2022年高一数学求函数的定义域与值域的常用方法 .pdf

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1、1、函数的有关概念（1）函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对

2、应关系和值域（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b (a 0) y=ax2+bx+c (a0) y=xk(k0) （三）1、如何求函数的定义域例 1：已知函数f (x) = 3x+21x（1）求函数的定义域；（2）求 f（ 3） ，f (32)的值；（3）当 a 0 时，求 f（a）,f(a1)的值 . 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式解：时间段授课内容一函数

3、定义域二函数值域三函数解析式四例题讲解与小结、练习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例 2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域 . 分析：小结几类函数的定义域：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R . （2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于

4、零的实数的集合 . （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. 2、如何判断两个函数是否为同一函数例 3、下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y = (x)2 ; （2）y = (33x) ; （3）y =2x; （4）y=xx2分析：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。（2）判断下

5、列函数f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = 2x f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x（3）求下列函数的定义域1( )|f xxx1( )11f xx f(x) = 1x+x2

6、1 f(x) = 24xx( )131f xxx一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x） 的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和 f（ x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换 x（或 1/x） ，构造出

7、另一个方程，解此方程组，消去f（ x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（ x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系， 列出等式，解出y 的表达式； 要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - （二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析

8、式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数yfg（x） 的定义域的求解，应先由yf（u）求出 u 的范围，即g（x）的范围，再从中解出x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时

9、有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法： 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 1. 已知2211()xxxfxx，试求( )f x。解：说明： 要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 2. （1）已知21( )2()345f xfxxx，试求( )fx；（2）已知2( )2 ()345f xfxxx，试求( )f x；解：说明： 本题虽然没有给出定义域，但由于变形

10、过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例 4. 求下列函数的解析式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - （1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(, 2)0(xxfxff，求)(xf；（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf；（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf；（4）已知3)(2)(3xxfxf，求)(xf。【思路分析】【题意分析】（1）由已知)(

11、xf是二次函数，所以可设)0()(2acbxaxxf，设法求出cba,即可。（2）若能将xx2适当变形，用1x的式子表示就容易解决了。（3）设xx1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得)(xf有意义，用x代替x建立关于)(xf，)(xf的两个方程就行了【题后思考】 求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2acbxaxy， 顶点式khxay2)(和标根式)(21xxxxay的选择；（2）已知)(xgf求)(xf的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3） ；（3）函数方

12、程问题，需建立关于)(xf的方程组，如本例（4） 。若函数方程中同时出现)(xf，)1(xf，则一般将式中的x用x1代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3. 求324xyxx的定义域。解： 由题意知：204xx，从而解得：x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x 2 且 x 4 。例 2. 求下列函数的定义域：（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(【思路分析】【题意分析】 求函

13、数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【题后思考】 求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时， 那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集， 利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”

14、连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 4. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 6 17 解： 1，2，3， 4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得xI1，又由 g（x）定义域可以解得xI2.则 I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2( )3,( ),( )43xf xxg xyf g xxx例8 已知求的定义域 .解：2( )33( )3343xf xxxg xxx由例 9. 若函数 f（ 2x）的定义域是

15、1，1 ，求 f（log2x）的定义域。解：三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11. 求函数231xyx的值域。解：说明： 这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x24x 的值域。解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - -

16、- - - - - - 说明： 这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的， 对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x） bf（x） c。3、判别式法例 13. 求函数2223456xxyxx的值域。解：说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点： 第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域， 那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二， 用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域

17、，故0 。4、单调性法例 14. 求函数23yx，x 4，5的值域。解：5、换元法例 15. 求函数24 1yxx的值域。解：例 3. 求下列函数的值域：（1）5 ,4 ,3,2, 1,12xxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - （2）1xy（3）2211xxy（4）)25( , 322xxxy【思路分析】【题意分析】 求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念， 即对于定义域A上的函数)( xfy，其值域就是指集合Ax),x(fyyC；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】【题后思考】 求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -