2022年高一数学培优：抽象函数的单调性和奇偶性学生用 .pdf

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1、1 专题 7 抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大 ,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“ 抽象” 带来的困难，做到胸有成竹 .另外还要通过对题目的特征进行观察、 分析、类比和联想，寻找具体的 函数模型 ，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。一.定义域问题-多为简单函数与复合函数的定义域互求。1.若函数 y = f（x

2、）的定义域是 2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义域为。2：已知函数1fx的定义域为 3， 11，求函数f(x)的定义域。3：已知函数1fx的定义域为 4， 12，求函数f(2x+1)的定义域。二、 求值问题 -抽象函数的性质是用 条件恒等式 给出的， 可通过 赋特殊值法 使问题得以解决。怎样赋值 ?需要明确目标 ,细心研究 ,反复试验 ;同时要充分利用函数的性质. 1 已知定义域为R的函数 f（x）， 同时满足下列条件： 51)6(1)2(ff，； )()()(yfxfyxf，求 f（ 3） ，f（9）的值。2f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y 都有 f(xy)=

3、f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则( 2)f3的值是则且如果)2001()2000() 5() 6()3()4() 1() 2(, 2) 1(),()()(fffffffffyfxfyxf。2(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff. 4对任意整数yx,函数)(xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1) 1 ( f，则) 8( fA.-1 B.1 C. 19 D. 43 三、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）方法一 :利用定义的作差 ;方法二 :作商;充分利用好已知条件中的恒等式变形及不等式条件. 名师资

4、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 利用作差要注间两种变形(1).1122xxxx；(2) 1122xxxx1 已 知 函 数yfx是 定 义 在0,上 的 增 函 数 ， 对 于 任 意 的0,0 xy， 都 有fxyfxfy，且满足21f. （ 1）求14ff、的值；（ 2）求满足32fxfx的x的取值范围 . 2定义在R上的函数yfx对任意的,x yR，满足条件：1fxyfxfy，且当0 x时，1fx. （1）求

5、0f的值；（2）证明：函数fx是R上的单调增函数；（3）解关于t的不等式221ftt. 3若fx是定义在0,上的增函数，且对一切x，0y，满足xffxfyy（1）求1f的值；（2）若61f，解不等式1323fxf4已知fx是定义在1,1上的奇函数，且11f，若m，1,1n，0mn时，有0fmfnmn. （1）证明fx在1,1上是增函数；（2）解不等式1121fxfx；（3）若221fxtat对任意1,1x，1,1a恒成立，求实数t的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

6、 - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 5 设 函 数yfx是 定 义 在R上 的 函 数 ， 并 且 满 足下 面三 个条 件 ： 对 任意 正数,x y， 都 有fxyfxfy；当1x时，0fx；31f. （1）求1f，19f的值；（2）证明fx在0,上是减函数；（3）如果不等式22fxfx成立，求x的取值范围 . 6已知函数fx满足：对任意, x yR，都有2fxyfx fyfxfy成立，且0 x时，2fx，（1）求0f的值，并证明：当0 x时，12fx（2）判断fx的单调性并加以证明（3）若函数g xfxk在,0上递减，求实数k的取值范围 . 7已知函数的

7、定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有. （1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围 . 8设fx是定义在R上的奇函数，且对任意abR、，当0ab时，都有0fafbab（1）若ab，试比较fa与f b的大小关系；（2）若92 32 90 xxxffk对任意0,x恒成立，求实数k的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 五、奇偶性问题1. （1）

8、已知函数f(x)(x0的实数 )对任意不等于零的实数x、y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。（2）已知 y=f (2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D ）A.x=1 B.x=2 C.x=21 D. x=21注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1) f(x) 关于 x=1 对称。2：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足)()(1)()()(1xfyfyfxfyxf，（ 2）存在正常数a，使f(a)=1.求证： f(x)是奇函数。证

9、明：设t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(tfxfyfxfyfyfxfxfyfxyftf，所以 f(x)为奇函数。3：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又) 123() 12(22aafaaf。求实数a的取值范围。4：1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0)，f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性 ,并证明你的结论; 5.定义域为 R的函数 f(x)满足：对于任意的实数x，y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0时f(x)0恒成立

10、 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明 f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有 f(x)6成立，试确定 f(1)应满足的条件；6、已知 f(x)是定义在 1， 1上的奇函数，且f(1)=1,若 a,b 1,1,a+b0时，有babfaf)()(0. (1)判断函数f(x)在 1， 1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 （2）解不等式：

11、f(x+21)f(11x); (3)若 f(x) m22pm+1 对所有 x 1,1,p 1,1(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围 . 六、解不等式要充分利用恒等式进行合理的变形，充分利用好的函数的性质：单调性、奇偶性、对称性；对于出现常数时要求出常数对应用的值。1 设fx是 定 义 在,上 的 单 调 递 减 函 数， 且fx为 奇 函数 . 若11f，则 不 等 式121fx的解集为A. 1,1B0,4C2,2D1,32已知函数fx为定义在2 ,1bb上的偶函数，且在0,1 b上单调递增，则1fxf的解集为（）A. 1,2B. 3,5C. 1,1D. 1 3,2 23已知函数fx是

12、定义在R上的偶函数，在,0上有单调性，且21ff，则下列不等式成立的是（）A. 123fffB. 234fffC. 1202fffD. 531fff4已知定义在上的函数满足，且，若，则实数t的取值范围为 _. 5已知fx是定义在R上的偶函数，在0,上单调增，且21f，则满足11fx的x的取值范围是 _. 6已知定义在R上的函数fx满足fxfx，且对于任意1x，20,x，12xx，均有21120fxfxxx. 若1132f，182log1fx，则x的取值范围为 _7已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有fx1,111fm1,1n0mn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 . （1）证明在上是增函数；（2）解不等式；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围 . 8已知定义域为R的函数是奇函数（I）求 a的值，并指出函数的单调性（不必说明单调性理由）；（II）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围0fmfnmnfx1,11121fxfx221fxtat1,1x1,1at141)(xaxf)(xfRt0)2()2(22ktfttfk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -