2022年高一数学衔接班——不等式 .pdf

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1、高一数学衔接班第5 课不等式一、学习目标1. 掌握一元二次不等式的解法，如不等式组法、图象法2. 掌握简单分式不等式的解法3. 会解简单的含字母系数的不等式，会求有关字母取值或取值范围的问题二、学习重点一元二次不等式的解法三、课程精讲1. 新知探秘问题：如何解不等式260 xx思路导航： 不等式左边可以因式分解，根据“ 符号法则- 正正（负负）得正、正负得负” 的原则，将其转化为一元一次不等式组解：方法一：原不等式可以化为：(3)(2)0 xx，于是：3020 xx或3020 xx333222xxxxxx或或所以，原不等式的解是32xx或点津： 当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形

2、式后， 只要等式左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。形如20(0) (0)axbxca或其 中的不等式称为 关于x的一元二次不等式知识点一：一元二次不等式的解法 不等式组法例 1. 解下列不等式：（1）(2)(3)6xx（2）(1)(2)(2)(21)xxxx思路导航： 要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数解： （1）原不等式可化为：2120 xx，即(3)(4)0 xx于是：3030344040 xxxxx或所以原不等式的解是34x（2）原不等式可化为：240 xx，即240(4)0 xxx x于是：00044040或xxxxx所以原不等式的解是4

3、x0点津： 在将不等式化为20(0)axbxc或的形式时，通常把二次项系数化正，还要注意进行正确的分解因式知识点二：一元二次不等式的解法图象法问题：对于如何解不等式260 xx，还有其他的解法吗？解： 方法二 ：二次函数26yxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （1）作出图象（如图所示）；（2）根据图象容易看到，图象与x 轴的交点是(3, 0), (2, 0)，即当32或=xx时，0y就是说对应的一元二次方程26

4、0 xx的两个实数根是32或 =xx（3）当32xx或时，0y，对应图像位于x 轴的上方就是说260 xx的解是32xx或当32x时，0y，对应图像位于x 轴的下方就是说260 xx的解是32x一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）求相应一元二次方程的根；（2）观察相应的二次函数的图象。如果图象与x 轴有两个交点12(, 0), (, 0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,xx（也可由根的判别式0来判断）。如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根122bxxa（也可由根的判别式0来判断）如

5、果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式0来判断）。简单的说，求解一元二次不等式的步骤为：（ 1）求根（ 2）画图（ 3）写出解集例 2. 解下列不等式：（1）2280 xx（ 2）2440 xx思路导航： 按着图象法的解题步骤进行解： （1）不等式可化为(2)(4)0 xx一元二次方程的两根为-2、4 由图象知，不等式的解是24x（2）不等式可化为2(2)0 x由图象知不等式的解是2x仿练：220 xx解： 不等式对应的一元二次方程220 xx无解由22yxx的函数图像可知，原不等式无解点津： 实际上， “ 一元二次方程” 、“ 一元二次函数”“一元二次不等

6、式” 之间存在某种内在联系，简称为 “ 三个二次的关系” ；“ 三个二次的关系” 完全可以统一到函数的图像中去，即一元二次方程的根是一元二次函数图像与x 轴交点的横坐标， 也是一元二次不等式解的端点值，当然，这部分内容到高中还会学习到。知识点三：简单分式不等式的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 例 3. 解下列不等式：（1）2301xx（2）2301xxx思维导航： （ 1）类似于一元二次不等式的解法，运用“

7、符号法则 ” 将之化为两个一元一次不等式组再进行处理；或者因为两个数（式）相除为异号，那么这两个数（式）相乘也为异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解（2）注意到经过配方后，分母实际上是一个正数解： （1）法一：原不等式可化为：3323023031221010211xxxxxxxxx或或法二：原不等式可化为：3(23)(1)012xxx（2）22131()024xxx原不等式可化为：303xx点津： 分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解，当然，还有其他的方法，那就是可以转化成一元二次不等式来求解，但请注意不等式2301xx与一元二次不等式231xx（ ）0是否同解。事实上，它们

8、的解并不相同，2301xx的解为312x，而231xx（ ）0的解为312x。例 4. 解不等式132x思路导航： 分母当中含有未知量x，而不等式的右端并不为0，此题能直接去分母吗？显然，因为分母2x的符号不能确定，所以此题不能直接去分母，可以通过移项，把不等式的一端化为0。解： 原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或点津： （1）转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0（2）本例若采取直接去分母的方法，则需要讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx或或或【直击高中】在高中，经常会遇到含有字母系

9、数的不等式，这样的字母我们称为参数，在含有参数的不等式中， 由于参数取值的不同，会导致不等式解的不确定，换句话说， 参数取值的不同，导致不等式解的结果不同，所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论，从而讨论不等式的解，这种思想就是分类讨论的思想。例如：对于初中很熟悉的不等式0axb最终可以化为axb的形式（1）当0a时，不等式的解为：bxa；（2）当0a时，不等式的解为：bxa；（3）当0a时，不等式化为：0 xb；若0b，则不等式的解是全体实数；若0b，则不等式无解例 5. 求关于 x 的不等式222m xmxm的解思 路 导 航 ： 通 过 移 项 、 整 理 ， 原 不 等 式 可 变 形

10、 为 一 元 一 次 不 等 式 的 形 式2(2)2mmxm， 显然不等式的解的情况取决于22mm的符号，所以需要对22mm的符号进行讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解： 原不等式可化为：(2)2m mxm（1）当202mm即时，1mx，不等式的解为1xm；（2）当202mm即时，1mx当02m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为全体实数（3）当202mm即时，不等

11、式无解综上所述：当0m或2m时，不等式的解为1xm；当02m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解。仿练： 已知关于 x 的不等式22kkxx的解为12x，求实数k的值思路导航： 将不等式整理成axb的形式， 可以考虑只有当0a时，才有形如bxa的解，从而令12ba解： 原不等式可化为：2(1)2kxk所以依题意：2101332121212kkkkkk或点津： 对于含有参数的不等式往往都需要对参数进行分情况讨论，所以要特别注意运用分类讨论的数学思想。例 6. 已知对于任意实数x ，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围思路导航：22kxxk恒为正数，即不

12、等式220kxxk恒成立，无法直接解此不等式，所以需把问题进行转化，考虑“ 三个二次 ” 的关系，利用二次函数的图像帮助求解。解： 显然0k不合题意，于是：222000111(2)4010kkkkkkkk或点津： “ 一元二次方程 ” 、“ 一元二次函数 ”“一元二次不等式” 有着密切的联系，解任何一方面的问题， 都可以借助其他方面加深对问题的理解从而解决问题，这里面体现着高中数学的又一个重要的数学思想- 函数与方程的思想。例 7. 已知关于 x 的不等式22(1)30kxkx的解为3x1，求k的值思路导航： 对应的一元二次方程的根是1和3， 且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与

13、系数的关系可以求解。解： 由题意得：2011313( 1) 3kkkkk点津：本例也可以根据方程有两根1和3， 用代入法得：22(1)(1)(1)30kk，2233(1)30kk，且0k，从而解得1k四、知识提炼解方程或不等式解的情况0 =0 0）x=x1或 x=x2a2bxx21无实数解ax2+bx+c0 x|xx2 a2bx|xR 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - ax2+bx+c0 x| x1xx2 无解无解

14、五、目标期望一元二次不等式是不等式的一种重要形式，学好一元二次不等式不仅可以解分式不等式，而且对于处理二次函数，一元二次方程的有关问题都会起到重要的促进作用，希望通过本节课的学习， 使同学们能够熟练的求解一元二次不等式及分式不等式，并能运用相关知识处理一些简单的含有参数的不等式问题。六、下讲预告二次函数是初中的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段， 我们已经学习过如何求二次函数的最值，下节课我们将在此基础上继续学习当自变量在某个范围时，函数的最值问题。【同步练习】 （答题时间： 30 分钟）1. 关于x 的不等式xxx352的解是A. 5x或1xB. 5x或1xC. 15xD. 15x

15、2. 不等式0322xx的解为A. 31xx或B. 13xC. 13xx或D. 31x3. 不等式20(0)axbxca的解集为R，那么A. 0,0aB. 0,0aC. 0,0aD. 0,0a4. 若不等式022bxax的解是1123x，则ab的值是（）A. 10B. 14C. 10D. 1 45. 不等式xx22的解是. 6. 不等式101xx的解是 _ 7. 不等式21221xx的解是 _ 8. 若不等式02bxax的解为,2131x求 a和 b 的值。9. 解不等式：（1） x2 2x30 ；（2）xx260；（3） 4x24x10 ；（4）x26x90 ；（5） 4xx20. 10.

16、解关于x 的不等式2(1)0 xaxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 【试题答案】1. B. 2. C 3. A4. A5. 1x6. 11 xx或7. 132xx或8. 解：由题意知20axxb有解1211,32xx，结合函数图象2yaxxb，可知0a，由韦达定理，1113211()32aba，解得6a，1b9. 解： （1） 0，方程 x22x30 的解是x1 3，x21. 不等式的解为3x1. （2）整理，

17、得x2 x60. 0，方程 x2x6=0 的解为x1 2，x23. 所以，原不等式的解为x 2，或 x3. （3）整理，得（ 2x 1）2 0.由于上式对任意实数x 都成立，原不等式的解为一切实数. （4）整理，得（ x3）2 0.由于当 x3 时，（ x 3）20 成立；而对任意的实数x，（ x3）20 都不成立，原不等式的解为x 3. （5）整理，得x2 x40. 0，所以，原不等式的解为一切实数. 10. 解：2(1)(1)()0 xaxaxxa（1）当1a时，2(1)0 xaxa的解为1xa（2）当1a时，2(1)0 xaxa无解（3）当1a时，2(1)0 xaxa的解为1ax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -