2022年随机过程习题和答案推荐 .pdf

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1、Word 格式完美整理一、1.1 设二维随机变量 (,) 的联合概率密度函数为：试求: 在时, 求。解：当时，1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回， 对每对应随机变量一个确定的 t时取得白球如果对时取得红球如果对tetttXt3)(.维分布函

2、数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解： （1）与 无关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。2.3是随机变量，且，其中设随机过程UtUtX2cos)(求：，.5)(5)(UDUE.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（2.

3、4是其中，设有两个随机过程UUttYUttX,)()(32.5)(UD随机变量，且数。试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设BAttXBA3)(,的均值),(Tt相互独若函数和自相关函数BA,.),()(),2,0(),4, 1(,21ttRtmUBNAXX及则且立为多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理3.1 一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2 分钟

4、的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则 1 小时内平均有多少学生接受过体检？在这1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令( )N t表示(0, )t时间内的体检人数，则( )N t为参数为30 的poisson 过程。以小时为单位。则(1)30E N。40300(30)(1)40)!kkP Nek。3.2 在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2 路公共汽车的强度分别为1，2，当 1 路公共汽车有1N人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有2N人乘坐后出发。设在0 时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（ 1）1 路公共汽车比2 路公共汽车

5、早出发的概率表达式； （2）当1N=2N，1=2时，计算上述概率。解：法一： （1）乘坐 1、2 路汽车所到来的人数分别为参数为1、2的poisson 过程，令它们为1( )Nt、2( )Nt。1NT表示1( )Nt=1N的发生时刻，2NT表示2( )Nt=2N的发生时刻。11111111 11( )exp()(1)!NNNTftttN22212222 22( )exp()(1)!NNNTftttN1212121221112,12|12211 122 212( ,)( |)( )exp()exp()(1)!(1)!NNNNNNNNNTTTTTft tfttftttttNN名师资料总结 - -

6、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理12212121112211 122 210012()exp()exp()(1)!(1)!NNtNNNNP TTdtttttdtNN（2）当1N=2N、1=2时，12121()()2NNNNP TTP TT法二： （1）乘车到来的人数可以看作参数为1+2的泊松过程。令1Z、2Z分别表示乘坐公共汽车1、2 的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z、2Z分别服从参数为1、2的指数分布，现

7、在来求当一个乘客乘坐1 路汽车后，下一位乘客还是乘坐1 路汽车的概率。2122111222100()exp()exp()zpP ZZdzzz dz112。故当一个乘客乘坐1 路汽车后，下一位乘客乘坐2 路汽车的概率为 1-p212上面的概率可以理解为： 在乘客到来的人数为强度1+2的泊松过程时，乘客分别以112概率乘坐公共汽车1，以212的概率乘坐公共汽车 2。将乘客乘坐公共汽车1 代表试验成功，那么有：121111111211212(1=()()NNNNk NkkNPC路汽车比 2路汽车先出发）（2）当1N=2N、1=2时2121111111111(1=( )( )2222NNNkNkkkk

8、NkNPCC路汽车比 2路汽车先出发）3.3设( ),0iN tt，(1,2, )in是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理i(1,2, )in。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。（1）求T的分布；（2）证明1( )( ),0niiN tN tt是Poisson 过程，参数为1nii；（3）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于1(

9、),0Ntt的概率。解： （1）记第i个过程中第一次事件发生的时刻为1it，1,2,.,in。则1min,1,2,., iTtin。由1it服从指数分布，有11111111min,1,2,., 1,1,2,., 111(1)1expiiniiinntiiiP TtP TtPtintP tt inP ttet（2）方法一：由( ),1,2,., iN tin为相互独立的 poisson 过程，对于,0s t。11111()( )()( )()( ),1,2., (exp( () )!()exp( () )!nniinniniiiiiiinnnniiiiinniniiiP N tsN tnPN t

10、sN tnP N tsNtnnn inssnssn这里利用了公式11(.)!inninnniniinn所以1( )( ),0niiN tNtt是参数为1nii的 poisson 过程。方法二：1 当0h时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理11111()( )1 ()( )1( )(1( )( )( )niiinnijijjinniiiiP N thN tPN tsN tho hho hho

11、 hho h2 当0h时，111111()( )2()( )21()( )21(1( )( )1(1( )( )( )niiiniiinnjiijnniiiiP N thN tPNtsNtPNtsNtho hho hho hho ho h得证。（3）11( )1|( )1( )1,( )0,2,., /( )1iP NtN tP NtNtinP N t1111121/.niiinntttiiinteeet3.4 证明 poisson 过程分解定理：对于参数为的 poisson 过程( ),0N t t，01ip，11riip，1,2,ir，可分解为r个相互独立的poisson 过程，参数分别为

12、ip，1,2,ir。解：对过程( ),0N tt，设每次事件发生时，有r个人对此以概率12,.,rppp进行记录， 且11riip，同时事件的发生与被记录之间相互独立，r个人的行为也相互独立，以( )iNt表示为到t时刻第 i 个人所记录的数目。 现在来证明( ),0iNtt是参数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理ip的 poisson 过程。00( )( )|( ) ( )()(1)()

13、!()!iiinm nmmntm niinmp tiP NtmP N tm N tmn P N tmntCppemnp tem独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，一个以概率p，一个以概率1p记录，则1( ),0Ntt是参数为p的 poisson 过程，2( ),0Ntt是参数为(1)p的 poisson过程。121121212121212112211121211121212121212( ),( )( ),( )( )( )|( )()(1)()!()!()(1)()!()(1)!(kkkkktkkkkkktkkkktP NtkNtkP NtkN tkkP N tkkP Ntk

14、N tkkteCppkkkkteppkkk kteppk kpt12(1)121122)( (1) )!( )( )kktp tp teekkP NtkP Ntk得证。3.5 设( ),0N t t是参数为 3 的 poisson 过程，试求（1）(1)3P N；（2）(1) 1,(3)2P NN；（3）(1)2|(1) 1P NN解： （1）33303(1)313!kkP Neek（2）(1)1,(3)2(1) 1,(3)(1) 1P NNP NNN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

15、- - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理369(1)1 (3)(1)1 3618P NP NNeee（3）33(1)214(1)2 |(1)1 (1)11P NeP NNP Ne3.6 对于 poisson 过程( ),0N tt，证明st时，( )|( )P N sk N tn(1)( )n kknssktt解：()( ),( )( )|( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( ()()()!()!()!()!()n kktssntn kknnkkP N sk N tnP N sk N tnP N tnP N s

16、k N tN snkP N tnP N tN snk P N skP N tntsseenkktentss nnkk tntssk(1)( )n kkn kkttnssktt3.7 设1( ),0N tt和2( ),0Ntt分别是参数为1，2的 Poisson过程，另12( )( )( )X tNtNt，问( )X t是否为 Poisson 过程，为什么？解：不是12( )( )( )X tNtNt，( )X t的一维特征函数为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页

17、，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理121212121122( )( )( )( )( )( )120012001212( )()()()()()!()()!exp(iuiuiu NtNtiuNtiuNtiuX tX tkkttiukiukkkiukiukttkktettetiuiufuE eE eE eetteeeekketeteekkeeeeetet) t参数为的 Poisson 过程的特征函数的形式为exp1 iuet，所以( )X t不是 poisson 过程。3.8 计算1T，2T，3T的联合分布解：123123123()3,123123(,)(

18、)()()xxxXXXXXXfx xxfxfxfxe123110( , )0111001J t t t1231233,123,121321233123( , , )( ,)( , )00T TTXXXtft t tft tt ttJ t ttettt其他3.9 对0s，计算( )()E N tN ts。解：2222 22( )()( )()( )( )( ) ()( )( )()E N t N tsE N tN tsN tE NtE N tE N tsN tE Nttstttstt3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00 开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间

19、为20 分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00 门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3 的泊松过程 （以小时为单位）。则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为：( )( )11 |( )( )( )222N tN tiiiiTTEE EN tnN tN tnttt

20、EEn当时，平均等待停留时间为。.11 ( ),0N t t是强度函数为( ) t的非齐次 Poisson 过程，12,XX是事件发生之间的间隔时间，问：（1）诸iX是否独立 ? （2）诸iX是否同分布？解：（1）0( )( )1( )0ts dsm tP XtP N tee。211( )()( )|()( )0|()( )0t ssdm tsm sP Xt XsP N tsN sXsP N tsN see从上面看出1X、2X不独立。以此类推，iX不独立。（2）01( )( )1ts dsXFte；212210()( )( )()00( )1()1|( )1( )1( )XXm tsm sm

21、sm t sFtP XtP XtXs dFsees dses ds分布不同。3.12 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00 8:00,11:0012:00为平均每分钟 2 辆，其他时间平均每分钟1 辆。则早上 7:3011:20平均有多少辆车经过此路口， 这段时间经过路口的车辆数超过500 辆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理的概率是多少？解： （1）记时刻 7:00 为时刻 0，以小时

22、为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次 poisson 过程，其强度函数如下：12001,45( )6014ssss则在 7：3011：20时间内，即130.5,3t时，13()(0.5)3NN代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 分布。131314330.50.514( )( )1206012060 18040280m ts dsdsdsds即：13()(0.5)2803E NN，在给定的时间内平均通过的车辆数为 280。（2）28050113(280)()(0.5)5003!nnP NNen。3.13 0,t时间内某系统受到冲击的次数( )N t，形成参数为的pois

23、son 过程。每次冲击造成的损害iY，1,2,in独立同指数分布，均值为。设损害会积累，当损害超过一定极限A 时，系统将终止运行。以T记系统运行的时间（寿命） ，试求系统的平均寿命ET。解：在0, t内某系统受到的总损害( )1( )N tiiX tY为一个复合poisson 过程，其中1 ()iYe。000000( )( )( )(1( )()tTTTTxETtdF tdxdF tdF t dxFx dxP Tx dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 1

24、9 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理( )0( )00111101()|( ) ( ) ( )( )()(1)!N tiiN tinintininxnAtntnP TtPYAPYA N tn P N tnePYA P N tntexedx enn110001110001111001( )()()(1)!( )()(1)!( )1()1()()0(1)!(1)!nxnAtntnnxnAtntnnxnnAnttntP Tt dtexedx edtnntedtxedxedtnnttxedxeedtnnn110111101( )11(1)!( )11 1(1)!1nxAn

25、nnxAnnxedxnxedxnA系统的平均寿命为1A14 某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2 人与每分钟 3 人的泊松过程。（1） 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知时刻以有 50 人到达的条件下，试求其中恰有30 位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设分别为（ 0, t ）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；故，为强度的泊松过程；于是，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

26、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理（5 分）（2）（5 分）一般地，故平均有女性顾客人（4 分）4.1 （1）对 （2）错 当( )N tn时，nT有可能小于 t（3）错，nTt时，( )N t可能等于 n。4.2 更新过程的来到间隔服从参数为( ,)n的分布。（1）试求( )N t的分布；（2）试证( )limtN ttn。解： （1）( )( )( )1P N tkP N tkP N tk11111(1)100()()(1)!(1)1)!kkkkiiiisknsknttP TtP TtP

27、XtPXtesesdsdsknkn（2）由强大数定律：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理1kikiiXTnEXkk，以概率 1 成立。( )( ) 1,N tN tt TtT，( )( ) 1( )( )( )N tN tTTtN tN tN t，( )lim( )N ttTnN t，( ) 1( ) 1( )1,( )( )1( )N tN tTTN tntN tN tN t。则：lim

28、( )ttnN t，故( )limtN ttn。4.3 对于 Poisson 过程证明定理 4.1. 解：( )( )M tE N tt；11100111( )(1)!(1)!nnnnttxxnnnnxxFtedxedxtnn。4.4 设113iP X，223iP X， 计 算(1)P Nk，(2)P Nk，(3)P Nk。解： （1）0111212(1)0(1)0(1) 1 11 1331(1) 1(1) 1(1)21 13P NP NP NP TP TP NP NP NP TP XX12234144999XXP（2）121231121(2)2(2)2(2)322918(2)1(2)1(2)

29、211199P NP NP NP XXP XXXP NP NP NP TP XX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理123451612827272727XXP3+ X 6（3）123112345114(3)2(3)2(3)3339272754(3)1(3)1(3)23319911(3)3(3)3(3)43302727P NP NP NP XXP TP NP NP NP TP XXP NP N

30、P NP TP T4.5 一个过程有n个状态1,2,n，最初在状态1，停留时间为1X，离开 1 到达 2停留时间为2X，再达到3，最后从n回到 1，周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求limtitP时刻 系统处于状态设12(+)nE XXX且12+nXXX为非格点分布。解：记过程处于状态i 记为开，从状态i+1 到 n，经过 n 再回到1，再到 i-1 这一过程记为关。则有kiZ = X，1njijkjY =X。设初始状态从 1 第一次到 i 需要时间0t。则limtilimtttPP时刻 系统处于状态时刻 系统是开着的01limt-t(.)kitkknEZEXPEZ

31、EYE XX时刻系统是开着的。4.6 用交错更新过程原理计算t 时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理解：( ) 1( )N tY tTt为 t 时刻剩余寿命，( )( )N tA ttT为 t 时刻年龄。若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的，则( )A t表示在时刻 t 部件所使用的年龄，而( )Y t表示它的剩余寿命。令( )( )(

32、)X tY tA t，即( )X t表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算( )P A tx，为此我们将一个开 -关的循环对应于一个更新区间，且若在t 时刻的年龄小于或等于x，就说系统在时刻 t“开着”。换言之，在两次相邻的时间为( )X t的时间内，前 x 时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。那么若( )X t的分布非格点的，由定理4.10 得到00lim( )limtmin(, ) /min(, )min(, )() min(, )|() min(, )|() min(, )|()min(, )|()ttxxP A txPEX xE XEX xPX xy dyP Xx PX xy Xx

33、P Xx PX xy XxdyP Xx PX xy XxP Xx PX xy XxdyP Xx P在时刻 开着法一：000000|() |() |()|()()()()()()()()min(, )/xxxxxxxxyXxP Xx P Xy XxdyP Xx P xy XxP Xx P Xy XxdyP XxP yXxdyP yXx dyP XxP yXxdyP XxyP yXx dyP Xy dyPX xy dyE XP X则：00min(, )0000001/( )min(, ) /min(, )( )/1( )( )( )( )11( )( )xxX xxxxxxy dyE XF y d

34、yEX xE XX x dFyE XydF yxP XxxF xF y dyxxF xdyF y dyF y dy法二：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理同理: 01lim ( )lim tmin( ,)/( )xttP Y txPEx XE XF y dy在时刻关着4.7 对 t 时刻最后一次更新取条件重新给出定理4.10 的证明。解：( )N tT表示时刻 t 前的最后一次更新。令(

35、)P tP t时刻是系统开着的对最后一次更新取条件概率有：( )111|0|00N tP tTxP Zt ZYtxP Ztx ZYtxxtx时刻是系统开着的 | 0；111( )|( )H tP Zt ZYtF t；()|()H txP Ztx ZYtxF tx；( )( )00( )()( )0( )( )()( )()( )NttN tTtH tH txP tP TdFxF tF txH tH tx dM x( )H t为非负不增函数，且0( )nH t dtEZ，则由关键更新定理得到：01lim( )( )ntFnnEZP tH t dtEZEY。4.8 对延迟更新过程证明更新方程( )

36、M t0( )()( )tG tM ts dF s解：*1( )( )nnM tFt，*1( )( )*( )nnFtFtG t，0( )1Ft。令*1( )( )nnMtFt，从上面可以推出：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理*112121*( )( )( )( )*( )( )( )*( )( )( )*( )( )( )*( )( )( )*( )( )*( )( )( )*( )( )*( )*( )( )( )*( )( )*( )( )( )( )nnnnnnnnM tFtG tFtG tG tG tFtG tG tF tG tG tMtG tG tF tF tMtG tG tF tG tF tMtG tG tF tF tM tG tG tF t0*( )( )()( )tM tG tM tsdF s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -