2022年高中数学必修第二章点线面位置关系测试题 .pdf

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1、心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！1 必修二 第二章综合检测题时间 120分钟，满分 150 分。一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 ) 1若直线 a 和 b 没有公共点，则a 与 b 的位置关系是 ( ) A相交B平行 C异面 D 平行或异面2平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，既与 AB共面也与 CC1共面的棱的条数为 ( ) A3 B4 C5 D6 3已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l( ) A平行B相交C 垂直D异面4长方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 AB ，A1D1所成的

2、角等于 ( ) A30B45C60D905对两条不相交的空间直线a 与 b，必存在平面 ，使得 ( ) Aa? ，b? B a? ，bC a，bD a? ，b6下面四个命题：若直线 a，b 异面， b，c 异面，则 a，c 异面；若直线 a，b 相交， b，c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac. 其中真命题的个数为 ( ) A4 B3 C2 D1 7在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EF AA1；EF AC ；EF与 AC异面；EF平面

3、ABCD . 其中一定正确的有 ( ) ABCD8 设 a， b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面， 下列命题中为真命题的是 ( ) A若 a，b 与 所成的角相等，则abB若 a，b， ，则 abC若 a? ，b? ，ab，则 D若 a，b，则 ab9已知平面 平面 ，l ，点 A，A?l ，直线 AB l ，直线 AC l ，直线 m ，n，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) AAB m BAC m C AB D AC 10已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CC1的中点，那么直线AE与 D1F 所成角的余弦值为 ( ) A45B. 35C

4、.34D35名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！2 11已知三棱锥 DABC的三个侧面与底面全等，且AB AC 3，BC 2，则以 BC为棱，以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为( ) A.33B.13C0 D 1212如图所示，点P在正方形 ABCD 所在平面外， PA 平面 ABCD ，PA AB ，则 PB与 AC所成的角是 ( ) A 90 B60 C

5、45D30二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上) 13下列图形可用符号表示为_14正方体 ABCD A1B1C1D1中，二面角 C1AB C的平面角等于 _15设平面 平面 ，A，C，B，D ，直线 AB与 CD交于点 S，且点 S位于平面 ， 之间，AS 8，BS 6，CS 12，则 SD _. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD折成直二面角 ABD C，有如下四个结论：AC BD ；ACD是等边三角形；AB与平面 BCD 成 60的角；AB与 CD所成的角是 60； 其中正确结论的序号是 _三、解答题 ( 本大题共 6 个大题，共 70

6、 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17/(10分) 如下图，在三棱柱ABC A1B1C1中， ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC ，F、F1分别是 AC ，A1C1的中点求证： (1) 平面AB1F1平面C1BF；(2) 平面AB1F1平面ACC1A1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！3 分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定

7、理，寻找使结论成立的充分条件18( 本小题满分 12 分) 如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA 平面 ABCD ，AB 4，BC 3，AD 5，DAB ABC 90， E是 CD的中点(1) 证明：CD 平面 PAE ；(2) 若直线 PB与平面 PAE所成的角和 PB与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！4 19(1

8、2 分) 如图所示，边长为2 的等边 PCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC 22，M为 BC的中点(1) 证明： AM PM ；(2) 求二面角 PAM D的大小20( 本小题满分 12 分) 如图，棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形， B1CA1B. (1) 证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2) 设 D是 A1C1上的点，且 A1B平面 B1CD ，求 A1DDC1的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 -

9、 - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！5 21(12 分)如图， ABC中，AC BC 22AB ，ABED 是边长为 1 的正方形，平面 ABED 底面 ABC ，若 G ，F 分别是 EC ，BD的中点(1) 求证： GF 底面 ABC ；(2) 求证： AC 平面 EBC ；(3) 求几何体 ADEBC 的体积 V. 分析 (1) 转化为证明 GF平行于平面 ABC内的直线 AC ；(2) 转化为证明 AC垂直于平面 EBC内的两条相交直线BC和 BE ；(3) 几何体 ADEBC 是四棱锥 C ABED . 22(12 分) 如下图所示，在直三棱柱A

10、BC A1B1C1中，AC 3，BC 4，AB 5，AA14，点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！6 D是 AB的中点(1) 求证： AC BC1；(2) 求证： AC1平面 CDB1；(3) 求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

11、- - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！7 必修二第二章综合检测题详解答案1 答案 D 2 答案 C 解析 AB与 CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与 CC1平行且与 AB相交的有： BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC ，故共有 5 条3 答案 C 解析 1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线， A错；2l ? 时，在 内不存在直线与 l 异面， D错；3l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形

12、在平面 内都有无数条直线与l 垂直4 答案 D 解析 由于 AD A1D1，则 BAD是异面直线 AB ，A1D1所成的角，很明显 BAD 90.5 答案 B 解析 对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时， A 错误；对于选项 B，若 a，b 不相交，则 a 与 b 平行或异面，都存在，使 a? ，b，B正确；对于选项 C，a，b，一定有 ab，C错误；对于选项 D，a? ，b，一定有 ab，D错误6 答案 D 解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内， ac，而在空间中， a 与 c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7 答案 D 解析 如图

13、所示 由于 AA1平面 A1B1C1D1，EF? 平面 A1B1C1D1，则 EF AA1，所以正确；当 E，F分别是线段 A1B1，B1C1的中点时， EF A1C1，又 AC A1C1，则 EF AC ，所以不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1平面 ABCD ，EF ? 平面 A1B1C1D1，所以 EF 平面 ABCD ，所以正确8 答案 D； 解析 选项 A中，a，b 还可能相交或异面， 所以 A是假命题；选项 B中，a，b 还可能相交或异面， 所以 B是假命题；选项 C中， 还可能相交， 所以 C是假命题；选项

14、D中，由于 a，则 a 或 a? ，则 内存在直线 l a，又 b，则bl ，所以 ab. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！8 9 答案 C 解析 如图所示：AB l m ；AC l ，m l ? AC m ；AB l ? AB . 10 答案 35命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用 解析 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角 DFD1即为异面直

15、线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5DF D1F，DD12，结合余弦定理得到结论11 答案 C 解析 取 BC中点 E，连 AE 、DE ，可证 BC AE ，BC DE ， AED为二面角 ABC D的平面角又 AE ED 2，AD 2， AED 90，故选 C. 12 答案 B 解析 将其还原成正方体ABCD PQRS ，显见 PB SC ，ACS为正三角形， ACS 60.13 答案 AB14 答案 45 解析 如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，由于 BC AB ，BC1AB ，则 C1BC是二面角 C1AB C的平面角又 BCC1是等腰直角三角形，则 C1BC 45.1

16、5 答案 9 解析 如下图所示，连接AC ，BD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！9 则直线 AB ，CD确定一个平面 ACBD . ，AC BD ，则ASSBCSSD，8612SD，解得 SD 9. 16 答案 解析 如图所示，取BD中点， E连接 AE ，CE ，则 BD AE ，BD CE ，而 AE CE E，BD 平面 AEC ，AC ? 平面 AEC ，故

17、AC BD ，故正确设正方形的边长为a，则 AE CE 22a. 由知 AEC 90是直二面角 ABD C的平面角，且 AEC 90， AC a，ACD 是等边三角形，故正确由题意及知， AE 平面 BCD ，故 ABE是 AB与平面 BCD 所成的角，而 ABE 45，所以不正确分别取 BC ，AC的中点为 M ，N ，连接 ME ，NE ，MN . 则MN AB，且MN12AB12a，ME CD ，且 ME 12CD 12a，EMN 是异面直线 AB ，CD所成的角在 RtAEC中，AECE22a，ACa，NE 12AC 12a. MEN 是正三角形， EMN 60，故正确17 证明 (1

18、) 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，F、F1分别是 AC 、A1C1的中点，B1F1BF ，AF1C1F. 又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面 AB1F1平面 C1BF. (2) 在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！10 又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1

19、，而 B1F1? 平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1. 18 解析 (1) 如图所示，连接AC ，由 AB 4，BC 3，ABC 90，得 AC 5. 又 AD 5，E是 CD的中点，所以 CD AE . PA 平面 ABCD ，CD ? 平面 ABCD ，所以 PA CD . 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE. (2) 过点 B作 BG CD ，分别与 AE ，AD相交于 F，G ，连接 PF . 由(1) CD 平面 PAE知，BG 平面 PAE . 于是 BPF为直线 PB与平面 PAE所成的角，且 BGAE . 由 PA 平面 ABCD 知

20、， PBA为直线 PB与平面 ABCD 所成的角AB 4，AG 2，BG AF，由题意，知 PBA BPF ，因为 sin PBA PAPB，sin BPF BFPB，所以 PA BF . 由DAB ABC 90知， AD BC ，又 BG CD ，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故GDBC 3. 于是 AG 2. 在 RtBAG 中，AB 4，AG 2，BG AF，所以BG AB2AG225，BFAB2BG16258 55. 于是 PA BF855. 又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥 PABCD 的体积为V13SPA 1316855128 515. 19 解析

21、 (1) 证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，PCD 为正三角形，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！11 PE CD ，PE PD sin PDE 2sin60 3. 平面 PCD 平面 ABCD ，PE 平面 ABCD ，而 AM ? 平面 ABCD ，PE AM . 四边形 ABCD 是矩形，ADE ，ECM ，ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求

22、得EM 3，AM 6，AE 3，EM2AM2AE2. AM EM . 又 PE EM E，AM 平面 PEM ，AM PM . (2) 解：由 (1) 可知 EM AM ，PM AM ，PME 是二面角 PAM D的平面角tan PME PEEM331， PME 45.二面角 PAM D的大小为 45.20 解析 (1) 因为侧面 BCC1B1是菱形，所以 B1CBC1，又已知 B1CA1B，且 A1BBC1B，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C ? 平面 AB1C所以平面 AB1C平面 A1BC1 . (2) 设 BC1交 B1C于点 E，连接 DE ，则 DE是平面 A1BC1与平面

23、B1CD的交线因为 A1B平面 B1CD ，A1B? 平面 A1BC1，平面 A1BC1平面 B1CD DE ，所以 A1BDE . 又 E是 BC1的中点，所以 D为 A1C1的中点即 A1DDC11. 21 解 (1) 证明：连接 AE ，如下图所示ADEB为正方形，AE BD F，且 F是 AE的中点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 心改变，新开始！快乐的学习，快乐的考试！12 又 G是 EC的中点，G

24、F AC ，又 AC ? 平面 ABC ，GF ?平面 ABC ，GF 平面 ABC . (2) 证明： ADEB 为正方形， EB AB ，又平面 ABED 平面 ABC ，平面 ABED 平面 ABC AB ，EB ? 平面 ABED ，BE 平面 ABC ，BE AC . 又AC BC 22AB ，CA2CB2AB2，AC BC . 又BC BE B，AC 平面 BCE . (3) 取 AB的中点 H ，连 GH ，BC AC 22AB 22，CHAB，且CH12，又平面ABED平面ABCGH 平面 ABCD ，V1311216. 22 解析 (1) 证明：在直三棱柱ABC A1B1C1

25、中，底面三边长 AC 3，BC 4，AB 5，AC BC . 又C1CAC . AC 平面 BCC1B1. BC1? 平面 BCC1B，AC BC1. (2) 证明：设 CB1与 C1B的交点为 E，连接 DE ，又四边形 BCC1B1为正方形D是 AB的中点， E是 BC1的中点， DE AC1. DE ? 平面 CDB1，AC1?平面 CDB1，AC1平面 CDB1. (3) 解： DE AC1，CED 为 AC1与 B1C所成的角在CED中，ED12AC152，CD 12AB 52，CE 12CB122，cosCED 252225. 异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为225.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -