2022年高三数学函数综合题训练 2.pdf

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1、高三函数综合题1. 已知函数f （x）=2x+2-xa（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f （x）=4，求 x 的值；（2）若 a4，求证函数f （x）在 1 ，+）上是增函数；（3）若存在 x0 ，1 ，使得 f （2x） f （x）2成立，求实数a的取值范围2. 已知函数f （x）=x2+（x-1 ）|x-a|（1）若 a=-1，解方程f （x）=1；（2）若函数 f （x）在 R上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若 a1 且不等式f （x）2x-3 对一切实数xR恒成立，求a 的取值范围3. 已知函数f （x）=x|x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数f （ x

2、）的最大值与最小值；（2）若 xa，试求 f （x） +30 的解集；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - （3）当 x1 ，2 时， f （x）2x-2 恒成立，求实数a 的取值范围4. 已知函数f （x）=x2-1 ，g（ x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f （x）|-g （x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a-3 时，求函数h（x）=|f （x）|+g （x）在区间 -2 ，2 上的最

3、大值答案详解1. 已知函数f （x）=2x+2-xa（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f （x）=4，求 x 的值；（2）若 a4，求证函数f （x）在 1 ，+）上是增函数；（3）若存在 x0 ，1 ，使得 f （2x） f （x）2成立，求实数a的取值范围解：（ 1）由 a=-1，f （x）=4，可得 2x-2-x=4，设 2x=t ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 则有 t-t-1=4，即 t2-4t

4、-1=0，解得 t=25， 当 t=2+5时，有 2x=2+5，可得 x=log2(2+5) 当 t=2-5时，有 2x=2-5，此方程无解故所求x 的值为 log2(2+5) （2）设 x1，x21 ，+），且x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(2x1+2- x1a)-(2x2+2- x2a)=(2x1-2x2)+2112222xxxxa=2121222xxxx(2x1+ x2-a) 由 x1x2，可得 2x1 2x2，即 2x1-2x2 0，由 x1，x21 ，+），x1x2，得 x1+x22，故 2x1+x2 4 0，又 a4，故 2x1+x2 a，即 2x1+x2-a 0， 所以

5、f （x1）-f （x2） 0，即 f （x1） f （x2），故函数 f （x）在 1 ，+）上是增函数（3）因为函数f （x）=2x+2-xa，存在 x0 ，1 ，f （ 2x） f （x）2? 22x+2-2xa22x+2a+2-2xa2? 2-2x（ a2-a ）+2a0 设 t=2-2x，由 x0 ，1 ，可得 t 41， 1 ，由存在x0 ，1 使得 f （2x） f （x）2，可得存在t 41， 1 ，使得（ a2-a ）t+2a 0，令 g（t ）=（a2-a ）t+2a 0，故有 g(41)=41(a2-a)+2a 0 或 g（1）=（a2-a ）+2a0，可得 -7 a0即

6、所求a 的取值范围是（-7 ，0）2. 已知函数f （x）=x2+（x-1 ）|x-a|（1）若 a=-1，解方程 f （x）=1；（2）若函数 f （x）在 R上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若 a1 且不等式 f （x）2x-3 对一切实数xR恒成立，求a 的取值范围解析： （ 1）当 a=-1 时， f （x）=x2+（x-1 ）|x+1| ，故有， f(x)= 111122xxx，当 x-1 时，由 f （x）=1，有 2x2-1=1 ，解得 x=1，或 x=-1 当 x-1 时， f （x）=1 恒成立，方程的解集为 x|x -1 或 x=1 （2）f(x)= axaxaax

7、axax)1() 1(22若 f（x）在 R上单调递增，则0141aaa，解得 a31，当 a31时，f（x）在 R上单调递增（3）设 g（x）=f（x）-（2x-3 ），则g(x)=axaxaaxaxa, 3)1(, 3)3(2x2，不等式 f（x）2x -3 对一切实数xR 恒成立，等价于不等式g（x）0对一切实数xR 恒成立 a1，当 x（ - ，a）时， g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3 ，+）， a2-2a+3= （a-1）2+22 ，g（x）0 成立当 xa，+）时，由 a1，知a43a，g（x）在 x=43a处取得最小值，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 令g(43a)=a+3-8)3(2a0，解得 -3a5 ，又 a1， -3a 1综上， a-3，1）3. 已知函数f （x）=x|x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数f （ x）的最大值与最小值；（2）若 xa，试求 f （x） +30 的解集；（3）当 x1 ，2 时， f （x）2x-2 恒成立，求实数a 的取值范围解析：（ 1）当 a=4 时， f （x）=x|x-4|+2x-3，2x 4 时， f （x）=

9、x（4-x ）+2x-3=- （x-3 ）2+6，当 x=2 时， f （x）min=5；当 x=3 时， f （ x）max=6 当 4x5 时， f （x）=x（x-4 ） +2x-3= （x-1 ）2-4 ，当 x=4 时， f （x）min=5；当 x=5 时， f （ x）max=12 综上所述，当x=2 或 4 时， f（x）min=5；当 x=5 时， f （x）max=12 （2）若 xa， f （x）+3=xx- （a-2 ） ，当 a2 时， xa-2 ，或 x0，因为 aa-2 ，所以 xa；当 a=2 时，得 x0，所以 xa；当 a2 时， x0，或 xa-2 ，若

10、0a 2，则 xa；若 a0，则 x0 综上可知：当a0 时，所求不等式的解集为a ，+）；（ 10 分）当 a0 时，所求不等式的解集为（0，+）（ 12 分）（3）当 x1 ， 2 时， f （x）2x-2 ，即 x?|x - a| 1 ? -x1x -ax1? x-x1ax+x1因为 x-x1在 x1 ， 2 上增，最大值是2-21=23，x+x1在 x1 ， 2 上增，最小值是2，故只需23a2故实数a 的取值范围是23a24. 已知函数f （x）=x2-1 ，g（ x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f （x）|-g （x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a-3

11、 时，求函数h（x）=|f （x）|+g （x）在区间 -2 ，2 上的最大值解： （1）函数h（x） =|f （x）|-g （x）只有一个零点，即h（x）=|f （x）|-g （x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1 是函数的零点，即|x+1|-a=0无实数根，a0；（2）h（x）=|f （x）|+g （ x）=）=|x2-1|+a|x-1|=121111211222xaaxxxaaxxxaaxx，当 1x2 时，a -3， -2a23，当 x=2 时， h（x）的最大值为h（2）=a+3；当 - 2x -1 时，2a -23，当 x=-2 时， h（x）的最大值为h（-2

12、 ）=3a+3；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 当 - 1x1 时， h（x）的最大值为maxh（-1 ）， h（1）， h（-2a）=max2a ，0，41a2+a+1=41a2+a+1 ，函数 h（x）最大值为h（a） =6241416240330332aaaxaaa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -