2022年高三数学典型例题集合与逻辑 .pdf

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1、高三数学典型例题二集合与逻辑 (文) 例 1 已知集合 M=y|y=x21,xR,N=y|y=x 1,xR，则 M N= （）A（ 0，1），（ 1，2）B （0，1），（ 1，2） Cy|y=1, 或 y=2 Dy|y 1分析 ：集合 M、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对 (x,y)，因此 M、N 分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求M N 即求两函数值域的交集例 2 若 P=y|y=x2,xR ，Q=y|y=x21,xR ，则 PQ 等于（）APBQ CD不知道分析 ：类似上题知P 集合是 y=x2（xR）的值域集合，同样Q 集合是 y= x21（xR

2、）的值域集合，这样PQ 意义就明确了例 3 若 P=y|y=x2,xR，Q=(x ，y)|y=x2,xR，则必有（）APQ=BPQ CP=QDPQ 分析 ： 有的同学一接触此题马上得到结论P=Q， 这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q 集合是 y=x2,xR 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物例 4 给出下面各种关系：0000 aa =00 00 其中正确的是（）ABCD分析 :依次判断每个关系是否正确,可运用排除法筛选. 例 5 若 A=2 ，4,a32a2a7,B=1,a 1,a22a2,(a23a8)

3、,a3a23a7，且 AB=2 ，5，试求实数a的值例 6 已知集合 A=a,a b,a2b，B=a,ac,ac2 若 A=B ，求 c 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 分析 ：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式例 7 已知集合 A=x|x23x2=0,B=x|x2axa1=0 ，且 AB=A ，则 a的值为_

4、分析 ：由 AB=A而推出 B 有四种可能，进而求出a 的值例 8 设集合 A=a|a=3n 2,nZ ，集合 B=b|b=3k 1,kZ ，试判断集合A、B 的关系例 9 设集合 A=a|a=n21,nN*，集合 B=b|b=k24k5,kN*，试证： AB例 10 已知 A=x|x23x2=0,B=x|ax 2=0 且 AB=A ，求实数 a 组成的集合 C例 11 已知集合 A=x|x2(m2)x1=0,xR，若 AR= ，则实数 m 的取值范围是_分析 ：从方程观点看，集合A 是关于 x 的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由AR= 可知该方

5、程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围例 12 已知集合 A=x|x23x100 ，集合 B=x|p 1x2p 1若 BA，求实数p 的取值范围例 13 已知集合有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A例 14 设 a,bR,A=(x,y)|x=n,y=na b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3(m25),mZ,C=(x,y)|x2y2144 是平面 xoy 内的点集，问是否存在实数a和 b 使得(1)A B ,(2)(a,b)C 同时成立？分析 ： 解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来例 15 设全集 U=x

6、|0 x0 ，求 AB 和 AB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 例 17 设 A=x| 2x1 ，B=x|x2axb0 ，已知 AB=x|x 2，AB=x|1x3，试求 a、b 的值分析 ：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答例 18 已知集合 A=x|x24mx2m6=0,xR ， 若 AR， 求实数 m 的取值范围分析 ：集合 A 是方程 x24mx2m6=0的实数解组成的非空集合，AR意味着方程的根有：

7、（1）两负根，（ 2）一负根一零根，（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦， 上述三种情况虽可概括为方程的较小根, 但在目前的知识范围内求解存在困难，如果考虑题设AR的反面： AR= ，则可先求方程的两根x1、x2均非负时 m 的取值范围用补集思想求解尤为简便例 19 命题甲：方程x2mx1=0 有两个相异负根；命题乙：方程4x24(m2)x1=0 无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围分析 ：使命题甲成立的m 的集合为 A，使命题乙成立的m 的集合为 B，有且只有一个命题成立是求ACRB 与 CRAB 的并集例 1 解：M=y|y=x21,x R=y|y 1，N=y|y=x

8、 1,x R=y|y RM N=y|y 1y|(yR)=y|y1, 应选 D点评：本题求M N ，经常发生解方程组得从而选 B 的错误， 这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M 、N的元素是数而不是点，因此M 、N是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的例 2解：事实上， P、Q 中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x21的值域，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

9、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 由 P=y|y 0,Q=y|y1 ，知 QP，即 PQ=Q 应选 B例 3 解：正确解法应为：P表示函数 y=x2的值域， Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集， 因此 PQ= 应选 A例 4解：应为00 ；正确，排除B，再看哪个正确，由于是0 的真子集，因此正确应选 A点评：（ 1）0 与0 只有一种关系： 00 ； R 与R 也只有一种关系：R R ；与0 也只有一种关系：0 （2）准确的理解、正确地运用集合概念是解好此题的保证例 5 解： AB=2，5

10、，a32a2a7=5, 由此求得 a=2 或 a=1至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A=2,4,5，集合 B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当 a=1 时， a22a2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1当 a=1 时，B=1,0,5,2,4，与 AB=2，5 相矛盾，故又舍去a=1当 a=2 时， A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时 AB=2，5，满足题设故 a=2 为所求例 6 解：分两种情况进行讨论（1）若 ab=ac 且 a2b=ac2，消去 b 得：aac22ac=0， a=0 时，集合 B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，

11、故a0c22c1=0，即 c=1，但 c=1 时， B中的三元素又相同，此时无解（2）若 ab=ac2且 a2b=ac，消去 b 得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c 1)(2c 1)=0，又 c1，故 c=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正例 7 解： AB=A ， A=1 ，2， B= 或 B=1 或 B=2 或 B

12、=1，2若 B= ，则令 0 得 aR且 a2，把 x=1 代入方程得aR，把 x=2 代入方程得a=3，综上 a 的值为 2 或 3点评：本题不能直接写出B=1，a1，因为 a1 可能等于 1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况例 8 解：任设 aA，则 a=3n2=3(n1) 1(n Z)， n Z, n1Z a B,故又任设 b B，则 b=3k1=3(k 1)2(k Z), k Z, k1Z b A，故由、知A=B 点评：这里说明aB或 bA的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理例 9 证明：任设 aA，名师资料总结 - -

13、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 则 a=n21=(n 2)24(n 2) 5(nN*), n N*， n 2N* a B故显然，而由B=b|b=k24k5,k N*=b|b=(k2)21, k N* 知 1B，于是 AB由、得 AB点评：（ 1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义（3）两个集合A、B 相等，之所以不以“A、B 所含元素完全相同”来定义，而是用子集来

14、定义，显然比较科学，它具有可操作性，用起来很方便例 10 解：由 x23x2=0得 x=1 或 2当 x=1 时， a=2，当 x=2 时，a=1这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满足AB=A ，当 a=0 时， B= ，符合题设，应补上，故正确答案为C=0，1，2例 11 解：由 AR= 又方程 x2(m2)x 1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即或=(m2)240解得 m 0 或4m 4点评：此题容易发生的错误是由AR= 只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为 1，因为方程无零根），而把A= 漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言例

15、 12 解：由 x23x100 得2x5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 欲使 BA，只须 p 的取值范围是 3p3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即 B= 时，符合题设应有：当B 时，即 p12p1p2由 BA 得： 2p1 且 2p15由 3p3 2 p3 当 B= 时，即 p12p1p2由、得： p3点评：从以上解答应看到：解决有关AB= 、AB= ，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏

16、解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题例 13 解：集合 B表示方程即方程 x2xa2=0有等根时 a 的取值集合方程有等根的条件是=( 1)24( a2)=0, 解得 a=因此 A= 以上解法对吗？不难看出，将 A 译为方程有等根时a 的取值集合是不准确的转译时忽视了x220，即这一隐含条件可见，与方程等价的应是混合组：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - （）因此，在讨论方程有唯一实根时，须照顾到：由于方

17、程为分式方程，可能有增根，当条件的二实根中有一个是方程的增根或时，方程也只有一个实根，正确解法是：方程等价于混合组（）（1）当有等根时，同上解得a=，此时，适合；（2）当有两个不等的实根时，由0 可得 a当为的增根时，由得；当为的增根时，由得 由（ 1）、（ 2）得点评：（1）集合语言转译成其它语言，转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败（2）集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言，利用数形结合解题根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言例 14 解： AB成立即 nab=3n215又(a,b) Ca2b2144名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

18、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 若满足和的a,b 存在，则关于 a,b 的方程组有解从而在直角坐标系aob 中，直线 l :nab3(n25)=0 与 a2b2144 表示的区域应有公共点于是圆心， O （ 0，0）到直线 l 的距离不大于半径12，即：, 即 n2=3 而 nZ，这是不可能的故满足，的a，b 不存在点评：（ 1）进行各种语言形态间的互译，不仅有利于对数学知识的理解和运用，还可以有利于利用数学知识解答问题（2）本题是一个探索性问题，要注意积

19、累探索性问题的解法及有关经验（3）本题可在学完直线及圆有关知识后回过头来学习例 15 解答： A=1，3，5，7 ，B=2，3，4，6，8例 16 解： A=x|x25x60=x| 6x1 ，B=x|x23x0=x|x0 如图所示， A B=x| 6x1x|x0=R，AB=x| 6x1x|x0=x| 6x 3，或 0 x1点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - -

20、- - - - 例 17 解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合 x| 1x 2 ， 且 AB=x|12使命题乙成立的条件是：2=16(m2)2160，1m 3 集合 B=m|1m2m|m1 或 m 3=m|m3 ；若为（ 2），则有： BCRA=m|1m3m|m2=m|1m2, 综合（ 1）、（ 2）可知所求m的取值范围是 m|10 和 a2x2b2xc20的解集分别为集合M 和 N，那么 “” 是“ M=N” 的什么条件？分析：利用二次函数与一元二次不等式的关系.如果，则 “ M=N” ，如果则“ M N” ，“”“ M=N” ；反之若 M=N=，即说明

21、二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零。因此，“ M=N”“” ，因此既非充分也非必要条件。答案：即非充分又非必要条件2、设 a,b是两个实数，集合A=(x,y)|x=n,y=na b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m215,mZ,C=(x,y)|x2y2144 是 xoy 平面内的点集， 讨论是否存在a 与 b，使是 AB和(a,b)C 同时成立？策略：本题是一道探索性题，可运用反证法进行解答. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

22、1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解答：解法 1：假设存在实数a 和 b，使得至少有一组整数解，由此可知，点P（a,b ）在直线 nxy(3n215)=0 上.原点 O（0，0）到直线 nxy(3n215)=0 的距离 : 当且仅当即 n2=3 时取等号 .但 nZ， n23 ，于是 d12. 由此知 O（0，0）、P （a、b）两点间的距离即 a2b2144.这与已知 “ （a,b）C ” 相矛盾，同时满足两个条件的实数a与 b 是不存在的 . 解法 2：假设存在实数a 与 b，同时满足题设中的两个条件，即有：从中消去 b 得 a2(3n215na)2144,即： （

23、1n2)a22n（3n215）a（ 3n215)21440.此时判别式 =4n2（3n215）24（1n2）（3n215)2144 =36（ n46n29）=36（n23)2nZ,0, 上述关于 a 的二次不等式无解， 因此同时满足题意中两个条件的实数a 与 b 是不存在的 . 总结：解法1 是利用解析几何中点（即圆心）到直线的距离这一知识来解的，而解法2是利用方程（不等式）的思想方法来讨论的，解法1“入门”较难，但解题中运算比较简单，解法2 容易想到，但具体运算过程较麻烦，所以两种方法各有利弊.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -