2022年随机变量的分布和数字特征 .pdf

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1、.第二章随机变量及其数字特征一、教学要求1. 理解随机变量的概念,掌握离散型和连续型随机变量的描述方法,理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；2. 理解分布函数的概念和性质,会利用概率分布计算有关事件的概率；3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质,常见的几种分布,随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机

2、变量函数的分布及数学期望的计算。2.1 随机变量及其分布一、随机变量1引入随机变量的必要性1 在随机现象中, 有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中, 抽样中出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中, 某段时间的话务量等等。2 有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。如：掷硬币问题中 , 记出现正面时为1, 出现反面时为 0 。注： 这些例子中 , 试验的结果能用一个数字X来表示 , 这个数 X是随着试验的结果的不同而变化的 , 也即它是样本点的一个函数, 这种量以后称为随机变量 。2引例先看一个具体的例子: 例 1 袋中有 3 只黑球 ,2

3、 只白球 ,从中任意取出3 只球 , 观察取出的3 只球中的黑球的个数我们将 3 只黑球分别记作1,2,3号 ,2 只白球分别记作4,5 号, 则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为 X, 则 X 的可能取值为1,2,3 因此 , X 是一个变量但是 , X 取什么值依赖于试验结果, 即 X 的取值带有随机性,所以 , 我们称 X 为随机变量X 的取值情况可由下表给出：由上表可以看出, 该随机试验的每一个结果都对应着变量X 的一个确定的取值, 因此变量X 是样本空间上的函数：我们定义了随机变量后, 就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如22XX：表示取出 2 个黑球这一事件；2X表示至

4、少取出2 个黑球这一事件, 等等3定义1 描述性定义 ：定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z 等表示；随名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - .机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。2 严格定义 ：设(,)P为一概率空间 ,(),XX是定义在上的实值函数,若对任一实数x,:( )Xx,则称X为随机变量。4. 随机变量的例子例 2 上午 8:00 9:00 在某路口观察 , 令： Y：该时间间隔

5、内通过的汽车数则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0,1,100Y表示通过的汽车数小于100 辆这一随机事件；50100Y表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件例 3 观察某生物的寿命单位：小时, 令： Z：该生物的寿命则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数1500Z表示该生物的寿命不超过1500 小时这一随机事件二、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义设(,)P为一概率空间 ,X 为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称为随机变量X 的分布函数 ,且称 X 服从( )F x,记为 X( )F x.有时也可用( )XFx表明是 X 的分布函数 . 2.例子例4

6、 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X 的分布函数( )F x,并求P23r. 解 事件 Xx表示所抛之点落在半径为(0)xxr的圆内 ,故由几何概率知222( )()() .xxF xP Xxrr从而22r225P(X )=1-P(X)=1-().3339r3.分布函数的性质定理： 任一分布函数( )F x都有如下三条基本性质: 1 单调性 :( )F x是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数,即对任意的12xx,有12()()F xF x；2 规范性 :()F=lim( )0 xF x；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

7、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - .()F=lim( )1xF x。3 右连续性 :( )F x是 x 的右连续函数 ,即对任意的0 x,有00lim( )()xxF xF x, 即00(0)()F xF x。证明略。注1 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。2 有了分布函数的定义,可以计算：()( )( )P aXbF bF a,()( )()P XaF aF a, ()1()P XbF b等。三、离散随机变量及其分布列1离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或

8、可列无限多个, 则称这个随机变量为离散型随机变量 。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性, 要知道离散型随机变量X 的统计规律必须且只须知道X 的所有可能取值以及X 取每一个可能值的概率。2 分布列设 X 是一个离散随机变量,如果 X 的所有可能取值是12,nx xx,则称 X 取ix的概率为 X 的概率分布列或简称为分布列,记为iXp。分布列也可用下列形式表示：1212()()()nnxxxp xp xp x或X1x2xP1p2p3.分布列的基本性质非负性：()0,1,2,;ip xi正则性：1()1.iip x注 1 离散随机变量的分布函数为：( )()iixxF xp x。2 设离散型

9、随机变量X的分布函数为F x,kx为其间断点 ,k =1, 2, , 则 X的分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - .布律为0 ,1,2,kkkkpP XxF xF xk4.例子例 5 设离散随机变量X 的分布列为1230.250.50.25, 试求(0.5),(1.52.5)P XPX,并写出 X 的分布函数。解 略。例 6 从 110 这 10 个数字中随机取出5 个数字 ,令：X：取出的 5 个数字中的最大值

10、试求X 的分布列解：X 的取值为 5,6,7,8,9,10并且具体写出 ,即可得X 的分布列：例 7 设随机变量 X 的分布列为解： 由分布列的性质,得1111411414nnnP Xncc,所以3c四、连续随机变量及其密度函数1.连续型随机变量的概念定义 设随机变量的分布函数为( )F x,如果存在实数轴上的一个非负可积函数( )p x,使得对任意,有( )( )xF xp t dt, 则称 X 为连续随机变量,称( )p x为 X 的概率密度函数,简称为 密度函数 。2.密度函数的基本性质（）非负性：( )0p x；（）正则性：( )1p x dx；反过来 , 若已知一个函数( )p x满

11、足上述性质和,则( )p x一定是某连续型随机变量X的概率密度函数另外 ,对连续型随机变量X 的分布 ,还具有如下性质：1,(),()( )( )( )baa bRabP aXbF bF ap x dx。更一般的 ,对一般的区间B,有2 连续型随机变量X 的分布函数( )F x是连续的 ,但反之不真；3 连续型随机变量X 取任一确定值的概率为0；即对于任意实数c,()0P Xc；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - -

12、.事实上 ,0,0()()( )cc hhP XcP chXcp x dx. 令0 ,( )0,P(X=c)=0cc hhp x dx即得。注： 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的, 所以 , 概率为零的事件未必是不可能事件；概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 若( )P x在0 x处连续 , 则有00( )()x xF xp x3例子例 8 设202( )230KxxXp xKxx其它,求: 常数K；X的分布函数； 5(1).2PX解由性质23202( )1,1p x dxKx dxKxdx得。解之得6.31K263163102( )230 xxXp xxx其它。X 的分布函数为32

13、355354283(1)()(1)( )1223123131124PXFF521( )p x dx。2.2 随机变量的数字特征概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律, 但是：在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；在实际问题中, 有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征, 而不是随机变量全面的变化规律 , 如测量误差的平均误差, 评定射击手的稳定性的离散度等；对很多重要分布, 只要知道它的某些数字特征, 就可以完全确定其概率分布。数字特征通常是指与随机变量有关的, 虽然不能完整地刻划随机变量, 但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。一、随机变量的数学期望1引例某人参加

14、一个掷骰子游戏,规则如下：掷得点数1 点2,3 点4,5,6 点获得元1 2 4 求：一次游戏平均得多少钱？解： 假设做了 n 次游戏 ,123124nnn得 元次数，得 元次数，得 元次数，123123,124nnnnnnn则获得：。每次平均得：123312124124.nnnnnnnnnn当 n 很大时 ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - .2.离散型随机变量的数学期望1 定义设离散随机变量X 的分布列为如果

15、1| ()iiix p x, 则称1()()iiiE Xx p x为随机变量X 的数学期望 ,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。若级数1| ()iiix p x不收敛 ,则称 X 的数学期望不存在。注： 离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定,其与 X 取值顺序无关。2 例子例 9 设服从几何分布 ,k-1P(= k)= (1- p)p,(k = 1,2,),求.E解：k 1k 1k1k 1Ek(1p)ppk(1p).由于k 1k2k1k 1x1kxx,1 x(1x)故例 10设 X 取2( 1)kkkxk对应的概率为12kxkp, 证明 E不存在。证明102kxkp且11112kxk

16、kkp。但级数1112112kkkxkkkkxpkk发散所以 E不存在 ,但级数11121( 1)( 1)ln 22kkkkkxkkkkxpkk 要注意数学期望的条件： 绝对收敛 。2 连续型随机变量的数学期望1） 定义设连续随机变量X 的密度函数为p,如果|( )x p x dx, 则称()( )E Xxp x dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - .为 X 的数学期望 ,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值

17、。若|( )xp x dx不收敛 , 则称 X 的数学期望不存在。2 例子例 11 设随机变量X 服从21( )(1)p xx-x试讨论E。此分布称为Cauchy分布。解202201( )2ln(1)|,(1)(1)xxxf x dxdxdxxxx即( )xfx dx不绝对收敛 ,因此数学期望E不存在。设 X 服从区间( , )a b上的均匀分布 ,求()E X。例 12 设随机变量X 的密度函数为：求数学期望EX。解：例 13 设X为仅取非负整数的离散型随机变量,若其数学期望存在,证明：证明： 由于. )()(1kkXkPXE而例 14 设连续型随机变量X的分布函数为),(xF且数学期望存在

18、,证明证明：0000)(1()()()()()(xFxdxxdFxxdFxxdFxxdFXE由均值存在得,)(|xdFx于是有以此代入EX的计算式即得.)()(1)(00dxxFdxxFXE二、随机变量函数的分布及数学期望1.随机变量函数的分布1 离散型随机变量函数的分布列设 X 一个随机变量 ,分布列为kkpxXPX)(, k1, 2, 则当 Yg的所有取值为jy时,随机变量 Y 有如下分布列：()jjP Yyq, j1, 2, 其中jq是所有满足()ijg xy的ix对应的 X的概率()iiP Xxp的和 ,即例 15 设离散型随机变量X 有如下分布列 ,试求随机变量2(3)1YX的分布列

19、 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - .X 1 3 5 7 P 0.5 0.1 0.15 0.25 解Y的所有可能取值为1,5,172(1)(3)11)(3)0.1P YPXP X, 2(5)(3)15)(1)(5)0.50.150.65P YPXP XP X, 2(17)(3)117)(7)0.25P YPXP X。故Y的分布列为Y1 5 17 P0.1 0.65 0.25 2 连续型随机变量函数的分布一般方法

20、设连续型随机变量X的概率密度函数为( )Xpx,-x, Y=g为随机变量X的函数, 则Y的分布函数为Y( )F ( )()( ()( )g xyyP YyP g Xyp x dx。从而Y的概率密度函数( )YPy为例 16 设随机变量2 ,01,( )0,XxxXpx其它求 Y=3X+5 的概率密度。解先求 Y=3X+5 的分布函数( )YFy。Y的概率密度函数为例 17 设 X U, 求2YX的分布函数与概率密度。解2111( )20Xxpxyg xx其它当 y0 时,( )0YFy；当 y1 时( )1YFy；当 0 y1 时1( )2yYyFydxy, 名师资料总结 - - -精品资料欢

21、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - .1012( )( )0YYyypyFy其它。2 公式法一般地 , 若)(),(xgyxpXX是严格单调可导函数, 则其中 h为 yg的反函数。注： 1、只有当 g是 x 的单调可导函数时, 才可用以上公式推求Y的密度函数；2、注意定义域的选择。例 18 设 X U, 求 Y=aX+b 的概率密度。 解 Y=ax+b 关于 x 严格单调 ,反函数为( )ybh ya, 故1( ) ( ) |( )|()YXXyb

22、pyph yh ypaa,而101( )0Xxpx其它,所以101( )0Yybaapy其它。补充定理：若 g在不相叠的区间12,II上逐段严格单调, 其反函数分别为12( ),( ),h yhy均为连续函数 ,那么 Y=g 是连续型随机变量, 其概率密度为例 19 若)1 ,0( NX, 计算2YX的密度函数。解：2( )yg xx分段单调 , 在(,0)中反函数1( ),xh yy而在0,)中反函数为2( ).xh yy故Y的密度函数为即)1(2Y。2.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X 的分布 , 我们需要计算的不是X 的期望 , 而是 X 的某个函数g 的期望 . 那么应该如何计算

23、呢？定理 设()Yg X 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为若级数1()kkkg xp绝对收敛 , 则 g的数学期望为1( )( ()()kkkE YE g Xg xp。设X为连续型随机变量, 其概率密度为( )p x, 若( ) ( )g x p x dx绝对收敛 , 则 g的数学名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - .期望为( )( ()( ) ( )E YE g Xg x p x dx注：该公式的重要性在于

24、: 当我们求 Eg时, 不必知道 g 的分布 , 而只需知道X 的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。例 20 设随机变量),(pnBX,2 XYe, 求 E.解),(pnBX, 分布列为(),0,1,2,kkn knP XkC p qkn其中 p+q=1例 21 设随机变量X 的概率密度为20( )0 xxexp x其它, 求 E 。解：2200111()( ).2xxEp x dxxedxedxXxx三、数学期望的性质性质 1.若 C 是常数 ,则 E=C. 性质 2.对任意的常数a,E=aE 性质 3.对任意的两个函数1( )gx,2( )gx,有1212()()()()

25、E gXgXE gXE gX。四、随机变量的方差与标准差1.方差与标准差的定义1 引例甲乙两部机床生产同一种机轴, 轴的直径为10mm,公差为0.2mm,即直径在9.8mm 到10.2mm的为合格品 ,超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6 件进行测试 , 机轴的直径的测试尺寸如下： 甲9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2 乙9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0 易知 , 甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm,但两组的质量显然差异很大, 甲组全为合格品 , 乙组全为废品。 这里光看均值无差别, 质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程

26、度不同。甲组离散程度小, 质量较稳定 , 乙组的离散程度大, 质量不稳定。为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度, 可用|X-EX| 的均值来表示 , 称为 X 的绝对离差, 记作 E|X-EX| , 这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算, 常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。2定义 若随机变量2() EXE X的数学期望存在,则称2 EXEX为随机变量X的方差 ,记为D(X)Var(X)或。称方差的正平方根()D X为 X 的标准差 ,记为()X或X。注： 在实际计算中 ,通常使用如下公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

27、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - .3 例子例 22 已知随机变量X 的分布列如下 ,求 D。解数学期望 E=7/8,222222123285()( 2)( 1)01216161616162E X, 2225716049111()()()( )286464D XE XEX。例 23 设随机变量110( )101xxXp xxx,求 D。解0110()(1)(1)0E Xxx dxxx dx, 01222101()(1)(1)6E Xxx dxxx dx, 221()()()6D XE

28、 XEX。2.方差的基本性质性质 1( )0D c,其中 c 为常数 ; 性质 22()(),D aXba D Xa b是常数。性质 3方差最小性X 为随机变量 ,方差存在 ,则对任意不等于EX 的常数 C,都有证明由数学期望的性质,有由于CEX,所以2()0,EXC故2() .DXE XC五、随机变量的矩和切比雪夫不等式1原点矩与中心矩1 若()kE X存在 ,则称()kkAE X为随机变量X 的 k 阶原点矩 ,简称 k 阶矩 ,而|kEX称为 X 的 k 阶绝对原点矩；2 若kEX-E(X)存 在 ,则 称kkB =EX-E(X)为 随 机 变 量X 的k 阶 中 心 矩 ,而kE|X-

29、E(X)|称为 X 的 k 阶绝对中心矩。注：一阶原点矩就是数学期望；X 的二阶中心矩就是X 的方差。例 2420nXNE X设随机变量，试求解：令XEXXYDX,01YN则，所以 , 222ynnnnnnnYE XE Yy py dyy edy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - .2.矩不等式定理1马尔可夫不等式设 X 的 k 阶矩存在,即|,kEX则对任意的0,有|(|).kkEXPX证明： 仅对连续型随机

30、变量的情形证之。设 X 是连续型随机变量,其密度函数为p, 则定理 2切比雪夫不等式设随机变量X 的数学期望和方差都存在,则对任意的常数0,有2()(|() |)Var XPXE X, 或2()(|() |)1Var XPXE X。证明令YXEX,利用马尔可夫不等式即得。推论若随机变量X 的方差存在 ,则()0Var X的充要条件是X 几乎处处为某个常数,即()1P Xa。证明充分性：()1P Xa,也就是1aX,从而2221,1,EXaa EXaa故必要性：由切比雪夫不等式,有故()0,P XEX从而()1.P XEX2.3 常用概率分布本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分

31、布与负二项分布正态分布、均匀分布、指数分布、分布、2-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。一、 离散型随机变量1. 退化分布若随机变量X 以概率 1 取某个常数a,即1aX,则称 X 服从 a 处的退化分布。201 分布若随机变量X 的分布列为：P=1(1)kkpp, k=0,1,0p则称 X 服从以 p 为参数的 0-1 分布 ,记为 XB。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - -

32、- - .若某个随机试验的结果只有两个,如产品是否合格,试验是否成功,掷硬币是否出现正面等等 ,它们的样本空间为12,我们总能定义一个服从0-1 分布的随机变量即它们都可用0-1 分布来描述 ,只不过对不同的问题参数p 的值不同而已。易知,(1)EXp DXpp。3超几何分布若随机变量X 的概率分布为kn kMNMnNC CP XkCk=0, 1, ,min.则称 X 服从参数为M,N,n 的超几何分布。记作 XH. 由(1)(1)(1)MNMNxxx知设有 N 个产品 ,其中 M 个不合格品。 若从中不放回地随机抽取n 个,则其中含有的不合格品数是一个随机变量,由古典概率计算公式有X 服从参

33、数为M、N 和 n 的超几何分布。4二项分布i 定义若随机变量X 的分布列为其中 p+q=1,则称 X 服从以 n,p 为参数的二项分布,记为( ,)XB n p。可以证明：kknknCp q正好是二项式()npq展开式的一般项,故称二项分布。特别地,当n=1 时1()kkP Xkp q即为 0-1 分布 。ii 二项分布的概率背景进行 n 重 Bernoulli 试验 ,设在每次试验中1,P ApP Apq，令 X：在这 n 次试验中事件 A 发生的次数则.XB np，iii 二项分布的分布形态若XB np，则1111P XknpkqpP Xkkq由此可知 ,二项分布的分布P Xk先是随着k

34、 的增大而增大,达到其最大值后再随着k 的增大而减少这个使得P Xk达到最大值的0k称为该二项分布的最可能次数。可以证明：iv 二项分布是超几何分布的极限分布设随机变量X 服从超几何分布H, 则当N时,X 近似的服从二项分布B,即下面的近似等式成立: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - .kn kkkn kMNMnnNC CC p qC* 其中,1.MNMpqpNN其中,1.MNMpqpNN当N时,得所以 ,当

35、N 充分大时 ,近似等式 *成立。v例子例 25 对同一目标进行300 次独立射击 ,设每次射击时的命中率均为0.44,试求 300 次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解： 对目标进行300 次射击相当于做300 重 Bernoulli 试验令 ：X 表示 300 次射击命中目标的次数。则由题意3000.44XB，由于30010.44132.44 ，它不是整数因此,最可能射击的命中次数为.0k132.44132其相应的概率为例 26 某厂长有7 个顾问 , 假定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6, 且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见, 并按

36、多数顾问的意见作出决策 ,试求作出正确决策的概率。解设 X=k 表示事件 7 个顾问中贡献正确意见的人数,则 X 可能取值为0,1,2,7 。视作 7 重贝努里实验中恰有k次发生 ,k 个顾问贡献出正确意见,XB。因此 X 的分布列为77()0.6 0.4,0,1,2,.,7kkkP XkCk,所求概率为7774(4)(4)(5)(6)(7)(0.6) (0.4)0.7102.kkkkP XP XP XP xP XCVI 二项分布的数学期望与方差其中5泊松分布1 定义如果随机变量X 的分布列为(),0,1,.!kP Xkekk, 其中参数0,则称这个分布为泊松分布,记为( )XP。易知：2 泊

37、松分布举例单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1 平方米上的砂眼数等。3 二项分布的极限分布泊松 定理设 0,n 是正整数 ,若lim0,nnnp,则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - .即当随机变量XB, , n 很大 ,p 很小且 np 适中(0.110np时较好 )时,记 =np,则对称的 ,若 n 很大而 q=1-p 很小且 nq 适中时 ,有例 27 设每次射击命中目标的概率为0.012,现射

38、击 600次,求至少命中3 次目标的概率用Poisson 分布近似计算解：设B= 600 次射击至少命中3 次目标 进行 600 次射击可看作是一600 重 Bernoulli 试验 . X：600 次射击命中目标的次数则6000.012XB，用 Poisson 分布近似计算 ,取6000.0127.2.则例 28 一批二极管的次品率为0.01,问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有100个正品的概率在95%以上?解：设每箱应装100ns件二极管 ,s是一个小整数 ,从而(100)0.011,nps由题条件知)01.0,100(sBX,据题意应有1010.95(),!skP Xsek查

39、表知故 s 取 3 符合题意 ,也就是说每箱应至少装103 只二极管才能以95以上的概率正品有100个。4 泊松分布的数学期望与方差其中6. 几何分布1 定义设随机变量X 的可能取值是1,2,3, 且1(),1,2,kP Xk qp k其中 0p1 是参数 , 则称随机变量X服从参数p为的几何分布。记作().XG p2 几何分布背景随机试验的可能结果只有2 种,A与A试验进行到A发生为止的概率P, 即k次试验 , 前k-1 次失败 , 第k次成功。3 几何分布的期望与方差由例 9 知pXE1)(, 例 29 进行独立重复试验, 每次成功的概率为p, 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次

40、数 ,求 X 的分布列。解 m=1 时,1()(1),1,2,.kP Xkpp km1 时, X 的全部取值为：m,m+1,m+2,二、连续型随机变量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - .1均匀分布定义若随机变量的密度函数为则称服从区间( , )a b上的均匀分布 ,记为( , )XU a b。均匀分布( , )U a b的分布函数为2 均匀分布的数学期望与方差若( , )XU a b,则2()(),().212

41、abbaE XVar X2指数分布1 定义若随机变量的密度函数为：则称服从指数分布 ,记作( )XExp。其中 ,参数0。指数分布的分布函数为：生活中 ,指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述因此,指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用指数分布的数学期望与方差若()XExp,则211(),()E XVar X。这里为失效率 ,失效率愈高 ,平均寿命就愈小。3 指数分布的无记忆性定理 ：如果( )XExp,则对任意的s0,t0,有(|)()P XstXsP Xt。例 30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T,设0,t 时段内过桥

42、的汽车数tX服从参数为t的泊松分布 ,求 T 的概率密度。解( )()F tP Tt当 t0 时,F=0; 当 t0 时,F=P=1-Pt=1-P=1-P=1te于是0( )( )00tetp tF tt. 3.正态分布1定义若随机变量X 的密度函数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - .221()( )exp22xp x, 则称 X 服从正态分布 ,称 X 为正态变量 ,记为2(,)XN。 其中参数,0。正态分

43、布的分布函数为：221()( )exp22xxF xdx。其中 ,称为位置参数 ,称为尺度参数。正态分布密度函数p的性质单峰对称密度曲线关于直线x=对称 ,即p=p,x x= 时,p取得最大值p= 12；x= 处有拐点；的大小直接影响概率的分布, 越大 ,曲线越平坦 , 越小 ,曲线越陡峭。曲线 p以 x 轴为渐近线。2标准正态分布定义称0,1的正态分布(0,1)N为标准正态分布。(0,1)N的密度函数和分布函数分别为：21( )exp,22uuu, 21( )exp,22utudtu。例 31 设(0,1)UN,利用附表2,求下列事件的概率： 1(1.52);P U2(1.52);P U3(

44、1.52);P U4( 0.751.52);PU5(| 1.52).P U解 略。3 一般正态分布的标准化定理若2( ,)XN,则(0,1)XUN。证明略。例 32 若2(108,3 )XN,求：(102117);PX常数a,使得()0.95.P Xa解 略。4 正态分布的数学期望与方差若2(,)XN,则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - .5 正态分布的3原则设2(,)XN,则由此可见 ,正态变量的99.73%

45、的值落在(3 ,3 )内,这个性质被称为正态分布的3原则。4. 其它常见的连续型分布1分布如果一个随机变量X具有密度函数这里0,0r为参数 ,10( )rxrxe dx为函数 , 则称X服从参数为,r的分布, 记作),(rX。注： 当1r时,(1, )就是参数为的指数分布( )E。函数具有如下性质：22分布如果随机变量X的密度函数为这里n为参数 , 则称X服从参数为n的2分布 ,并记2( ).Xn注：n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从2( )n。3 对数正态分布如果随机变量X的密度函数为则称X服从参数为和2的对数正态分布。注： 设随机变量2( ,)XN,则XYe服从对数正态分布。作业：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -