2022年隐函数的求导方法总结 .pdf

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1、. . 河北地质大学课 程 设 计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016 年 05 月 27 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 摘要. 3 一隐函数的概念 . 3 二隐函数求偏导 . 3 1.隐函数存在定理 1 . 3 2.隐函数存在定理 2 . 4 3.隐函数存在定理 3 . 4 三. 隐函数求偏导的方法 . 6 1.公式法 . 6 2

2、.直接法 . 6 3.全微分法 . 7 参考文献 . 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一隐函数的概念一般地，如果变量yx和满足方程0,yxF，在一定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程0, yxF在

3、该区间内确定了一个隐函数。例如，方程013yx表示一个函数，因为当变量x在，内取值时，变量y有确定的值与其对应。如等时时321, 10yxyx。二隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(yxF在 P （x。 ，y。 ）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(yxF，0),(yxFy，则方程0),(yxF在点（ x。 ，y。 ）的某一领域内恒能唯一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数)(xfy， 它 满 足 条 件)(xfy， 并 有yxyFFddx。例 1:验证方程2x-2y=0 在点（ 1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时 y=1 的

4、隐函数 y=)( xf，并求该函数的导数dxdy在 x=1 处的值。解令),(yxF=2x-2y,则xF=2x ，yF=-2y ，)1, 1(F=0，)1, 1(yF=-2 0 由定理 1 可知，方程2x-2y=0 在点 （ 1,1） 的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 当 x=1 时， y=1 的隐函数为y=x ，且有dxdy=yxFF=yx22=yx故1=xdx

5、dy=)1 ,(!yx=1 2.隐函数存在定理 2 设函数zyxF,在点）（zyxP,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（zyxF,=0，0,）（zyxFz，则方程0,zyxF在点zyx,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数yxfz,它满足条件yxfz,并有zyzxFFyzFFxz,。例 2：设函数yxzz,由方程zyxzxy2所确定，求yz解：设zyxzxyzyxF2,则012xyFz（将 x，y 当常数，对z 求偏导）12xyzFz（将 x，y 当做常数，对y 求偏导）根据定理2：22112112xyxyzxyxyzFFyzzy3.隐函数存在定理3设vuyxF,、vuyxG

6、,在点0000,vuyxP的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0,0,00000000vuyxGvuyxF，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi) ）vFvGuFuGvuGFJ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 在 点0000,vuyxP不 等 于 零 ，则 方 程组0,0,00000000vuyxGvuyxF在 点0000,vuyx的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一

7、组 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数),(),(yxvvyxuu,它们满足条件),(000yxuu，),(000yxvv，并有GvGuFvFuGvGxFvFxvxGFJu),(),(1xGvGuFvFuGxGuFxFuxuGFJv),(),(1xGvGuFvFuGvGyFvFyvyGFJu),(),(1yGvGuFvFuGyGuFyFuyuGFJv),(),(1y例 3：设1,0 xvyuyvxu，求.,yvxvyuxu解：uxvyxuxvxvxxuyyxvxuxuxvxvxuyxyvxuxvyu0001求导方程两边对由定理 3 可求022JyxJyxxyvFvGuFuG且则

8、22yxyvxuxuyxxyyxuv22yxxvyuxvyxxyuvxyvyvyyuxuyvxyuyyvyvyuxyvxyuyuyvxuxvyu00y01求导方程两边对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 同上可求得22yxyuxvyu22yxyuxvyv三. 隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作独立变量，对F(x,y,z)=0 分别求导，利

9、用公式=xz-ZXFF,=yz-zyFF。类型条件公式0,yxF00 xyFF或xyyxFFdxdyFFdxdy或类型条件公式0,zyxF0 xFxzxyFFzxFFyx,0yFyzyxFFzyFFxy,0zFzyzxFFyzFFxz,0,0,vuyxFvuyxG0,vFvGuFuGvuGFJ，vxGFJxu,1，xuGFJxv,1vyGFJyu,1，yuGFJyv,12.直接法：分别将 F(x,y,z)=0 两边同时对x,y 看作独立变量，z 是 x,y 的函数，得到含yzxz,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 的两个方程，解方程可求出yzxz,. 3. 全 微 分 法： 利 用 微 分 形 式 的 不 变 性 ， 对 所 给 方 程 两 边 求 微 分 ， 整 理 成,),(),(dyzyxvdxzyxudz+=则dydx,的系数便是yzxz,，在求全微分时，z应看做自变量 . 例 1.已知xyyxarctanln22=+，求22dxyd. 解. 方法一：令22ln),(yxyxF+=-)ln(21arctan22yxxy+=xyarctan则2222),(,),(yxxyyxFyxyxyx

11、Fyx所以=dxdyyxFFxyyx上式再对x 求导得322222)()(2)(22yxyxyxyxydxyd方法二：方程,0arctanln22xyyx两端分别对x 求导得22yxyyx022yxyxyyxyxdxdy322222)()(2)(22yxyxyxyxydxyd方法三：方程xyyxarctanln22，两端分别求微分得)(arctan)(ln22xydyxd利用全微分不定性，上式化为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - -

12、- - - - . . xydxyyxdydx2222221121由全微分运算法则计算并化简得322222)()(2)(22)()(yxyxyxyxydxydxyyxdxdydxyxdyyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - . . 参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，2014.7 【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，2014.8 【3】邵燕南 .高等数学【 M】北京：高等教育出版社，2014.7 【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【 M】南京：东南大学出版社，2014.5 【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【 M】北京：高等教育出版社，2004.4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -