2022年飞行管理问 .pdf

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1、飞行管理最优解沈蕊（班级： 08（4）班学号：08211425 ） 摘要 飞机的飞行与很多因素有关，由于考虑的因素不同，所研究的飞机问题也不同，本文所讨论的是飞机在高空中飞行时避免相撞的问题，用非线性规划和直接搜索法等研究，考虑了能量梯度、同时还用了同步算法和异步算法解决这个问题。 关键词 非线性规划直接搜索最优解能量求解法一 问题的叙述在约 10，000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内， 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。 当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后， 要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发

2、生碰撞。如果会碰撞， 则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。二 问题的分析及目标该问题是一个在一定条件下的最优化问题，由于最优解对于一个函数的值，我们设想用一个能量表示飞机的值，当达到最佳位子时，能量最小。由此可以设想，每架飞机的方向角在其调整方向上的能量梯度表达了这架飞机的调整趋势。通过比较趋势并在趋势上逐步搜索， 我们有理由相信其调整过程将向以一个较优的结果运动。初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以划归为线性问题。 由于题目涉及数据变量不是太多， 可以考虑用逐步求精的直间搜索法求解。直接搜索法求的近似解难以同时满足两方面的要求。但直接搜索法可以在较短的时间

3、内得到一个较好的可行解， 这就为非线性规划的方法提供了条件，非线性规划的算法种类较多，但均只适用于某些类型的问题。目标：题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对每架飞机而言，同时也要求整体满意程度 （即对管理层而言， 应使每架飞机的调整都尽量的少） ，因此构造目标函数时，可以认为若对方向角量最大的飞机而言，其调整量可满意，目标函数即是求最小值。三 模型的假设及说明1 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km; 2 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30 度；3 所有飞机飞行速度均为每小时800km; 4 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km 以上；5

4、 最多需考虑 6 架飞机；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 6 不必考虑飞机离开此区域后的状况。说明：1. 假设 3 假定所有飞行速度均为800km/h, 是出于对问题的简化。我们将在模型的推广中给出飞机速度各不相同的对策。2. 假设 4 是必要的， 否则可以给出无解的例证， 如图所示， 对该假设可做如下解释: 飞机在区域 D外靠机上雷达自动保持与其他飞机距离大于60km,进入区域 D后 由 地 面 控 制 台 进

5、 行 统 一 控 制 ， 保 证 飞 机 距 离 大于8km.3. 假设 5 中 6 架飞机的假设是足够多的。 以世界最繁忙的国际航空港之一西斯罗机场邻近区域为例， 因假设飞机在区域D作水平飞行， 即知该区域内无机场。 设在希思罗机场起降的飞机有一半穿过该区域，希思罗机场1992 年起降总架次为22.5 万次（文献 6） ，则平均每小时有15 架飞机穿过该区域， 而一架飞机穿过该区域最多需 0.28 小时，则任意时刻该区域上空飞机架数的期望值不超过4.5 架。另外，事实上不同飞机的飞行高度是不同的，这就进一步减少了该区域同一水平面上飞机的数目。 以上讨论虽然稍嫌粗略， 但是足以说明 6 架飞机

6、的假设是合理的。4. 虽然假设 2 给出的调整范围是30 度，但实践证明， 10 度的调整范围就已足够（从后面的模型 1 也可以看出，即使两机相向飞行，各自所需的调整也不超过8度） 。四 文中用到的符号及说明Ti 时滞（xi0 ，yi0 ） 第 i 架飞机的坐标 Ai0 第 i 架飞机初始方位角 t 时间参数 Ai 第 i 架飞机方位角 Dt ( ai , aj ) 时刻 ti ，j 两机距离 Cij cosai cosaj Sij sinai-sinaj v 飞机速度Xij Xi-Xj f 偏差平方和函数Yij Yi-Yj n 求精次数 x 逐步求精搜索法中每次求精每层循环次数 gij（x）

7、 i,j飞机最短距离构成的不等式约束 hij（x）关于第 i 架飞机的等式约束 p （X,r ）罚函数 rk 权因子五 异步顺序梯度模型我们选取值为 0.1 ，三组数据计算结果如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 数 据 组号飞机 1 飞机 2 飞机 3 飞机 4 飞机 5 飞机 6 总角度 1 0 0 2-498 -0.149 0.464 1.163 4.27 2 -6.199 0 2.389 -1.123 0

8、.407 1.776 11.89 3 2.149 -6.010 2.126 -6.354 -1.255 2.401 20.29 不同梯度模型我们选取值为 0.1 ，三组数据如下：数 据 组号飞机 1 飞机 2 飞机 3 飞机 4 飞机 5 飞机 6 总角度 1 0 0 2.338 -0.298 0.521 1.369 4.53 2 -6.761 0 1.862 -1.644 0.464 2.257 12.98 3 2.114 6.104 2.659 -6.429 -1.364 2.424 21.00 异步优化顺序梯度模型我们选取值为 0.1 ，两组数据如下：数 据 组号飞机 1 飞机 2 飞机

9、 3 飞机 4 飞机 5 飞机 6 总角度 1 0 0 2 819 0 0 0.819 3.63 2 0.922 0 1.541 -2.544 0 3.610 8.61 六 直接搜索法模型建立及求解（一）模型一模型一直接将两机模型运用于多机问题，因为他等价于飞机之间两两不相撞。该模型讨论区域中有6 架以下飞机时的情形，利用了模型一判别相撞的函数, 同模型一同样采用方向角调整幅度平方和最优为调整原则，从而导出目标函数和约束条件如下：min f=【 （ai-ai0 ）2 s.t. minD2(ai-aj)=64 (i,j = 1,2, 6,i j),t0; 其中 minD2(ai,aj)=(-Yi

10、jSij+XijCij)/(Cij2+Sij2)Cij+Xij)2 +(-YijSij+XijCij)/(Cij2+Sij2)Sij+Yij)2 =(XijSij-YijCij)2/(Cij2+Sij2) t=-（YijSij+XijCij)/V(Cij2+Sij2) 因为函数只考虑区域中的飞机相撞情况。我们可做如下修改： 因为飞机飞过该区域时间不超过 0.28 小时 （即飞正方形区域对角线时间） ， 我们可认为仅当 minD8,且 0t0.28 小时的时候，飞机在区域中相撞；否则不相撞。在实际计算时，我们更把上限加大到0.3 小时，实际上是使不相撞的条件更苛刻了一些，相当于对飞机飞离此区域后

11、的情况也做了部分考虑，提高了全局控制的安全性。对该模型我们采用直接搜索法讨论了一般情况下对原则问题的求解，可在规定时间内得到一个近似解， 如果放宽时限， 则可得到一个符合精度要求的最优解。为在 30 秒内计算出一个精确解，我们采用了逐步求精的方法。即每次用一定的步长减少循环次数进行“粗选” ，在“粗选”出的解附近以减小了的步长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 进行“精选”逐步推进， 直到达到指定精度。 设每次求精步

12、长减小的倍数是相同的，则每次求精循环次数也相同，设为x。我们考虑【 -10 ，10】度区间，精度要求达到 0.01 度，设进行了 n 次求解，则（x/2 ）n=20/0.01=2000, 总循环次数 L = n * x6 =(log2000)/log(x/2) * x6。由此式可知 x 减小，则 L 减小，但若 x 太小，则可能无法收敛到最优解，经验表明 x 在 8 次以上时才能达到较好的搜索效果。 n=(log2000)/(log(8/2)=5.45. 此时共需要搜索 5 * 96=265万次，需费时 71.55 秒。为将计算时间控制在30 秒内，我们又采取了一些优化方法，如：a. 将底层循

13、环内判别的函数拆细分装在每层循环下，使在高层发现相撞后可提前结束循环；b没进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环；c. 每进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环。这些措施大大减少了平均搜索次数，使得在多数情况下计算时间少于30秒，但程序不能保证在30 秒内结束运算，仍存在一些特异情况使计算时间接近最大耗时。 我们又试用偏差绝对值和来代替平方和，发现对最优解影响有限， 未能明显缩短计算时间。七模型的检验及误差分析飞机 1 60 100 270 -6.53 -6.55 飞机 2 70 100 270 5.46 5.47 飞

14、机 3 80 100 270 3.08 3.09 飞机 4 50 100 270 -4.16 -4.20 飞机 5 40 100 270 -6.48 -6.54 飞机 6 0 40 10 -4.30 -4.30 第一组：为避免侧面碰撞各架飞机都需转动较大的角度，这事较为极端的情况，偏差为平方和较大，但没有一架飞机需调整的角度在10度以上。飞机 1 670 80 180 4.91 4.91 飞机 2 60 70 180 2.54 2.58 飞机 3 60 60 180 0.36 0.40 飞机 4 60 90 180 -7.32 -7.33 飞机 5 60 100 180 -4.95 -5.00

15、 飞机 6 0 80 0 4.16 4.17 第二组：与第一组类似，但可能发生的碰撞是正面的。飞机 1 0 70 0 1.62 1，62 飞机 2 55 5 90 1.09 1.12 飞机 3 90 60 180 1.91 1.92 飞机 4 40 130 270 0.04 0.07 飞机 5 80 5 180 0.00 0.00 飞机 6 0 60 0 4.00 4.00 第三组：四架飞机十字交错而过， 另有两架飞机水平飞行， 两个模型都给出了令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

16、- - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 人较满意的调度。各组数据吻合度很好， 且给出的调整方案也颇为符合逻辑，与一般常识相符， 这说明模型二的算法是可靠的值得指出的是以模型一的较粗略的解的可行解作为模型二的输入是非常必要的， 这不但使解能快速收敛到指定精度，使计算符合要求，而且可以保证所求解的全局最优性。八 两种方法的比较我用了两种方法来求解避免飞机相撞问题，得出的结果都非常的精确， 比较符合题意，但我个人认为还是用能量求解法比较好，它既简洁明了， 也清晰的让人看到数据的显示，做起来也比较省时省力。九 参考文献1. M.D.Himmeblau, 实用非线性规划2. J.L.Lions,非线性边值问题的一些解法3. D.G.Luenberger,线性与非线性规划引论4. 程极泰，最优设计的数学方法5. 邓乃场，无约束最优化计算方法6. 顾其行，国际航空运输管理7. James.P.Lgnizio,Goal programming and Extenions 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -