小学数学所有概念、定律、公式、单位换算、典型应用题 .pdf

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1、小学数学概念、定律、公式、问题和单位换算方程、代数与等式等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。方程式：含有未知数的等式叫方程式。一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有 的算式并计算。代数： 代数就是用字母代替数。代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c 分数分数：把单位 “1”平均分成若干份， 表示这样的一份或几分的数,叫做分数。分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，

2、先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。倒数的概念：如果两个数乘积是1，我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。 1 的倒数是 1，0 没有倒数。分数除以整数（ 0除外） ，等于分数乘以这个整数的倒数。1 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外）

3、 ，分数的大小。分数的除法则：除以一个数（0 除外） ，等于乘这个数的倒数。真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于 1。带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外） ，分数的大小不变。比什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2 5 或 3:6 或 1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0 除外） ，比值不变。什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:69:18 比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两解比例：求比例中的未知项，

4、叫做解比例。如3: 9:18 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如： y/x=k( k 一定)或 kx=y 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x y = k( k 一定)或 k / x = y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页百分数百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的

5、数，叫做百分数。 百分数也叫做百分率或百分比。把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100就行了。把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。2 把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以 100就行了。把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。倍数与约数最大公约数： 几个数公有的约数， 叫做这几个数的公约数。 公因数有有限个。 其中最大的一个

6、叫做这几个数的最大公约数。最小公倍数： 几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数。 公倍数有无限个。 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。互质数：公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。相临的两个数一定互质。两个连续奇数一定互质。1 和任何数互质。通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数）约分：把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数值不变，这个过程叫约分。最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。分数计算到最后，得数必须化成最简分数。质数（素数）：一个数，如果只有1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。合数：一个数，如果除了

7、1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1 不是质数，也不是合数。质因数：如果一个质数是某个数的因数， 那么这个质数就是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。倍数特征：3 2 的倍数的特征：各位是0，2，4，6，8。3（或 9）的倍数的特征：各个数位上的数之和是3（或 9）的倍数。5 的倍数的特征：各位是0，5。4（或 25）的倍数的特征：末2 位是 4（或 25）的倍数。8（或 125）的倍数的特征：末3 位是 8（或 125）的倍数。7（11或 13）的倍数的特征：末3 位与其余各位之差（大 -小）是 7（11或 13）的倍数。 17（或 59

8、）的倍数的特征：末3 位与其余各位 3 倍之差（大 -小）是 17（或 59）的倍数。 19（或 53）的倍数的特征：末3 位与其余各位 7 倍之差（大 -小）是 19（或 53）的倍数。 23（或 29）的倍数的特征：末4 位与其余各位 5 倍之差（大-小）是 23 （或 29）的倍数。倍数关系的两个数，最大公约数为较小数，最小公倍数为较大数。互质关系的两个数，最大公约数为1，最小公倍数为乘积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页两个数分别除以他们的最大公约数，所得商互质。两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这

9、两个数的乘积。两个数的公约数一定是这两个数最大公约数的约数。1 既不是质数也不是合数。用 6 去除大于 3 的质数，结果一定是1 或 5。奇数与偶数偶数：个位是 0，2，4，6，8 的数。奇数：个位不是 0，2，4，6，8 的数。偶数 偶数偶数奇数 奇数奇数奇数 偶数奇数偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。偶数 偶数偶数奇数 奇数奇数奇数 偶数偶数4 相临两个自然数之和为奇数，相临自然数之积为偶数。如果乘式中有一个数为偶数，那么乘积一定是偶数。奇数 偶数小数自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0 也是自然数。纯小数：个位是 0 的小数。带小数：各位大于0 的小数。循环小数：一个

10、小数，从小数部分的某一位起， 一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如 3.141414 不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次 不断的 重 复出现 ，这样的小数叫做 不循环小数。如3.141592654 无限循环小数：一个小数，从小数部分到无限位数，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。如3.141414, 无限不循环小数： 一个小数， 从小数部分起到无限位数， 没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3.141592654,算术定律1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。2

11、、加法结合律： a + b = b + a 3、乘法交换律： a b = b a 4、乘法结合律： a b c = a (b c) 5、乘法分配律： a b + a c = a b + c 6、除法的性质： a b c = a (b c) 5 7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 0 除以任何不是 0 的数都得 0。8、简便乘法：被乘数、乘数末尾有0 的乘法，可以先把0 前面的相乘， 0 不参加运算，有几个 0 都落下，添在积的末尾。9、有余数的除法：被除数商 除数+余数四则运算规则1. 加法交换律：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

12、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a b=b a。4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a b) c=a (b c) 。5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+

13、b) c=a c+b c 。6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。7.除法的运算性质：一个数除以两个数的积， 等于这个数依次除以积的两个因数。即 a (b c) = a b c 数量关系计算公式1、 每份数 份数总数总数 每份数份数总数 份数每份数2、 1 倍数 倍数几倍数几倍数 1 倍数倍数几倍数 倍数 1 倍数3、 速度 时间路程路程 速度时间路程 时间速度4、 单价 数量总价总价 单价数量总价 数量单价5、 工作效率 工作时间工作总量工作总量 工作效率工作时间工作总量 工作时间工作效率6 6、 加数加数和和一个

14、加数另一个加数7、 被减数减数差被减数差减数差减数被减数8、 因数 因数积积 一个因数另一个因数9、 被除数 除数商被除数 商除数商 除数被除数数学图形计算公式1 、正方形C：周长 S：面积 a：边长1) 周长边长 4 C=4a 2) 面积=边长 边长S=a a 2 、正方体V：体积 a：棱长1) 表面积 =棱长 棱长 6 S 表=a a 6 2) 体积=棱长 棱长 棱长V=a a a 3 、长方形C：周长 S：面积 a：边长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页1) 周长=(长+宽) 2 C=2(a+b) 2) 面积

15、=长 宽S=ab 4 、长方体V：体积 s：面积 a：长 b：宽 h：高1) 表面积 (长 宽+长 高+宽 高) 2 S=2(ab+ah+bh) 2) 体积=长 宽 高V=abh 5 、三角形7 S：面积 a：底 h：高面积=底 高 2 S=ah 2 三角形高 =面积 2 底三角形底 =面积 2 高6 、平行四边形S：面积 a：底 h：高面积=底 高S=ah 7 、梯形S：面积 a：上底 b：下底 h：高面积=(上底+下底) 高 2 S=(a+b) h 2 8 、圆形S：面积 C：周长 d= 直径 r=半径周长=直径=2半径C= d=2r 面积=半径 半径 S=r29、 圆柱体V：体积 h：高

16、 S：底面积 r：底面半径c：底面周长1) 侧面积 =底面周长 高S=ch 2) 表面积 =侧面积 +底面积 2 3) 体积=底面积 高4) 体积侧面积 2 半径10、 圆锥体V：体积 h：高 S：底面积 r：底面半径体积=底面积 高 3 V=Sh 3 8 和差问题(和差 ) 2大数(和差 ) 2小数和倍问题和 (倍数 1)小数小数 倍数大数(或者 和小数大数 ) 差倍问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页差 (倍数 1)小数小数 倍数大数(或 小数差大数 ) 植树问题1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形

17、: 、如果在非封闭线路的两端都要植树 ,那么: 株数段数 1全长 株距 1 全长株距 (株数 1) 株距全长 (株数 1) 、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树 ,那么: 株数段数全长 株距全长株距 株数9 株距全长 株数、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数段数 1全长 株距 1 全长株距 (株数 1) 株距全长 (株数 1) 2封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数段数全长 株距全长株距 株数株距全长 株数盈亏问题(盈亏 ) 两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈 ) 两次分配量之差参加分配的份数(大亏小亏 ) 两次分配量之差参加分配的份数相遇问题相遇路程速度和 相遇时

18、间相遇时间相遇路程 速度和速度和相遇路程 相遇时间追及问题追及距离速度差 追及时间追及时间追及距离 速度差10 速度差追及距离 追及时间流水问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度静水速度 (顺流速度逆流速度 ) 2 水流速度 (顺流速度逆流速度 ) 2 浓度问题溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量 溶液的重量 100%浓度溶液的重量 浓度溶质的重量溶质的重量 浓度溶液的重量利润与折扣问题利润售出价成本利润率利润 成本 100%(售出价 成本 1) 100% 涨跌金

19、额本金 涨跌百分比折扣实际售价 原售价 100%(折扣 1) 利息本金 利率 时间税后利息本金 利率 时间 (120%) *时间：一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）*利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。11 长度单位换算(一)、什么是长度长度是一维空间的度量。(二)、长度常用单位* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um) (三)、单位之间的换算1 千米=1000 米1 米=10 分米1 米=100 厘米1 分米=10 厘米1 厘米=10 毫米面积单位换算（一） 、

20、什么是面积面积， 就是物体所占平面的大小。 对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。（二） 、常用的面积单位* 平方毫米* 平方厘米* 平方分米* 平方米 * 平方千米（三） 、面积单位的换算1 平方千米 =100 公顷1 公顷=10000平方米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页1 平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1 平方厘米 =100 平方毫米12 体(容)积单位换算（一） 、什么是体积、容积体积，就是物体所占空间的大小。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

21、（二） 、常用单位1、 体积单位* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米2 、容积单位* 升 * 毫升（三） 、单位换算1 立方米 =1000 立方分米1 立方分米 =1000立方厘米1 立方分米 =1 升1 立方厘米 =1 毫升1 立方米 =1000 升重量单位换算（一） 、什么是重量重量，就是表示表示物体有多重。（二） 、常用单位* 吨 t * 千克 kg * 克 g （三） 、常用换算1 吨=1000 千克1 千克=1000 克1 千克=1 公斤人民币单位换算13 （一） 、什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表， 可以购买任何别的商品。（二） 、常用单位*

22、元 * 角 * 分（三）单位换算1 元=10 角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页1 角=10 分1 元=100 分（一） 、什么是时间是指有起点和终点的一段时间（二） 、常用单位世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、（三）单位换算1 世纪=100 年 1 年=12 月大月(31 天)有:135781012 月小月(30 天)的有:46911 月平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天平年全年 365 天, 闰年全年 366天1 日=24 小时 1 时=60 分1 分=60 秒 1 时=3600 秒

23、秒14 时间单位换算小学数学典型应用题一、归一问题例 1、买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔16 支，需要多少钱？解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.6 50.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.12 161.92（元）列成综合算式 0.6 5 160.12 161.92（元）答：需要 1.92元。【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量 份数 1 份数量 1 份数量 所占份数所求几份的数量另一总量 （总量 份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量

24、。例 2、 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷， 照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？（2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？列成综合算式答：5 台拖拉机 6天耕地例 3、5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的7 辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？解（1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？（2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？（3）105吨钢材 7 辆汽车需要运几次？列成综合算式答：需要运练习 12 台拖拉机 4 时耕地 20 公顷，照这样速度， 5 台拖拉机 6 时可耕地多少公顷？精选学习资料 - - - - -

25、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页24 台织布机 5 时可以织布 2600米，24 台织布机几小时才能织布24960米？3一种幻灯机， 5 秒钟可以放映 80 张片子。问： 48 秒钟可以放映多少张片子？43 台抽水机 8 时灌溉水田 48 公顷，照这样的速度， 5 台同样的抽水机 6 时可以灌溉水田多小公顷？5平整一块土地，原计划8 人平整，每天工作 7.5 时，6 天可以完成任务。由于急需播种，要求 5 天完成，并且增加1 人。问：每天要工作几小时？6食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00 元买 35 千克。结果鸡蛋价格下调了，他用

26、这笔钱多买了2.5 千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？7锅炉房按照每天 4.5 吨的用量储备了 120天的供暖煤。供暖40 天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9 吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？二、 归总问题例 1、服装厂原来做一套衣服用布3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？ 3.2 7912531.2（米）（2）现在可以做多少套？ 2531.2 2.8904（套）列成综合算式 3.2 791 2.8904（套）答：现在可以做 904 套。【含义】解题时，常常先找出“ 总数量 ” ，然后再

27、根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 “ 总数量 ” 是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。15 【数量关系】 1 份数量 份数总量总量 1 份数量份数总量 另一份数另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 2、小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读36 页书，几天可以读完红岩？解（1） 红岩这本书总共多少页？（2）小明几天可以读完红岩？列成综合算式答：小明天可以读完红岩。例 3、食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克， 30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10

28、 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？（2）这批蔬菜可以吃多少天？列成综合算式答：这批蔬菜可以吃天。三、 和差问题例 1、甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6 人，求两班各有多少人？解甲班人数（ 986） 252（人）乙班人数（ 986） 246（人）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。【含义】已知两个数量的和与差， 求这两个数量各是多少， 这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数（和差） 2 小数（和差） 2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公

29、式； 复杂的题目变通后再用公式。例 2、长方形的长和宽之和为18 厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解长（厘米）宽（厘米）长方形的面积（平方厘米）答：长方形的面积为平方厘米。例 3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32 千克，乙丙两袋共重30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量丙袋化肥重量乙袋化肥重量答：甲袋化肥重千克，乙袋化肥重千克，丙袋化肥重千克。例 4、甲乙两车原来共装苹果97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解

30、“ 从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐” ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是，甲与乙的和是97，因此甲车筐数（筐）乙车筐数答：甲车原来装苹果筐，乙车原来装苹果筐。四、 和倍问题例 1、果园里有杏树和桃树共248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？ 248 （31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62 3186（棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。16 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和 （几倍 1）较小的数总和较小的数

31、较大的数较小的数 几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 2、东西两个仓库共存粮480 吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4 倍，求两库各存粮多少吨？解（1）西库存粮数（2）东库存粮数答：东库存粮吨，西库存粮吨。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页例 3、甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍？解：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824

32、）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（ 5232）就相当于（ 21）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为所求天数为答：例 4、甲乙丙三数之和是170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2 倍；又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去6 就变为甲数的 3 倍；这时（ 17046）就相当于（ 123）倍。那么，甲数乙数丙数答：甲数是，乙数是，丙数是。五、 差倍问题例 1、果园里桃树的棵数是杏树的3 倍，

33、而且桃树比杏树多124 棵。求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？ 124 （31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62 3186（棵）答：果园里杏树是62 棵，桃树是 186 棵。【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差 （几倍 1）较小的数较小的数 几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 2、爸爸比儿子大27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解（1）儿子年龄（2）爸爸年龄答：父子二人今年的年龄分别是和。例 3、商

34、场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解如果把上月盈利作为1 倍量，则 （3012） 万元就相当于上月盈利的倍，因此上月盈利本月盈利答：上月盈利是万元，本月盈利是万元。例 4、粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9 吨，问几天后剩下的玉米是17 小麦的 3 倍？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差。把几天后剩下的小麦看作1 倍

35、量，则几天后剩下的玉米就是3 倍量，那么，就相当于倍，因此剩下的小麦数量运出的小麦数量运粮的天数答：天以后剩下的玉米是小麦的3 倍。六、 倍比问题例 1、100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在有油菜籽3700 千克，可以榨油多少？解（1）3700千克是 100千克的多少倍？ 3700 10037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40 371480（千克）列成综合算式 40 （3700 100）1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。【含义】有两个已知的同类量， 其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量 一个

36、数量倍数另一个数量 倍数另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 2、 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400棵， 照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解（1）48000名是 300 名的多少倍？（2）共植树多少棵？列成综合算式 : 答：全县 48000 名师生共植树棵。例 3、凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4 亩果园收入 11111元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解（1）800亩是 4 亩的几倍？（2）800亩收入多少元？（3）16000亩是 800亩的几倍？（4）16000亩收入多

37、少元？答：全乡 800 亩果园共收入元，全县 16000 亩果园共收入元。七、 相遇问题例 1、南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28 千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解 392 （2821）8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。 这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程 （甲速乙速）总路程（甲速乙速） 相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式， 复杂的题目变通后再利用公式。例 2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5

38、 米，小刘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“ 第二次相遇 ” 可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为: 相遇时间 : 答：二人从出发到第二次相遇需秒时间。18 例 3、甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点3 千米处相遇，求两地的距离。解“ 两人在距中点 3 千米处相遇 ” 是正确理解本题题意的关键。 从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3 千米，乙距中点 3

39、千米，就是说甲比乙多走的路程是千米，因此 : 相遇时间 : 两地距离 : 答：两地距离是千米。八、 追及问题例 1、好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解（1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 75 12900（千米）（2）好马几天追上劣马？ 900 （12075） 20（天）列成综合算式 75 12 （12075）900 4520（天）答：好马 20 天能追上劣马。【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之

40、米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500 米所用的时间。又知小明跑200 米用 40 秒，则跑500 米用秒，所以小亮的速度是答：小亮的速度是每秒米。例 3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22 点接到命令，以每小时30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60 千米， 问解放军几个小时可以追上敌人？解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是小时，这段时间敌人逃跑的路程是千米，甲乙两地相距60 千米。由此推知追及时间 : 答：解放军在小时后可以追上敌人。例 4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48 千米；一辆货车

41、同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为所以两站间的距离为列成综合算式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页答：甲乙两站的距离是千米。例 5 兄妹二人同时由家上学， 哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本， 立即沿原路回家去取， 行至离校 180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解要求距离，速度已

42、知，所以关键是求出相遇时间。 从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为: 19 家离学校的距离为 : 答：家离学校有米远。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下， 如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解手表慢了 10分钟， 就等于晚出发 10分钟， 如果按原速走下去，就要迟到分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9 分钟，由此可

43、知，行 1 千米，跑步比步行少用分钟。所以步行 1 千米所用时间为跑步 1 千米所用时间为跑步速度为每小时答：孙亮跑步速度为每小时千米。九、 植树问题例 1、 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136 2168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数距离 棵距 1 环形植树棵数距离 棵距方形植树棵数距离 棵距 4 三角形植树棵数距离 棵距 3 面积植树棵数面积 （棵距 行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类

44、型，然后可以利用公式。例 2、一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解: 答：一共能栽棵白杨树。例 3、一个正方形的运动场，每边长220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解答：一共可以安装个照明灯。例 4、给一个面积为96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页解答：至少需要块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯， 若每隔

45、50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？（2）桥的两边有多少个电杆？（3）大桥两边可安装多少盏路灯？答：大桥两边一共可以安装盏路灯。十、 年龄问题例 1、爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 35 57（倍） （35+1） （5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。20 【含义】这类问题是根据题目的年后母亲的年龄是女儿的4 倍。例 3、3 年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父子今年各多少岁？解今年父子的年龄和应该比3 年前增加岁

46、，今年二人的年龄和为把今年儿子年龄作为1 倍量，则今年父子年龄和相当于倍，因此，今年儿子年龄为今年父亲年龄为答：今年父亲年龄是岁，儿子年龄是岁。例 4、甲对乙说： “ 当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁” 。乙对甲说：“ 当我的岁数将来是你现在的岁数时， 你将 61 岁” 。 求甲乙现在的岁数各是多少？因为两个人的年龄差总相等： 4 61，也就是4， ，61 成等差数列，所以， 61应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为甲今年的岁数为乙今年的岁数为答：甲今年的岁数是岁，乙今年的岁数是岁。十一、 行船问题例 1、一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时15 千米

47、，这只船逆水行这段路程需用几小时？解由条件知，顺水速船速水速320 8，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 320 81525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为320 1032（小时）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页答：这只船逆水行这段路程需用32 小时。【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度， 也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差

48、。【数量关系】（顺水速度逆水速度） 2船速（顺水速度逆水速度） 2水速顺水速船速 2逆水速逆水速水速 2 逆水速船速 2顺水速顺水速水速 2 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 2、甲船逆水行 360千米需 18 小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？21 解由题意得甲船速水速甲船速水速可见相当于水速的 2 倍，所以，水速为每小时又因为，乙船速水速所以，乙船速为乙船顺水速为所以，乙船顺水航行360 千米需要答：乙船返回原地需要小时。例 3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576 千米，风速为每小时 24 千米，

49、飞机逆风飞行3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（2）顺风飞回需要多少小时？列成综合算式答：飞机顺风飞回需要小时。十二、 列车问题例 1、一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3 分钟。这列火车长多少米？解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少米？ 900 32700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 900 32400300（米）答：这列火车长 300 米。【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时

50、要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长） 车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 2、一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解火车过桥所用的时间是2 分 5 秒秒，所走的路程是米，这段路程就是（ 200 米桥长） ，所以，桥长为答：大桥的长度是米。例 3、