+x。（2

16、）设 h=33x100y，即22hx32x100 x16156（）。当 1 x 16时， y 随 x 的增大而增大，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 42 页当 x=3 时，2h316156（）=130，当 x=4 时，2h416156（）=120。第 4 年可收回投资。【考点】 二次函数的应用。【分析】 （1）根据条件解方程组易得解析式。（2）收回投资即纯利润=投资（包括购设备、维修、保养）。9. （2005 安徽省大纲12 分） 一列火车自A 城驶往 B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A和终点站 B），该列火车挂有一

17、节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个例如， 当列车停靠在第x 个车站时， 邮政车厢上需要卸下已经通过的（x1）个车站发给该站的邮包共 （x1）个，还要装上下面行程中要停靠的（nx）个车站的邮包共 （nx）个（1）根据题意，完成下表：车站序号在第 x 个车站起程时邮政车厢邮包总数1 n1 2 （n 1） 1+（n2）=2（ n2）3 2（n2） 2+（n3）=3（n3）4 5 n （2） 根据上表， 写出列车在第x 车站启程时， 邮政车厢上共有邮包的个数y （用 x、 n表示）；（3）当 n=1

18、8 时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？【答案】 解：（ 1）由题意得：车站序号在第 x 个车站起程时邮政车厢邮包总数1 n-1 2 （n-1）-1+（n-2）=2（ n-2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 42 页3 2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）4 3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）5 4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）n 0 （2）由题意得：y=x（ nx）。（3）当 n=18 时，22yx18xx18xx981（）（），当 x=9 时， y 取得最大值。所以列车在第9个

19、车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多。【考点】 二次函数的应用。【分析】 （1）随着序号的增加，所有的项也跟着有规律的变化注意到最后的包裹数为0。（2）第 x 个车站，包裹数为：x（ nx）。（3）根据二次函数的最大值来求即可。10. （2005 安徽省大纲14 分） 在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：点 P 是正方形ABCD 内的一点，过点P 画直线l 分别交正方形的两边于点M、N，使点 P是线段 MN 的三等分点，这样的直线能够画几条？经过思考，甲同学给出如下画法：如图 1，过点 P 画 PEAB 于 E，在 EB 上取点 M，使 EM=2EA ，画直线 MP 交 AD 于

20、N，则直线 MN 就是符合条件的直线l根据以上信息，解决下列问题：（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；（2）在图 1 中，能否再画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1 中画出；（3）如图 2，A1，C1分别是正方形ABCD 的边 AB、CD 上的三等分点，且A1C1AD 当点 P 在线段 A1C1 上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？（4）如图3，正方形ABCD 边界上的A1，A2，B1，B2，C1， C2，D1，D2都是所在边的三等分点当点P 在正方形ABCD 内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l 的条数的情况精选学习资料 - - - - - - - -

21、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）甲同学的画法正确，理由如下：PE AD， MPE MNA ，MPMEMNMA。EM=2EA ，MP3MN2。点 P 是线段 MN 的一个三等分点。（2）能画出一个符合题目条件的直线，在EB 上取M1，使 EM1=12AE，直线M1P 就是满足条件的直线，如图。（3）若点 P 在线段 A1C1上，能够画出符合题目条件的直线无数条。（4）若点 P 在 A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上时，可以画出无数条符合条件的直线l；当点 P 在正方形A0B0C0D0内部时，不存在这样的直线l，使得点 P 是线段

22、MN 的三等分点；当点 P 在矩形 ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段 MN 的三等分点。【考点】 正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例性质。【分析】 （1）利用 MPE MNA 中的成比例线段可知EM=2EA ，所以 MP：MN=2 ： 3，即点 P 是线段 MN 的一个三等分点；（2）由（ 1）中的证明过程可知，在EB 上取 M1，使 EM1=12AE，直线M1P 就是满足条件的直线，所以能再画出一条符合题目条件的直线。（3）当点 P 在线段 A1C1上，根据正方形的性质和平行线分线段成

23、比例性质可知能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 42 页够画出符合题目条件的直线有无数条。（4）分情况讨论。11. （2005 安徽省课标12 分） 图 1 是一个1010格点正方形组成的网格。 ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图 1 中画出与 ABC 相似的格点111A B C和222A B C，且111A B C与ABC 的相似比是2，222A B C与ABC 的相似比是22；图 1 （2）在图 2 中用与 ABC 、 A1B1C1、A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至

24、少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词。图 2 【答案】 解：（ 1）画图如下：（2）拼图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 42 页解说词：台灯。（答案不唯一）。【考点】 网格问题，作图（相似变换）。【分析】（1） A1B1C1与ABC 的相似比是2， 则让 ABC 的各边都扩大2 倍就可A2B2C2与ABC 的相似比是22； ABC 的直角边是2，所以 A2B2C2与的直角边是2，即一个对角线的长度，斜边为2依此画图即可。（2）拼图有审美意义即可（答案不唯一）。12. （2005

25、安徽省课标14 分） 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车， 而是仔细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车。如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？【答案】 解：（ 1）三辆车开

26、来的先后顺序有6 种可能：（上、 中、下）、（上、 下、中）、（中、 上、下）、（中、 下、上）、 （下、中、上）、（下、上、中）。（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6 种顺序出现的可能性相同我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：顺序甲乙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 42 页上、中、下上下上、下、中上中中、上、下中上中、下、上中上下、上、中下上下、中、上下中甲乘上、中、下三辆车的概率都是13；而乙乘上等车的概率是12。乙采取的方案乘坐上等车的可能性大。【考点】 列表法或树状图法，概率，可

27、能性的大小。【分析】 （1）根据可能性大小的方法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是可能性发生的大小。（2）比较两个概率即可。13. （2006 安徽省大纲12 分） 如图（ 1）是某公共汽车线路收支差额y（票价总收人减去运营成本）与乘客量x 的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（1）分别改画成图（2）和图（ 3）。（1）说明图（ 1）中点 A 和点 B 的实际意义；（2

28、）你认为图（2）和图（ 3）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 。（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（ 4）中画出符合这种办法的y 与 x 的大致函数关系图象。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）点 A 表示这条线路的运营成本为1 万元；点 B 表示乘客数达1.5 万人时，这条线路的收支达到平衡。（2）反映乘客意见的是图（3）；反映公交公司意见的是图（2）。（3）将图（ 1）中的射线AB 绕点 A 逆时针适当旋转且向上平移，如图：【考点】

29、 一次函数的应用。【分析】 （1）读题看图两结合，从中获取信息做出判断：点A 表示这条线路的运营成本为1 万元；点B 表示乘客数达1.5 万人时，这条线路的收支达到平衡；（2）结合点的意义可知反映乘客意见的是（3），反映公交公司意见的是（2）；（3）将图（ 1）中的射线AB 绕点 A 逆时针适当旋转且向上平移即可得到符合题意的直线。14. （2006 安徽省大纲13 分）取一副三角板按图拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC绕点 A 依顺时针方向旋转一个大小为的角（ 0 45）得到 ABC ，如图所示试问：（1）当 为多少度时，能使得图中ABDC；（2）当旋转至图位置，此时又为多少度图中你能

30、找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接 BD，当 0 45时，探寻 DBC + CAC + BDC 值的大小变化情况，并给出你的证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）如图，由题意CAC= ，要使 AB DC，须 BAC= ACD ， BAC=30 。=CAC= BAC BAC=45 30 =15 。=15时，能使得AB DC。（2）易得 =45时，可得图。此时，若记DC 与 AC ，BC分别交于点E，F，则共有两对相似三角形： BFC ADC ，CFEADE 。下求 BFC

31、 与ADC 的相似比：在图中，设AB=a，则易得AC=2a。BC=（21）a，BC：AC= （21） a：2a=1：（ 2+2） =（22）： 2。（3）当 0 45时， DBC + CAC + BDC 值的大小不变，为1050。证明如下：当 0 45时，总有 EFC存在。 EFC=BDC+ DBC ， CAC= ， FEC=C+ 。又 EFC+FEC+C=180 ， BDC+ DBC+ C+ + C=180 。又 C=45 ， C=30 ， DBC+ CAC+ BDC=105 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 42

32、页15. （2006 安徽省课标12 分） 如图（ 1）是某公共汽车线路收支差额y（票价总收人减去运营成本）与乘客量x 的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（1）分别改画成图（2）和图（ 3）。（1）说明图（ 1）中点 A 和点 B 的实际意义；（2）你认为图（2）和图（ 3）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 。（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（

33、 4）中画出符合这种办法的y 与 x 的大致函数关系图象。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）点 A 表示这条线路的运营成本为1 万元；点 B 表示乘客数达1.5 万人时，这条线路的收支达到平衡。（2）反映乘客意见的是图（3）；反映公交公司意见的是图（2）。（3）将图（ 1）中的射线AB 绕点 A 逆时针适当旋转且向上平移，如图：【考点】 一次函数的应用。【分析】 （1）读题看图两结合，从中获取信息做出判断：点A 表示这条线路的运营成本为1 万元；点B 表示乘客数达1.5 万人时，这条线路的收

34、支达到平衡；（2）结合点的意义可知反映乘客意见的是（3），反映公交公司意见的是（2）；（3）将图（ 1）中的射线AB 绕点 A 逆时针适当旋转且向上平移即可得到符合题意的直线。16. （2006 安徽省课标14 分） 如图 （1） ， 凸四边形 ABCD ， 如果点 P 满足 APD= APB= 且BPC=CPD= ，则称点 P 为四边形ABCD 的一个半等角点。（1）在图（ 3）正方形ABCD 内画一个半等角点P，且满足；（2）在图（ 4）四边形ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD 有两个半等角点P1、P2（如图（ 2），证明线段P1P2上任一

35、点也是它的半等角点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）如图，所画的点P 在 AC 上且不是 AC 的中点和AC 的端点即可：（2）作点 B 关于 AC 的对称点B ，延长 DB 交 AC 于点 P，点 P 为所求。（3）连接 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意，AP1D= AP1B，DP1C=BP1C。 AP1B BP1C=180 度。 P1在 AC 上。同理， P2也在 AC 上。在DP1P2和BP1P2中，DP2P1=BP2P1， DP1P2=BP1P2，P1P

36、2公共，DP1P2 BP1P2（ASA）。DP1=BP1，DP2=BP2，于是 B、D 关于 AC 对称。设 P 是 P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得DPA= BPA， DPC= BPC。点 P 是四边形的半等角点。【考点】 新定义，作图（复杂作图），全等三角形的判定，轴对称的性质。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 42 页【分析】 （1）根据题意可知，所画的点P 在 AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点因为在图形内部，所以不能是AC 的端点，又由于，所以不是AC 的中点。（2）画点 B 关于 AC 的

37、对称点B ，延长 DB 交 AC 于点 P，点 P 为所求 （因为对称的两个图形完全重合）。（3）连接 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意 AP1D=AP1B，DP1C=BP1C， AP1B BP1C=180 度， P1在 AC 上，同理， P2也在 AC 上。再利用ASA证明 DP1P2 BP1P2而，那么 P1DP2和P1BP2关于 P1P2对称， P 是对称轴上的点，所以DPA= BPA， DPC=BPC即点 P 是四边形的半等角点。17. （2007 安徽省 12 分）如图 1，在四边形ABCD 中，已知 AB=BC=CD ，BAD 和 CDA均为锐角，点P是

38、对角线BD 上的一点， PQ BA 交 AD 于点 Q， PSBC 交 DC 于点 S，四边形 PQRS 是平行四边形（ 1）当点 P 与点 B 重合时，图1变为图 2，若 ABD=90 ，求证： ABR CRD；（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？【答案】 解：（ 1）证明：ABD=90 ，ABCR， CRBD 。BC=CD ， BCR= DCR。四边形 ABCR 是平行四边形，BCR= BAR 。 BAR= DCR。又 AB=CR ，AR=BC=CD ， ABR CRD（SAS）。（2）由 PSQR，PSRD 知，点 R 在 Q

39、D 上， BC AD 。又由 AB=CD 知 A= CDA 。SRPQBA， SRD=A=CDA 。 SR=SD。由 PSBC， DCB DSP。BC=CD ， SP=SD。SP=DR， SR=SD=RD 。 CDA=60 。因此四边形ABCD 还应满足BC AD ， CDA=60 。【考点】 平行的性质，等腰（边）三角形的判定和性质，全等三角形的判定，平行四边形的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 42 页判定和性质。【分析】 （1）可先证CRBD ，根据等腰三角形“ 三线合一 ” 的性质，求得BCR= DCR，进而求得

40、 BAR= DCR ，又有 AB=CR ，AR=BC=CD ，可证 ABR CRD。（2）由 PSQR，PSRD 知，点 R 在 QD 上，故 BCAD 又由 AB=CD 知 A=CDA 因为 SRPQBA ， 所以 SRD=A= CDA ，从而 SR=SD。由 PS BC 及 BC=CD知 SP=SD而 SP=DR，所以 SR=SD=RD 故 CDA=60 度因此四边形ABCD 还应满足BCAD ， CDA=60 。18. （2007 安徽省 14 分） 按如图所示的流程，输入一个数据x，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据y， 这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在2

41、0100 （含20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（）新数据都在60100（含 60 和 100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若 y 与 x 的关系是y=x p（ 100 x），请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a（xh）2+k（a0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【答案】 解：（ 1）当 p=12时，11yx100 x =x5022（）。y 随 x 的增大而增大，即当p=12时

42、，满足条件（）。又当 x=20 时，1y=2050=602，当 x=100 时，1y=10050=1002。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 42 页原数据都在20100（含 20 和 100）之间，新数据都在60100（含 06 和 100）之间，即满足条件（）。综上所述，当P=12时，这种变换满足要求。（ 3）若所给出的关系式满足：（a）h20 ；（b）若 x=20、x=100 时， y 的对应值能落在 60100（含 60 和 100）之间，则这样的关系式都符合要求。如取 h=20，则2yax20k（），当 a0、

43、 20 x100 时， y 随着 x 的增大而增大。令 x=20，y=60 时， k=60 ，令 x=100，y=100 时， 640ak=100 。由解得，a=116。满足上述要求的关系式时，21yx206016（）。（本题是开放性问题，答案不唯一）。【考点】 一次函数和二次函数的性质。【分析】 （1）将 p=12代入函数关系式，求出一次函数的解析式，然后根据该函数的定义域求值域、根据函数图象的单调性来验证是否满足条件。（2）本题是开放性问题，答案不唯一若所给出的关系式满足：（a）h2 ；（b）若 x=2、x=10 时， y 的对应值能落在60100（含 60 和 100）之间，则这样的关系

44、式都符合要求。19. （2008 安徽省12 分） 已知：点O 到ABC 的两边 AB 、AC 所在直线的距离相等，且OBOC。（1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证： AB AC；（2）如图 2，若点 O 在ABC 的内部，求证：AB AC；（3）若点 O 在ABC 的外部， AB AC 成立吗？请画图表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 42 页【答案】 解：（ 1）证明：过点O 分别作 OE AB，OFAC ，E、F 分别是垂足，由题意知， OEOF，OBOC， Rt OEB Rt OFC（HL）。 B C

45、， AB AC。（2）过点 O 分别作 OEAB ，OFAC ，EF 分别是垂足，由题意知， OEOF。在 RtOEB 和 Rt OFC 中， OEOF，OBOC， Rt OEB Rt OFE（HL ）。 OBE OCF. 又由 OB OC 知 OBC OCB ， ABC ACD 。 ABAC 。（3）不一定成立。如图， 当 A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时， 有 AB AC ；否则， AB AC 。【考点】 全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】 （1）先利用斜边直角边定理证明 OEC 和OFB 全等，根据全等三角形对应角相等得到 B=C，再根据等角对等边的

46、性质即可得到AB=AC 。（2）过 O 作 OEAB ，OF AC，与（ 1）的证明思路基本相同。（3）当 A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时，有ABAC ；否则，AB AC。20. （2008 安徽省 14 分） 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再往A 镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A 镇的道路在离营地10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 42 页用 1 小时打通道路，已知

47、一分队的行进速度为5 千米 /时，二分队的行进速度为（4a）千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A 镇？若二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？下列图象中，分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y(千米 )和时间x(小时 )的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。【答案】 解： （1） 若二分队在营地不休息，则 a0， 速度为 4 千米 /时，行至塌方处需102.54（小时）。一分队到塌方处并打通道路需要10135（小时），二分队在塌方处需停留0.5 小时。二分队在营地不休息赶到A 镇需 2.5+0.5+2048（小时）（2）一分队赶到

48、A 镇共需305+17（小时）。（）若二分队在塌方处需停留，则后20 千米需与一分队同行，故4+a5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；5 分（） 若二分队在塌方处不停留，则（ 4+a）(7a)=30，即 a2 3a+20，解得 a1=1，a2=2，均符合题意。答：二分队应在营地休息1 小时或 2 小时。（3）合理的图像为（b）、（ d）。图像（）没有表明一分队用1 小时打通道路，错误；图像（ b）表明二分队在营地休息时间过长（2 a3 ），后于一分队赶到A 镇；图像（）表明二分队在一分队还没打通道路时就过了塌方地，错误；图像（ d）表明二分队在营地休息时间恰当（1 a2 ），先于一

49、分队赶到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 42 页A 镇。【考点】 一次函数的图象和应用。【分析】 （1）求出二分队在塌方处需停留的时间，即可求得分队在营地不休息赶到A 镇需要的时间。（2）分二分队在塌方处需停留和不停留两种情况讨论即可。（3）根据各图象，与已知条件相比较进行探究。21. （2009 安徽省 12 分） 如图， M 为线段 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C， DME A B ，且DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结 FG，如果

50、45 ，AB 42， AF3，求 FG 的长【答案】 解：（ 1）DMG DBM ， EMF EAM ，AMF BGM 。（ 2）当 =45时，可得ACBC 且 AC=BC 。M 为 AB 的中点， AB 42， AM=BM=2 2。 DME= A=B=， FMB 是AFM 的外角， FMB= A+ AFM= DME+ GMB 。 AFM= GMB 。 AMF BGM 。AFBMAMBG。 AMBM2 22 28BGAF33， AC=BC=42cos45 =4。84CG4CF43133，。222245FGCGCF133【考点】 相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三