2022年高一数学指数函数与对数函数教案 .pdf

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1、一. 教学内容：指数函数与对数函数二. 学习目标：1、理解指数函数和对数函数的要领，掌握指数函数和对数函数的图象和性质，掌握指数函数和对数函数互为反函数的结论；理解反函数的概念，掌握函数与它的反函数在定义域、值域及图象上的关系；2、理解指数方程和对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程。3、掌握数学方法：分类讨论，数形结合，换元法，等价转换。三. 知识要点：1. 指数函数 yax与对数函数yalogx的比较：定义图象定义域值域性质奇偶性单调性过定点值的分布最值y ax（ a0且 a1）叫指数函数a1（，）（0，）非奇非偶增函数（0，1）即 a01 x0 时 y1；0 x1 时0y1 无最值

2、0a0时0y1；0 x1 yalog（a0 且a1）叫对数函数a1Oyx（0， ）（ ， ）非奇非偶增函数（1，0）即 loga10 x1 时 y0；0 x1 时y0 无最值0a1 时 y0；0 x0 对称性函数 yax 与 yax （a0 且 a1）关于 y 轴对称；函数 yax与 ylogax 关于 yx 对称函数 ylogax 与 y1logax（a0且 a1）关于 x 轴对称2. 记住常见指数函数的图形及相互关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9

3、页 - - - - - - - - - 3. 记住常见对数函数的图形及相互关系4. 几个注意点（1）函数 yax与对数函数ylogax（ a0，a1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1 比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。【典型例题】例 1. （1）下图是指数函数（1）yax， （2

4、）ybx， （3）ycx， （4）ydx的图象，则a、b、c、d与 1 的大小关系是（）yx1O(4)(3)(2)(1)A. ab1cd B. ba1dcC. 1 abcd D. ab1dc剖析： 可先分两类， 即（3） （4）的底数一定大于1， （1） （2）的底数小于1，然后再从 （3）（4）中比较c、d的大小，从（ 1） （2）中比较a、b的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解法一： 当指数函数底数大于

5、1 时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴. 得ba1dc。故选 B。解法二： 令x1，由图知c1d1a1b1，ba1dc。（2）已知 2xx2（41）x2，求函数y2x2 x的值域。解： 2xx22 2（x2），x2x42x，即x23x40，得 4x1。又y2x2x是 4，1上的增函数，2424y221。故所求函数y的值域是16255，23 。（3）要使函数y12x4xa在x（， 1）上y0 恒成立，求a的取值范围。解： 由题意，得12x4xa0 在x（， 1）上恒成立，即axx421在x（， 1）上恒成立。又x

6、x421（21）2x（21）x （21）x21241，当x（， 1）时值域为（，43） ，a43。评述： 将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。例 2.已知f（x）log313（x 1）2 ，求f（x）的值域及单调区间。解： 真数 3（x 1）23，log313（x1）2log3131，即f（x）的值域是 1， 。又 3（x1）20，得 13x13，x（13，1）时， 3（x1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x 1，13时，f（x）单调递增。例 3. 若f（x）x2xb，且f（log2a）b，log2f（a） 2（a1） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 求f（log2x）的最小值及对应的x值；x取何值时，f（log2x）f（1）且 log2f（x） f（1）？解： f（x）x2xb，f（log2a） log22alog2ab。由已知有 log22alog2abb，（ log2a1）log2a 0。a1，log2a1，a2。又 log2f（a） 2，f（a） 4。a2ab4，b4a2a2。故f（x）x2x2，从而f（log2x）log22xlog2x2（ log2x21）

8、247。当 log2x21即x2时，f（log2x）有最小值47。由题意2)2(log22loglog22222xxxx21102xxx或0 x1。例 4. 设f（x） log2xx11，F（x）x21f（x） 。（1）试判断函数F（x）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；（2）若f（x）的反函数为f1（x） ，证明：对任意的自然数n（n3） ，都有f1（n）1nn；（3）若F（x）的反函数为F1（x） ，证明：方程F 1（x） 0 有惟一解。解： （1）由xx110，且 2x0 得F（x）的定义域为（1，1） ，设 1x1x21，则F（x2）F（x1）（122121xx）（1122221

9、1log11logxxxx）)1)(1()1)(1(log)2)(2(212122112xxxxxxxx，x2x10，2x10，2x20，上式第 2 项中对数的真数大于1。因此F（x2）F（x1）0，F（x2）F（x1） ，F（x）在（ 1，1）上是增函数。（2）证明：由yf（x）xx11log2得： 2y1212,11yyxxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - f1（x）1212xx，f（x）的值域为R，f1（

10、x）的定义域为R。当n3 时，f1（n）1221111221112121nnnnnnnnnn。（3）证明F（0）21，F1（21） 0，x21是F1（x） 0 的一个根。假设F 1（x） 0 还有一个解x0（x021） ，则F1（x0）0，于是F（0）x0（x021） 。这是不可能的，故F1（x）0 有惟一解。本讲涉及的主要数学思想方法1、能根据指数函数与对数函数的图象和性质进行值的大小比较，培养数形结合的意识，用联系的观点分析问题。2、用类比的方法从指数函数的性质，归纳出对数函数的性质，理解指数函数与对数函数的简单应用模型。3、要注意分类讨论思想的应用。【模拟试题】（答题时间： 40分钟）一

11、、选择题1. 下列函数中值域为正实数的是（）A. y 5x B. y（31）1x C. y1)21(xD. yx21*2、 已知( )fx是周期为 2 的奇函数，当01x时，设( )lg.f xx63(),(),52afbf5( ),2cf则（）A. abc B. bac C. cba D. cab3、已知(3)4 ,1( )log,1aa xa xf xx x是（，）上的增函数， 那么a的取值范围是 （）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - -

12、 - - - - - - A. （1，）B. （，3）C. 3,53D. （1，3）4、已知 f （x） ax，g（x） logax（a0，a1） ，若 f （3） g（3）0 且a1） ， （x（ 0，） ，若x1，x2（ 0，），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 判断21f（x1）f（x2） 与f（221xx）的大小，并加以证明。*12 、已知 a0，a1，.11log2xxaaxfa（1）当 f （x）的定义

13、域为（1，1）时，解关于m的不等式 f （ 1m ） f （1 m2）0；（2）若 f （x）4 恰在（， 2）上取负值，求a的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【试题答案】1、解析：y（31）x的值域是正实数，而1xR，y（31）1x的值域是正实数。答案： B 2、D 3、 D 4、 D 5、 D 6、解析： lgalgb0ab1。g（x） logbx loga1xlogax。f（x）与g（x）的图象关于yx

14、对称。故选B 7、解析：方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象，由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解。答案： 1 8、 1m1时，有 logax1x2loga（221xx）2，21logax1x2loga（221xx） ，21（logax1 logax2） loga221xx，即21f（x1）f（x2） f（221xx） （当且仅当x1x2时取“”号）当 0a1 时，有 logax1x2loga（221xx）2，21（logax1logax2） loga221xx，即21f（x1）f（x2） f（221xx） （当且仅当x1x2时取“”号） 。名师资

15、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12、解：（1）令 t logax，可得 f （t ）ttaaaa12为奇函数xfxfxf21212111,22121xxxxxxaaaaaaxfxfxx则设当 a1 时01,221aaaxx；当 0a1 时01,221aaaxx为增函数021xfxf21111m-11-1m-11-1)-f(mm)-f(10)m-f(1m)-f(12222mmm（2）由题意，当042,424,2,ffxfx且3241222aaaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -