2022年高中数学排列组合问题方法总结 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载高中数学排列组合方法总结1. 分组（堆）问题分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序等分；无序局部等分；( 有序不等分；有序等分；有序局部等分.) 处理问题的原则：若干个不同的元素“等分”为个堆 , 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 若干个不同的元素局部“等分”有个均等堆 , 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. 要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题例 1. 有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？解：要完

2、成发包这件事，可以分为两个步骤：将四项工程分为三“堆” ，有种分法；再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有 3! 6 种给法. 共有 6636 种不同的发包方式 . 2. 插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. 例 2 . 7人排成一排. 甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第 1 步，把除甲乙外的一般人排列：第 2 步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中( 插孔 ) ：几个元素不能相邻时 , 先排一般元素，再让特殊元素插孔. 3. 捆绑法相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然

3、后再进行整体排列. 例 3 . 6人排成一排 . 甲、乙两人必须相邻 , 有多少种不的排法 ? 解： （1）分两步进行： 甲 乙第一步，把甲乙排列 ( 捆绑) ：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时 , 先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列. 4. 消序法 ( 留空法 ) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序. 或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4. 5 个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法 1：将 5 个人依次站成一排，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数甲总站在乙的右侧的有站法总

4、数为211421226C C CA55A有=120种排法26A有=30种插入法120 303600共有种排法22A有2种捆法2 120240共有种排法55A有120种排法55A22A535522543AAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解法 2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出 3个站好，有种站法，留下的两个位置自然给甲乙有 1 种站法甲总站在乙的右侧的有站法总数为4. 消序法 ( 留空法 )

5、 变式：如下图所示 , 有 5 横 8竖构成的方格图 , 从 A到 B只能上行或右行共有多少条不同的路线? BABA解: 如图所示将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格: 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7, , , 顺序一定的排列，有种排法. 其中必有四个 和七个组成! 所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经, 所以从 A到 B共有条不同的路径 . 5. 剪截法（隔板法） ：n个 相同小球放入 m(m n)个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 m段. 例 5. 某校准备参加今年高中数学联赛, 把

6、16 个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班 , 每班至少一个名额 , 则不同的分配方案共有_种. 解： 问题等价于把 16 个相同小球放入4个盒子里 , 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将 16 个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4 个盒子里 . 1 2 3 4 5 6 7 35A33551AA11114747AAA5 14(5 1) (8 1)11CC315455C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - -

7、 - - 学习好资料欢迎下载因此，不同的分配方案共有455 种 . 5. 剪截法：n个 相同小球放入 m(m n)个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 m段. 变式：某校准备参加今年高中数学联赛, 把 16 个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班 , 每班的名额不少于该班的序号数, 则不同的分配方案共有_种. 解： 问题等价于先给2 班 1 个，3班 2 个，4 班 3 个，再把余下的 10 个相同小球放入4个盒子里 ,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将 10 个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4 个盒子里

8、 . 因此，不同的分配方案共有84 种 . 6. 错位法：编号为 1 至 n 的 n个小球放入编号为1 到 n 的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例 6. 编号为 1 至 6的 6 个小球放入编号为1 至 6 的 6个盒子里 , 每个盒子放一个小球 , 其中恰有2 个小球与盒子的编号相同的放法有_种. 解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种, 其余 4 组球与盒子需错位排列有 9 种放法 . 故所求方法有 159135 种. 7. 剔除法：从总体中排除不符合条件

9、的方法数，这是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍. 例 7. 从集合 0,1,2,3,5,7,11中任取 3 个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条. 解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，所得的经过坐标原点的直线有210-18030 条. 小结 : 分堆问题；解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法( 留空法). 3984C2615C37210A126

10、6180AA巩固练习1.将 3封不同的信投入 4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）A.43B.34C.34AD.34C2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24 种B.18 种C.12 种D.6 种B B 3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A.4448412CCC种B.34448412CCC种C.3348412ACC种D.334448412ACCC种A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -