2022年高中函数值域求法小结 .pdf

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1、函数值域求法小结一、观察法 （根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值 )的简单函数）1、求242xy的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：,2,024)(2yxxg所以2、求函数111yx的值域。分析：首先由1x0，得1x+11，然后在求其倒数即得答案。解：1x01x+11，111x，函数的值域为（，二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数)4,0(422xxxy的值域。设：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：2,2y。说明：在求解值域(最值 )时

2、，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。2、求函数342xxey的值域。解答：此题可以看作是uey和342xxu两个函数复合而成的函数，对u配方可得：1)2(2xu，得到函数u的最大值1u，再根据uey得到y为增函数且0y故函数342xxey的值域为：,0(ey。3、若,42yx0,0 yx，试求yxlglg的最大值。本题可看成一象限动点),(yxp在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4， 0)， (0， 2)确定一条直线，作出图象易得：2)1(2lg)24(lglglglg),2,0(),4,0(2yyyxyyxyx而，y

3、=1 时，yxlglg取最大值2lg。三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用 “原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质， 先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。1、求函数12xxy的值域。由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从

4、而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2即xxy2故函数的值域为：),2()2,(y。 （反函数的定义域即是原函数的值域）2、求函数11xxeey的值域。解答：先证明11xxeey有反函数，为此，设21xx且Rxx21,，0)1)(1(211112121221121xxxxxxxxeeeeeeeeyy。所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：xxy111ln。此函数的定义域为)1, 1(x，故原函数的值域为) 1, 1(y。四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222xx

5、xxy的值域。由于本题的分子、 分母均为关于x 的二次形式， 因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222xxyxyyx整理得：073)2(2)2(2yxyxy当2y时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足032)(2xxxf即Rx此时方程有实根即0，.2 ,290)73)(2(4)2(22yyyy注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29,2 yy）代回方程检验。将29, 2 yy分别代入检验得2y不符合方程，所以)2,29y。2、求函数2212xxxy的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2yxyyx，(1) 名师资料总结 - - -

6、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0)12(4)12(2yyy，解得：2121y。故原函数的值域为：,2121y。五、换元法 （通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数xxy41332的值域。由 于 题 中 含 有x413不 便 于 计 算 ， 但 如 果 令 ：xt413注 意0t从 而 得 ：)0(

7、321341322tttytx变形得)0(8) 1(22tty即：4,(y注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。2、已知),(yxp是圆422yx上的点，试求xyyxt322的值域。在三角函数章节中我们学过：1cossin22注意到422yx可变形为：1)2()2(22yx令,0,sin2,cos2yx2 )则2sin64sin2cos234t4,02又)即 1 , 12sin故10,2t3、试求函数xxxxycossincossin的值域。题中出现xxsincos，而xxxxxxcossin21)cos(sin, 1cossin222由此联想到将xxsincos视

8、为一整体，令2,2cossinxxt由上面的关系式易得21cossincossin2122txxxxt故原函数可变形为：2,21)1(21,2)1(2)2,2(21222ttytyttty即221, 1y六、数形结合法 （对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数xxycos2sin3的值域。分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页

9、 - - - - - - - - - 1212xxyyk，将原函数视为定点(2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：3326,3326y2、求函数13yxx的值域。分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。24,(,1,2,(1,3),24,3,),xxyxxx在对应的区间内， 画出此函数的图像，如图 1 所示，易得出函数的值域为),2。七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：abbaabb

10、a2,222） ，利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取成立的条件。 ）1、当0 x时，求函数248)(xxxf的最值，并指出)(xf取最值时x的值。因为2244448)(xxxxxxf可 利用不等式33 abccba即：324443)(xxxxf所以12)(xf当且仅当244xx即1x时取“ =”当1x时)(xf取得最小值12。2、双曲线12222byax的离心率为1e，双曲线12222axby的离心率为2e，则21ee的最小值是（）。A22B4 C2 D2根据双曲线的离心率公式易得：bbaabaee222221，

11、我们知道xyyx2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以abbaee22212（当且仅当bbaaba2222时取“ =” ）而abba222故2221ee（当且仅当ba时取“ =” ）22)(m i n21ee所以。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数12xxy的值域。解 答 ：211112xxxxy， 当 且 仅 当1x时

12、成 立 。 故 函 数 的 值 域 为),2y。此法可以灵活运用， 对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。4、求函数1222xxxy的值域。解答： 此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出)1( x项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：22)(1(2xxcbxx，将上面等式的左边展开，有：)()1(2cbxbx，故而21b，2cb。解得1b，1c。从而原函数1111)1)(1() 1(xxxxxy；)当1x时，01x，011x，此时2y，等号成立，

13、当且仅当0 x。)当1x时，0)1(x，011x，此时有211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy，等号成立，当且仅当2x。综上，原函数的值域为：),22,(y。八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数 )的形式）1、求函数122xxxxy的值域。观察分子、分母中均含有xx2项，可利用部分分式法；则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -

14、43)21(11111122222xxxxxxxxxy不妨令：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf注意：在本题中应排除0)(xf，因为)(xf作为分母。所以43, 0)(xg故1,31y2、如对于函数231xxy，利用恒等变形，得到：)23(31312331)23(31xxxy，容易观察得出此函数的值域为),(),(3131y。注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）1、求函数)4(log221xxy的值域。由于函数本身是由一个对数函数（外层

15、函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4,0)(4)2()(2（所以xfxxf由复合函数的单调性（同增异减）知：),2y。当函数f在),(ba上单调，譬如f在),(ba上递增时，自然有函数f在),(ba上的值域为)0(),0(bfaf(其 中)(lim)0(),(lim)0(xfbfxfafbxax， 当ax时 ，)(xf也称其存在，记为)0(af);若f在),(ba上递减，函数f在),(ba上的值域为)0(),0(afbf。在闭区间,ba上也有相应的结论。2、求函数xxy863的值域。此题可以看作vuy和63xu，xv8的复合函数，显然函数63x

16、u为单调递增函数，易验证xv8亦是单调递增函数，故函数xxy863也是单调递增函数。而此函数的定义域为8,2。当2x时，y取得最小值10。当8x时，y取得最大值30。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 故而原函数的值域为30,10。十、利用导数求函数的值域（若函数f 在（ a、 b）内可导，可以利用导数求得f在（ a、b）内的极值，然后再计算f在 a，b 点的极限值。从而求得f 的值域）求函数xxxf3)(3在)1

17、,5(内的值域。分 析 ： 显 然f在)3 ,5(可 导 ， 且33)(2xxf。 由0)(xf得f的 极 值 点 为1, 1 xx。,2)1(f2)01(f。140)05(f。所以，函数f的值域为)140,2(。十一、 最值法 （对于闭区间 a，b上的连续函数y=f(x) ，可求出 y=f(x) 在区间 a，b内的极值，并与边界值f(a)、f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y 的值域）已知 (2x2-x-3)/(3x2+x+1) 0，且满足x+y=1 ，求函数z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围， 将目标函数消元、 配方，可求出函数的值域。解： 3x2+

18、x+1 0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3 0 同解，解之得1x3/2，又x+y=1 ，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1 x3/2)，z=-(x-2)2+4 且 x -1，3/2，函数 z 在区间 -1，3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z=5；当 x=3/2 时， z=15/4。函数 z 的值域为 z 5z15/4 。点评： 本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。十二、构造法 （根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）求函数 y=x2+4x+5+ x2-4x+8 的值

19、域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)= (x+2)2+1+ (2-x)2+22 作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD ，再切割成12 个单位正方形。设HK=x ，则 ek=2-x，KF=2+x ，AK= (2-x)2+22 ，KC=(x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5 。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5 。点评：对于形如函数y= x2+a (c-x)2+b(a ，b，c 均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。十三、比例法 （对于一类

20、含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域）已知 x， yR，且 3x-4y-5=0 ，求函数 z=x2+y2 的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得， (x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数 ) x=3+4k ，y=1+3k ，z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 当 k=3/5 时， x=3/5，y=4/5 时， zmin=1 。函数的值域为z|z1 。点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -