2022年高一数学寒假课程第讲-基本初等函数 .pdf

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1、寒假课程 高一数学1 第四讲基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念baNNbalog（a0，a1）2.指数与对数的性质指数运算性质raaaasrsr,0(、sQ） ，raaasrsr,0()(、sQ） ，rbababarrr,0,0()(Q）（注）上述性质对r、sR 均适用 . 对数运算性质logMNalogNMaaloglogNMNMaaaloglogMnManaloglog（M、N0, a0, a1）推广：MmnManamloglog换底公式：aNNbbalogloglog（a，b0，a1，b1）3.指数函数、对数函数的概念形如yxa（a0 且a1 ，x0）叫做指数函数（expone

2、ntial function ） ，其中x是自变量，函数的定义域为 R. 形如yxalog（a0且a1 ，x0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function ）. （1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2） 注意底数的取值范围. 4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）. 5.幂函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学2 （1）幂函数定义：一

3、般地，形如xy()R的函数称为幂函数，其中为常数 . （2）幂函数性质： 所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数 .特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数 .在第一象限内， 当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 . 二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大

4、小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差. 4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径. 三、典型例题精讲【例 1】比较下列各数的大小：3312122,15lg,53,25lg,53,35.0log又例 :比较下列各组数的大小：（1）7.06，67.0，6log7 .0； （2）7 .0log1. 1，7 .0log2. 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 -

5、 - - - - - - - - 寒假课程 高一数学3 再例 ：当ab1，下列不等式正确的有（）A.bbaa111B.baba11C.211bbaaD.baba11技巧提示： 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决. 【例 2】已知函数y122xxaa（a0，a1 ）在区间 1，1上的最大值为14，求a的值 . 技巧提示： 指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知)(xf)32(log24xx.求（1）)(xf的单调区间；（2）求函数)(xf的最大值及对应的x的值. 名师资料总结 - - -精品资料欢

6、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学4 【例 3】函数12311xy的定义域是（）A.),21B.21,(C.),(D. 1 ,(技巧提示： 这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解. 又例：若132loga，则a的取值范围是. 再例 ：解不等式0)1)(2(log2221xxxbaba（a0，b0）. 【例 4】函数)2(log2

7、21xxy的单调递增区间是. 技巧提示： 对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学5 又例 ：求函数93221xxy的单调递减区间. 再例 ：已知a0 且a1, 函数xxfalog)(在定义域 2,3上的最大值比最小值大1 ,则a的值为. 【例 5】当a1 时，证明函

8、数)(xf11xxaa是奇函数 . 技巧提示： 对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定)( xf与)(xf关系时，也可采用如下等价证法 . 1)()()()(xfxfxfxf（)(xf ） ，1)()()()(xfxfxfxf（)(xf ） . 如本题可另证如下：)()(xfxf11111xxxxxxxxaaaaaaaa，即)( xf)(xf，所以函数)(xf11xxaa是奇函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - -

9、 - - 寒假课程 高一数学6 又例 ：设a是实数，)(xfa122x（xR）（1）试证明对于任意a，)(xf为增函数；（2）试确定a值，使)(xf为奇函数 . 【例 6】已知 0 x1，a0，a1，比较)1(logxa和)1 (logxa的大小 . 技巧提示： 比较大小通常采取作差变形判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商变形与“ 1”比较的办法. 又例 ：解不等式)1(log)3(log238xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 -

10、- - - - - - - - 寒假课程 高一数学7 【例 7】 （ 1）已知a3log2，b7log3，用a，b表示56log42；（2）已知, 6log, 3log, 2logcbaxxx求xabclog的值 . 技巧提示： 掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度. 又例 ：判断下列函数的奇偶性（1）)(xf1212xx；（2）)(xgx1)1ln(2xx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学8 四、课后训练1.已知732log log (log)0 x，那么12x等于（）A.13B.12 3C.12 2D.13 32.函数2lg11yx的图像关于（）A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线yx对称3.函数(21)log32xyx的定义域是（）A.2,11,3UB.1,11,2UC.2,3D.1,24.函数212log (617)yxx的值域是（）A.RB.8,C., 3D.3,5.下列函数中，在0,2上为增函数的

12、是（）A.12log (1)yxB.22log1yxC.21logyxD.212log(45)yxx6.已知|1|log)(xxga)1, 0(aa在10 ，上有( )0g x，则1( )xf xa是（）A.在,0上是增加的B.在,0上是减少的C.在, 1上是增加的D.在, 1上是减少的7.函数xaxf) 1()(2是减函数，则实数a的取值范围是. 8.计算3log22450lg2lg5lg. 9.已知11log)(xmxxfa是奇函数（其中)1,0 aa，（1）求m的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

13、整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学9 （2）讨论)(xf的单调性；（3）求)(xf的反函数)(1xf；（4）当)(xf定义域区间为)2, 1(a时，)(xf的值域为), 1(，求a的值 . 10.对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数 a的取值范围；（3）若函数在), 1内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1 ,(，求实数 a 的值；（5）若函数的值域为 1,(，求实数 a 的值；（6）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -