2022年高三数学暑期复习综合能力题指数函数与对数函数 .pdf

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1、上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网高三数学暑期复习综合能力题第 3 讲 指数函数与对数函数题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心范例选讲例 1已知1log2xxxfa，其中1a（1）试求xf的定义域和值域；求出xf的反函数xf1；（2）求出xf的反函数xf1；（3）判断函数xf1的奇偶性和单调性；（4）若实数 m满足011211mfmf，求 m的取值范围 . 讲解 （1） 由于xx12，所以，函数xf的定义域为 R. 为求

2、xf的值域， 观察函数xu12xx的解析式 注意到xu其实是一个单调函数（xy）和一个非单调函数（12xy）之和，因此，xu的单调性并不能通过简单判断很快得到解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、从单调性的定义出发即任取21,xxR，且21xx，比较21xuxu、的大小关系，这种方法留给同学自己完成二、通过刚才的观察，很快可以看出：xu在,0上单调递增，此时，xu的取值范围为, 1；当0,x时，x, 0，因此，若令xt，则xu11122tttt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

3、 - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网由 t,0，则12tt, 1可知：此时xu的取值范围为1 ,0又0 x时，1)(xu所以，函数xu12xx的值域为,0所以，函数xf的值域为 R（2）设xfy，则ya=12xx，利用12xx与xx12互为倒数，可得ya=xx12，所以，yyaax21所以，xf1=xxaa21， xR（3）任取 xR，则xf1=xxaa21=xf1，所以，函数xf1为奇函数任取21,xxR，且21xx，则由1a及指数函数的性质可知：21xxaa，21xxaa，所以，2211xxxxaaaa，

4、即21xfxf所以，xf1在定义域内单调递增（4）由011211mfmf得：21111mfmf，即：21111mfmf结合xf1的单调性可知：上式等价于：211mm，解之得：21mm或点评 定义域是研究函数的基础求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法例2 已 知 函 数1,0321l o gaaxxmxfa， 对 定 义 域 内 的 任 意 x 都 有022xfxf成立（1）求实数 m的值；（2）若当abx,时，xf的取值范围恰为, 1，求实数ba,的值讲解： （1）由321logxxmxfa及022xfxf可得：名师

5、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网解之得：1m当1m时，函数xf无意义，所以，只有1m（2）1m时，31logxxxfa，其定义域为1 , 3. 所以，ab,1 ,或ab,3若ab,3，则ab3为研究abx,时xf的值域，可考虑31logxxxfa在,3上的单调性下证xf在,3上单调递减任取21,xx,3，且21xx，则0333313121122211xxxxxxxx

6、又1a，所以，31log31log2211xxxxaa，即21xfxf所以，当ab,3，xf在,3上单调递减由题：abx,时，xf的取值范围恰为, 1，所以，必有13afb且，解之得：32a（因为3a，所以舍去32a）若ab,1 ,，则1ab又由于1,0 aa，所以，10a此时，同上可证xf在1 ,上单调递增（证明过程略） 所以，xf在ab,上的取值范围应为afbf,，而af为常数，故xf的取值范围不可能恰为, 1所以，在这种情况下，ba,无解综上，符合题意的实数ba,的值为32a，3b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 上教考资源网助您教考无忧版权所有 中国教育考试资源网点评本题（ 2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数高考真题1. （1989 年全国高考）已知a0 且 a1，试求使方程loga(x ak) loga2(x2a2)有解的 k 的取值范围 . 2. （1990 年全国高考）设 f(x) lgnan1)(n21xxx，其中 a 是实数，n 是任意给定的自然数，且 n2.如果 f(x) 当 x( ， 1 时有意义，求 a 的取值范围；如果 a(0，1) ，证明 2f(x) f(2x) 当 x0 时成立. 3. （1991 年三南高考）已知函数f(x) 1212xx证明： f(x) 在( , ) 上是增函数；证明：对不小于3 的自然数 n 都有 f(n) 1nn. 答案与提示：1. 当 k在集合 (-,-1)(0,1)内取值时 ,原方程有解；2. a的取值范围为121naa， （2）可用数学归纳法证明； 3. 略 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -