2022年高三数学二轮专题复习教案数列 .pdf

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1、an (4) an与Sn的关系：S(n 1) S. S.i(n 2) 单调性：d 0时为递增数列，d仝0时为递减数列 , 若m nP q，则為an ap aq(m, n, p, q an am (n m)d(m, n N ). d 0时为常数列 . N ).特别地，当m n 2p时，有am an 2aP 高三数学二轮专题复习教案 数列、本章知识结构: 二、重点知识回顾1?数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数. (2)表示方法：列表法、解析法(通项公式法和递推公式法) 、图象法 . (3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、

2、摆动数列和常数列 . 2 .等差数列和等比数列的比较(1)定义：从第比等于同一常数 (不为2项起每一项与它前一项的差等于冋一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的0 )的数列叫做等比数列. (2)递推公式：an 1 an d, an 1 an-q, q 0, nN (3)通项公式：(4)性质a. ai (n 1)d, an aiqn 1, n N . 等差数列的主要性质:等比数列的主要性质:数列的应笄绅分期付款Sk, S2k Sk, S3k S2k,成等差数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - a1 0, a1 0 a单调性：当0 q 1或q 1时，为递增数列；当q 摆动数列；当q1时, 为常数列. 若m np q ，则為 ?ap? aq(m, n, p, q N ) a nqn m(m, nN , q 0) 0, a-i 0 1,或0 q 1时，为递减数列；当q 0时，为2 特别地，若m n 2p，则ap ?am Sk, S2k2, S3k S2k，当q 1时为等比数列；当q1时，若k为偶数，不是等比数列?若k为奇数，是公比为1的等比数列 . 三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例

4、1. （2008深圳模拟）已知数列an的前n项和Sn 12n n- 解: (1)当n 1时, a1 S1 1 2 1 12 11 ?；、当n 2 时,an Sn Sn 1 (12n n2) 12( n 1) (n 1)2 13 2n. a1 11也符争合13 2n的形式. 所以、，数列an的通项公式:为a n 13 2n. 、(2)令an 13 2n 0,又n N ,解得n 6. 当n6 时,Tn |a1 | |a2 | | an | a1 a2 an Sn 12n n2当n 6时,Tn |a1 | |a 2 |a6 | |a7 |an| a 1 a2 a6 a7 a8 an 2S6 Sn 2

5、 (12 6 62) (12n n2) n212n 72. T 12n 2 n , n 6, 综上1 n , n22n 72, n 6. 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意（1）求数列an的通项公式 ; 本题考查了数列的前n （2）求数列l an 1的前n项和Tn. 点评：二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想. n=l时情况，在解题时经常会忘记。第例2、（2008广东双合中学）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3 5, S15 225.数列5是等比数列 , b3 a2 玄3,匕2匕5 128 （其中n 1,2,3,）（|）求数列冇和bn的通项公式； （II ）记Cn anbn,

6、求数列cn前n项和Tn . 解：（I）公差为d, a12d 5, a1 1, 故an 2n 1 则15a1 157d 225, d 2, (n 1,2,3,). b3 8, 则b3匚2 b3q 128, 设等比数列bn的公比为q q bs 8,q 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 n 1、2 (1 2 ) 1 2 (2n 1) 2n 1n 1 6 2 (2n 3) n项和的解法， 要抓住它的结特征，一个等差

7、数列与娃迎迎 ” ，按同样的方式构造图形，设第n个f(n)个“ 福娃迎迎 ” ，则f (5); f(n) f(n 1) _ 解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数1+3+5+3+1 第4个图个数1+3+5+7+5+3+1 第5个图个数1+3+5+7+9+7+5+3+仁41, 所以，f (5)=41 图形包bn b3 qn32n(n 1,2,3,). (II ) Cn (2n 1) 2n, Tn 2 3 225 23L (2n 1) 2n2Tn 223 235 24(2n 3) 2n(2n 1) 2n 1. 作差：T2 2324252n1(2n 1) 2n1 3 n 1 n

8、 1 2 2 (2 1) (2n 1) 2 Tn (2n 3) 2n 1 6 (n 1,2,3,) 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前一个等比数列之积，乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和例3. (2008江苏 )将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律，第门行 (n 3)从左向右的第3个数为解：前n1行共有正整数1 + 2 + -+( n 1)个，即2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22 n n 6 个，即为2点评：本小题考查归纳推理和等差

9、数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例4. (2008深圳模拟 )图(1)、(2)、( 3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“ 福f(2)-f(1)= 4 , f( 3 )-f( 2 )= 8, f( 4 )-f( 3 )= 12, f( 5 )-f( 4 )= 16f(n) f (n 1) 4(n 1) 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系名师资料总结 -

10、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 例5. （2 0 0 9届咼三湖南益阳）已知等比数列an的首项为911 3，公比q满足q且q 1。又已知印，5as，995成等差数列。（1）求数列9n的通项i 1 1 1 （2）令bn 1 9腐，求证：对于任意n N，都有2db2妙3 1 bn bn 1 (1)解：T 2 593印995 109-iq2a1 9a-iq49q4 1 q2 1 1 1 1 2 db2 b2b3点评：把复杂的问题转化成

11、清晰的问题是数学中的重要思想, 本题中的第（2）问，采用裂项相消法法，求出数列之和 , 1_ 1 (n)证明：a1 b1 a2 d 1 an bn 5 12 解：（I）由条件得2bn an 2 an 1 bnbn 1由此可得|bn 1的通项公式，并证明你的结论; 2 , b425 由 ， 可知an n(n 1), bn(n 1)2对一切正整数都成立. n 2时，由（I）知由n的范围证出不等式。例6、（2008辽宁理）在数列|9n| ,|bn|中，a1=2,b仁4,且9n，bn，9n 1成等差数列，bn，9n 1 bn 1成等比数列（n N）()求a2, a3, a4 及b2, b3, b4，由

12、此猜测1 9n 1,a2 6, b2 9, a3 12, b3 16, a2 猜测an n(n 1), b (n 1) 用数学归纳法证明： 当n=1时，由上可得结论成立. 假设当n=k时，结论成立，即2 ak k（k 1）, bk （k 1）那么当n=k+1时，2 ak1 2 ak 2(k 1)2k(k 1) (k 1)(k 2), bk 1 玉(k 2)2所以当n=k+1时，结论也成立. 1 1 _5 n) a1 bi 6 12an bn (n 1)(2 n 1) 2(n 1)n1 .q 0且q 1 q 3 n ? an ag 13n1 1 1 1 1 （2） 证明：bn lOg3anlog

13、 3 3nn bnbn 1 n(n 1) n n 1 1 1 1 11 1 1 L 1 3 n 1 1 1 - n 1 n 1 ?唱b2bs bnbn 11 2 2 1 bn bn 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1 a2b25 12 n(n 1) 综上 , 点评 : 推 理 、原不等式成立 . 本小题主要考查等差数列, 论证等能力 . 等比数列，数学归纳法, 不等式等基础知识, 考查综合运用数学知识进行归纳

14、、总 结 、（2008安徽理）设数列3 an满足a 0,an 1 canc,c N ,其中c为实数(出) 解: 证明: (1) an 必要性充分性：设c0,1对任意1 3，证明 : 1 3，证明 : N成立的充分必要条件是0,1；an 2 a1 0,二又a20,1，对n 当n 1时, a-i 0 2 a2 a2 则ak 1ca；1 c ak 1 0,1n 1 (3c) , n L a；0,1,二0 1 N用数学归纳法证明0,1.假设ak 0,1(k c 1 且ak 1 由数学归纳法知务0,1 对所有n1 3c,n即c 0,1an 0,1 1) ca；1 N成立1 c 3，当n 1时, 0，结论

15、成立2时, c,二1 an c(1 an 1)(1 an 1 )0 C 3，由1 an 3c(1 1 an 3c(1 an 1 (3c)n1 3，当n 1 an 时, an 1) 1(n 3 can 1 1 0 c 设知务1(1)知an 10,1，所以am) (3c)2(1 an 2) L 当n 2时，由（2）2 a1 1 an 2 an 1 an 1 0 (3c)n1(1 aj n 1 (3c) 2 1 3c，结论成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8

16、页 - - - - - - - - - f(x) (I) 上，求证：(n) 2 an是正数组成的数列，前n项和为Sn,其中a1=3?若点(an,an 1 2an 1)(n ? N*)在函数y=f (x)的图象(n,Sn)也在y=f (x)的图象上；求函数f(x)在区间 (a-1,a) 占八内的极值. f(x) 1x3(I )证明：因为3x22, 所以(x)=x2+2x. ( 2 由点(an，an 12an i)(n N )在函数y=f (x)的图象上,又an 0(n N)，所以(an 1an)(an 1 an 2) 0, Si 3n所以2=n22n 2，又因为(n)=n2+2n,所以Sn f

17、(n)x22故点(n,Sn)也在函数y=f (x)的图象上?2 (n)解：f(x) x 2x x(x 2), 由f (x) 0,得x 0或x 2. 当x变化时,f (x)、f(x)的变化情况如下表注意到(a 1) a 1 2,从而a 当1 2 a,即2 a 1时,f(x)的极大值为f(2) 2 3，此时f (x)无极小值 ; 当a1 0 a,即0 a 1时,f (x)的极小值为f (0) 2，此时f(x)无极大值；当a2或1 a 0或a 1时,f (x)既无极大值又无极小值?点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力

18、?例9 、(2007江西理 )将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( ) 1 1 1 1 A.E.二C.二D.二解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：(1)公差为0的有6个； (2)公差为1 或-1的有8个； (3)公差为2或-2的有4个，共有18个, (1 (3c)n1)21 2(3c)n 1(3c)2(n 11 2(3c)n 1a2 L a；a2 L a；彳2(1 (3c)n) 彳n 1 23c (3c)2 L (3c)n 1 n 11 3。n 12 1 3c 本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加

19、强训练。点评：考点四：数列与联系例题8 函x (-m,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+ m) f(X) + 0 - 0 + f(x) / 极大值极小值/ 福建理)已知(2008 数函数、概率等的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - X、y值依次分别记为为以2丄 凡丄,X2008；（I）求数列Xn的通项公式Xn；（H ）写出y1 , y2, y3, y4,由此猜想出数列yn; 的一个通项公式yn,并证明你的结论；

20、（川）求Zn X1Y1 X2Y2 L Xnyn(X N ,n 2008) 解：（I）由框图，知数列Xn中，X1 1,Xn 1 Xn 2Xn 2(n 1) 2n 1(n 由此 , 证明 : -yn Yn yl=2, , 猜想3y3=26, y4=80. 1(n N*, n 2008). 由框图，知数列yn中，yn+1=3yn+2 1 1 3(yn 1) 3y 1 3. ? ? yn 1? 数列yn+1 是以3为首项，3为公比的等比数列。- yn+1=3 ? 3n仁3n ?“ =3n 1 (n N*, n 2008) (川)zn =X1Y1 X2Y2 Xn yn =1X( 3 1) +3x( 32

21、 1) + + (2n1) (3n 1) =1 x 3+3 X 32+ (2n1) ? 3n1+3+ (2n 1) 记Sn=1 x 3+3 x 32+ (2n 1) ? 3n,则3Sn=1 X 32+3 X 33+ + ( 2n1)x 3n+1 ，得 2Sn=3+2 ? 32+2 ? 33+ +2 ? 3n(2n1) ? 3n+1 =2 (3+32+3n)3( 2n 1) ? 3n+1 3(1 3n) =2X 1 33 (2n 1)3n3n1n 1 n 1 6 (2n 1)3 2(1 n) 3 6 1_丄成等差数列的概率为厂二，选B 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采

22、取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系例10、（2 0 0 9广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的yi, y2丄,yn,L , 丫2。8 .Sn (n 1) 3n 1 3. 又1+3+ ( 2n1) =n2 ? Zn (n 1) 3n 1 3 n2(n N*, n 2008) 点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。四、方法总结与2009 年高考预测(一)方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

23、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。3.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。(二) 2009 年高考预测1.数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意Sn与an的关系?关于递推公式，

24、在考试说明中的考试要求是：“ 了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“ 递推公式 ” 的考查。2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和. 5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点

25、，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6.有关数列与函数、 数列与不等式、 数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。 今后在这方面还会体现的更突出。7.数列与程序框图的综合题应引起高度重视。五、复习建议在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手: 1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前n 项和的特征在解题中的应用；4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6

26、?掌握数列通项an与前n项和Sn之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8.掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“ 错位相减 ” 法求和9?以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用. 以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -