2022年高三总复习函数图像变换及综合运用 .pdf

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1、高三总复习函数图象变换及综合运用重点难点分析：函数的图象是函数关系的一种表示，它是从 “ 形” 的方面刻画函数的变化规律。通过函数图象，可以形象地反映函数的性质，利用函数图象既有助于记忆各类初等函数的性质，又可以运用数形结合的方法去解决某些问题。在中学阶段，画函数图象有两种基本方法，一是描点法，这种方法要与研究函数性质结合起来，切忌画图的随意性；二是图象变换法，它是把常见函数图象与图象变换的知识结合起来，可以研究各种不同函数的性质。在这一部分，首先应熟悉各种变换规则，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，达到熟练掌握的目的。例题讲解：例 1 若 f(x)的图象过 (0,1)点，则

2、 f-1(x)的图象过 _ 点， f(x+1) 的图象过 _ 点， f-1(x+1)的图象过 _ 点。分析： 由于 f(x)的图象与f-1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以f-1(x)的图象过 (1,0)点。f(x+1) 的图象是由f(x) 的图象向左平移一个单位得到，而f(x) 的图象过 (0,1)点，所以f(x+1)的图象过(-1,1)点。f-1(x+1) 的图象是由f-1(x)的图象向左平移一个单位得到，而 f-1(x)的图象过 (1,0) 点， 所以 f-1(x+1)图象过 (0,0)点。注意： f(x)与 f-1(x)图象关于y=x 对称，而f(x+1) 与 f-1(x+1)的图

3、象并不关于y=x 对称，事实上它们不是函数与反函数的关系。读者可以按照上面所说的平移、对称的过程作图，可发现它们是关于 y=x+1 对称的。例 21）把函数y=(x-2)2+2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为 _ 。2）将函数y=2x的图象向 _ 平移 _ 个单位，再作关于直线y=x 对称的图象可得出函数y=log2(x+1)的图象。分析： 关于函数图象变换经常会考察这两个内容，给出函数解析式说明变换过程，或给出变换过程写解析式。1)中，把图象左移一个单位，解析式变为y=(x+1-2)2+2=(x-1)2+2,向上平移一个单位，解析式变为y=(x-1)2

4、+2+1=(x-1)2+3. 2）中，先逆向考虑，y=log2(x+1)图象作关于y=x 对称的图象得原函数为y=2x-1，因而应将y=2x的图象向下平移一个单位得到。例 3 函数 y=21-x与 y=21+x的图象关于 _ 对称。分析： （一）把它们都看成是由y=2x作图象变换而得到的。y=2xy=2x+1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - y=2xy=2-xy=2-(x-1)=21-x. 从而 y=21+x与

5、 y=21-x图象关于y 轴对称。（二）不妨设f(x)=21+x则 f(-x)=21-x. 而 f(x) 与 f(-x) 图象关于 y 轴对称，因而y=21+x图象与 y=21-x图象关于y 轴对称。注意： 在横轴上的平移，对称，翻折，伸缩等变换，都是相对于自变量x 而言，即要分析前后 x 发生了什么样的变化，来确定图形的变化。如y=f(2x)y=f2(x-1) ，只能是自变量x 减去 1，又y=f(x+1)y=f(-x+1) ，负号只能加在自变量x 上。上题中，由y=2-x到 y=2-x+1，并非向左平移一个单位，“+1”仅仅是 “ -x” 加上 1，对于自变量x 而言，发生的变化是由 x

6、变成 x-1，因而是向右平移一个单位。例 4 函数 y=x2-3|x|+(x R)的单调区间有_ 。分析： 设 f(x)=x2-3x+,则 y=x2-3|x|+=(|x|)2-3|x|+=f(|x|), 由翻折变换知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 因而，函数的增区间有-， 0和 ,+ ) ；减区间有(-, -和0, . 注意： 这两个增区间和减区间不能合并，事实上，y=x2-3|x|+在 -，0 ,+ ) 不具有

7、单调性。例 5 已知函数 f(x) 的图象如图，求作y=f-1(-x+1) 的图象。分析： y=f(x) y=f-1(x) y=f-1(-x) y=f-1-(x-1)=f-1(1-x). 注意： 不能先得到y=f(1-x) 再作关于y=x 的对称图象，因为y=f(1-x) 与 y=f-1(1-x) 不是互为反函数的关系。例 6 作函数 y=的图象。分析： 必须选择好变换的顺序。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - y=

8、y=y=注意： 在第二步中， 翻折变换是对x 而言， 因而绝对值应加在x 上。本题不能先翻折再平移，因为y=y=y=, 所得并非所求图象。例 7 试讨论方程|x2-4x+3|=a 的解的个数 (a R). 分析： 本题采用数形结合的方式。把方程的解的个数看成函数y=|x2-4x+3| 和函数 y=a 的交点个数。y=|x2-4x+3| 的图象是 y=x2-4x+3 的图象保留x 轴以上部分，将x 轴以下部分沿x 轴翻折上来形成的图象，而 y=a 是一条垂直于y 轴的直线，如图，由图象可知， a1 时，方程有两个实数解；a=1 时，方程有三个实数解；0a1 时，方程有四个实数解。例 8 给定实数

9、 a，a0 且 a1，设函数 y=(xR,x). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 求证： 这个函数图象关于直线y=x 成轴对称图形。分析： （一）要证明f(x)的图象关于y=x 对称，需要证明y=f(x) 图象上任意一点P关于 y=x的对称点P仍在y=f(x) 的图象上。因而设P(x0,y0)是 y=f(x) 上任一点，则y0=，而 P(x0,y0)关于直线y=x 的对称点的坐标为 P(y0,x0),只需验证P

10、(y0,x0)也在 y=f(x) 上。 f(y0)=x0, (y0,x0)也在 y=f(x) 的图象上， y=f(x)=(xR,x)图象关于 y=x 对称。（二）联想到函数与反函数图象之间的关系，我们只需证明函数的反函数就是它本身即可。从而由y=()=(1+) x, 0,y, 反解 x，得 x=( y ) 即 f-1(x)=(x )， f(x)=f-1(x),又 y=f(x) 与 y=f-1(x)图象关于y=x 对称， y=f(x)=(x )的图象关于直线y=x 成轴对称图形。注意： 函数与反函数的图象对称是两个函数关于y=x 的对称问题，而本题是要证明函数图象自身关于y=x 对称。名师资料总

11、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 9已知 f(x) 当 xR 时恒满足f(2+x)=f(2-x) ，若方程 f(x)=0 恰有 5 个不同的实数根，求各根之和。分析： 由 f(2+x)=f(2-x) ，则 y=f(x) 图象关于x=2 对称，从而f(x)=0 的解若 2则应成对出现。由题意，作出草图如右， x1+x2+x3+x4+x5=10. 例 10 已知 x1是方程 x+lgx=3 的解， x2是方程x+10 x=3

12、 的解，则x1+x2=_. 分析： 方程化为 lgx=3-x, 10 x=3-x, x1为 y=lgx 与 y=3-x 交点横坐标，x2为 y=10 x与 y=3-x 交点横坐标， y=lgx 与 y=10 x互为反函数，其图象关于y=x 对称，而 y=x 与 y=3-x 垂直，从而，如图中A、B 关于 y=x 对称， A B 中点为 M ，联立， 可求 M(,), 由中点坐标公式， x1+x2=3. 例 11 若 f(x)=|lgx|, 当 abf(c)f(b).则下列不等式中正确的为（）。A、(a-1)(c-1)0B、ac1C、ac=1D、ac1 分析： 作出 y=|lgx| 的图象，可知

13、其单调性，若 1abc，则 f(a)f(b)f(c). 若 0abcf(b)f(c)，与已知矛盾。 a1 而 b 不定，又|lga|lgc|, -lgalgc, lga+lgc=lg(ac)0, ac0,y-0, 从而f-1(x)=()2 (xR). 2)显然 f-1(x)过(0,1)点， 从而 f(x) 过(1,0)点， 而要判断 y=f-1(x)与 y=x 有无交点，只要判断y=f(x)与 y=x 有无交点。作y=f(x) 示意图如右：0 x1 时， f(x)在 (0,+ )单增， f(x) f(1)=0 x, f(x)1 时， f(x)=x. 综上， x0 时， f(x)x, 从而 y=f(x) 与 y=x 无交点，也即y=f-1(x)与 y=x 无交点。3) f-1(x) f-1(0) 即1 ，解得 x0. 从另一角度看，y=f(x) 与 y=f-1(x)具有相同的单调性，y=f(x) 在(0,+ )单增， y=f-1(x) 在 R 上单增， f-1(x) f-1(0), x0 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -