2022年高中数学圆锥曲线总结 .pdf

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1、数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义 ：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数，且此 常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段 F F ，当常数小于时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于 |F F | ，定义中的 “绝对值”与|F F | 不可忽视 。若|F F | ，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若|F F | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心

2、率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。Attention： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（1） 椭圆（以（）为例） ：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（ 0,0 ） ，四个顶点，其中长轴长为

3、2，短轴长为 2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - （2） （2）双曲线 （以（）为例）：范围：或； 焦点：两个焦点； 对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ） ， 两个顶点，其中实轴长为 2，虚轴长为 2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大

4、；两条渐近线：。（3） 抛物线（以为例） ：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴， 没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ） ； 准线： 一条准线；离心率：，抛物线。5、点和椭圆（）的关系 ： （1）点在椭圆外； （2）点在椭圆上1； （3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

5、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。Attention：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线

6、之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（2） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦半径 （圆锥曲线上的点P到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P到与 F 所对应的准线的距离。8、焦点三角形 （椭圆或双曲线

7、上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为， 焦点的面积为， 则在椭圆中， ， 且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为 bc；对于双 曲 线的 焦 点 三 角 形 有 ： ；。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦，

8、M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF ； （3）设 AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若 P为 A B的中点，则 PA PB ； （4）若 AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x 轴的直线交准线于C点，则 A，O ，C三点共线。10、弦长公式 ：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为 A、B的横坐标，则，若分别为 A、B的纵坐标，则， 若弦 AB所在直线方程设为， 则。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。11、圆锥曲线的中点弦问题：

9、遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。Attention：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12重要结论：（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - -

10、- - - - 如与双曲线有共同的渐近线， 且过点的双曲线方程为_ （答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6 ） 若 抛 物 线的 焦 点 弦 为AB， 则；（7）若 OA 、OB是过抛物线顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -