2022年高三数学空间向量专题复习附答案 2.pdf

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1、- 1 - A B C A1 B1 C1 M y z A B C D E F x y z M N A1 x D1 B1 A D B C C1 y z EF一、利用向量处理平行与垂直问题例 1、 在直三棱柱111CBAABC中，090ACB, 030BAC,MAABC,6, 11是1CC得中点。求证：AMBA1练习： 棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 在棱 DD1上是否存在点 P 使 B1D面 PAC？例 2 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM ,分别在对角线AEBD,上，且AEANBDBM31,31, 求证：/MN平面CDE练习 1、在正方体1111D

2、CBAABCD中,E,F 分别是 BB1,CD中点，求证： D1F平面ADE ABCDA1B1C1D1Pxzy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2 - A B C D E P x y z F A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E1F1HGA1 x D1 B1 A D B C C1 y z E1FA1 D1 B1 D C C1 z 2 、 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥PAB

3、CD中 , 60ABC，,2,aPDPBaACPA点 E在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC上是否存在一点F, 使 BF平面 AEC?证明你的结论 . 二、利用空间向量求空间的角的问题例 1 在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在 A1B1,C1D1上，且 E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求 BE1与 DF1所成的角的大小。例 2 在正方体1111DCBAABCD中, F 分别是 BC的中点，点 E在 D1C1上, 且11ED41D1C1,试求直线 E1F 与平面 D1AC所成角的大小例 3 在正方体1111DCBAABCD中, 求二面角11CBD

4、A的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 3 - A1 x D1 B1 A D B C C1 y z EFzyxC1B1A1ACBCADBOEEFDCBA例 4 已知 E,F分别是正方体1111DCBAABCD的棱 BC 和 CD 的中点，求：（1）A1D 与 EF 所成角的大小；（2）A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角BBDC11的大小。三、利用空间向量求空间的距离的问题例 1 直三棱柱

5、ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=3， 底面 ABC 中， C=90 ， AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。例 2 如图， 四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点，2BDCDCBCA2ADAB（I）求证： AO平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（）求证： AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离

6、。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4 - A B C A1 B1 C1 M y z A B C D E F x y z M N 空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）例 1、 在直三棱柱111CBAABC中，090ACB, 030BAC,MAABC,6, 11是1CC得中点。求证：AMBA1证明：如图，建立空间坐标系)26,0,0(),0,0,3(),0,1 ,0()

7、,6,0,3(1MABA)6,1 ,3(),26,0,3(1BAAM01BAAM练习： 棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 在棱 DD1上是否存在点 P 使 B1D面 PAC？解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 P（0，0，z） ，APuuu r=(-a,0,z)，ACuuu r=(-a,a,0)，1DBuuuu r=(a,a,a)，B1D 面PAC ， 01APDB，01ACDBa2+az=0z=a，即点 P 与 D1重合点 P 与 D1重合时， DB1面 P AC例 2 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM ,分别在对角线AEBD,上，且

8、AEANBDBM31,31, 求证：/MN平面CDE证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为 3a,3b,3c),0,2(caBMABNANM又平面 CDE 的一个法向量)0,3,0(bAD由0ADNM得到ADNM因为 MN 不在平面 CDE 内ABCDA1B1C1D1Pxzy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 5 - A B C D E P x y z F A1 x D1 B1 A D B C

9、C1 y z EF所以 NM/平面 CDE 练习 1、在正方体1111DCBAABCD中,E,F 分别是 BB1,CD中点，求证： D1F平面ADE 证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz )0,0, 1(DA,)21, , 1 , 1(DE因为) 1,21, 0(1FD所以0, 011DEFDDAFDDEFDDAFD11,DDADE所以FD1平面ADE2 、 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥PABCD中 , 60ABC，,2,aPDPBaACPA点 E在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC上是否存在一点F, 使 BF平面 AEC?证明你的结论 .

10、 解答：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(, ),0(, )0,2,23(aaEaaDaaB), 0, 0(, )0,2,23(aPaaC),2,23(aaaCP假设存在点 FCPCF),2,23(aaa。aaaCFBCBF,)21( ,23又)3,32, 0(aaAE，)0,2,23(aaAC则必存在实数21,使得AEACBF21，把以上向量得坐标形式代入得2321213322)21(2323212211aaaaaaa即有AEACBF2321所以，在棱 PC 存在点 F，即 PC 中点，能够使 BF平面 AEC。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

11、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 6 - A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E1F1HGA1 x D1 B1 A D B C C1 y z E1FA1 x D1 B1 A D B C C1 y z E二、利用空间向量求空间的角的问题例 1 在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在 A1B1,C1D1上，且 E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求 BE1与 DF1所成的角的大小。解：设正方体棱长为4，以1,DDDCDA为正交基底，建立如

12、图所示空间坐标系xyzD)4, 1,0(1BE,)4, 1 ,0(1DF，1BE1DF15 1715|,cos111111DFBEDFBEDFBE例 2 在正方体1111DCBAABCD中, F 分别是 BC的中点，点 E在 D1C1上, 且11ED41D1C1,试求直线 E1F 与平面 D1AC所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D- xyz 1DB为 D1AC 平面的法向量，)1 , 1, 1(1DB) 1,43,21(1FE8787,cos11FEDB所以直线 E1F 与平面 D1AC所成角的正弦值为8787例 3 在正方体1111DCB

13、AABCD中, 求二面角11CBDA的大小。解： 求出平面BDA1与平面BDC1的法向量) 1 , 1 , 1(, )1 , 1, 1(21nn31|,cos212121nnnnnn例 4 已知 E,F分别是正方体1111DCBAABCD的棱 BC 和 CD 的中点，求：（1）A1D 与 EF 所成角的大小；（2）A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角BBDC11的大小。解：设正方体棱长为1，以1,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

14、 - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 7 - A1 x D1 B1 A D B C C1 y z EFzyxC1B1A1ACBCADBOED- xyz （1）)1, 0, 1(1DA)0,21,21(EF21|,cos111EFDAEFDAEFDAA1D 与 EF 所成角是060（2）) 1,21, 1(1FA,)0, 1, 0(AB31|,cos111ABFAABFAABFA（3）)1 , 1 , 1(1AC,)0, 1 , 1(AC，36|,cos111ACACACACACAC二面角BBDC11的正弦值为36三、利用空间向量求空间的距离的问题例

15、1 直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=3， 底面 ABC 中， C=90 ， AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0） ，B（0,1,0） ，C（0,0,0）A1（1,0, 3 ） ，B1（0,1, 3 ） ，C1（0,0, 3 ）BA1=（1,1, 3 ） ，CA1=（1,0,3 ）11AB=（1,1,0）设平面A1BC的一个法向量为),(zyxn，则0011CAnBAn0303zxzyx103zyx即) 1 ,0,3(n所以，点 B1到平面 A1BC 的距离23|11nBAnd例 2 如图

16、， 四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点，2BDCDCBCA2ADAB（I）求证： AO平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 8 - EFDCBA（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。解： （I）略（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),( 1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1

17、),(,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACDu u u ruuu r.2cos,4BACDBA CDBA CDuu u r uuu ru uu r uuu ruu u r uuu r异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为2arccos.4（III ）解：设平面 ACD 的法向量为( , ),nx y zr则.( , , ).( 1,0,1)0,.( , , ).(0,3,1)0,n ADx y zn ACx y zr uuu rr uuu r0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)nr是平面 ACD 的一个法向量，又13(,0),22ECuuu r点 E 到平面 A

18、CD 的距离.321.77EC nhnuuu r rr例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（）求证： AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离。解（）略（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图 . AE面 BCE，BE面 BCE，BEAE，在ABOABAEBRt为中, 2,的中点，).2, 1 ,0(),0, 0, 1(),0,

19、 1,0(1CEAOE).2,2, 0(),0, 1 , 1(ACAE设平面 AEC 的一个法向量为),(zyxn，则.022, 0,0,0 xyyxnACnAE即解得,xzxy令, 1x得) 1 , 1, 1(n是平面 AEC 的一个法向量 . xCABODyzE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 9 - 又平面 BAC 的一个法向量为)0, 0, 1 (m，.3331|,),cos(nmnmnm二面角 BACE 的大小为.33arccos（III ）AD/z 轴，AD=2，)2, 0, 0(AD，点 D 到平面 ACE 的距离.33232|nnADd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -