2022年高三数学典型例题三角函数的图象和性质 .pdf

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1、1 高三数学典型例题八三角函数的图象和性质（文）例 1、 用五点法作出函数的图象，并说明它与y=sinx 的图像间的变换关系. 例 2、（1）求函数的定义域、值域；（2）求函数的值域 . 例 3、求下列函数的单调递减区间. 例 4、 已知函数 f(x)=12a2acosx2sin2x 的最小值为g(a)，aR. （1）求 g(a)；（2）若，求 a 及此时 f(x) 的最大值 . 例 5、 已知 y=f(x) 是定义在 R 上的函数，且对任意xR，有 f(x2)1f(x)=f(x) 1成立 . （1）证明 y=f(x) 是周期函数；（2）若 f(1)= 2，求 f(2005)的值 . 例 1、

2、解析： 周期，振幅 A=2，选取五点列表：x 0 2y 0 2 0 2 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 描点作图：函数的图象可以看作是由下面的方法得到：先把 y=sinx 的图像上的所有的点向左平行移动个单位，得到的图像；再把的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到的图像；再把的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2 倍 （横坐标不变） ，从而得到的图像 .例 2、解析： （1）由

3、0，得 sinx ，通过作单位圆，知定义域为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 即当；当，所以函数的值域为评析：解最简单的三角不等式时应用单位圆或函数的图像. （2）解法一 ：设 sinx=t ，则，由 |sinx|1，得1，解这个不等式，得y2 或 y解法二 ：， |sinx|1，且 sinx sinx 1 时，03sinx 25，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 ， 即 y. 当 1sinx 时， 13sinx 20， 1，即 y2. 评析 ：关于三角函数，除符合代数函数的所有关系和性质外，还要注意它自己的属性. 例 3、分析： 求三角函数的单调区间，利用三角函数的图象，可以化抽象为直观. 解答：故原函数的单调递减区间为. （2）要求的单调递减区间，即求（u0）的单调递增区间. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

5、 - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 故原函数的单调递减区间为. 点评： 求三角函数的单调区间，一般先利用诱导公式将x 的系数和三角函数符号前的系数都化为正值，再利用三角函数的图象求单调区间.例 4、解析：（1）若，即 a2 时，则当 cosx=1 时有最小值，；若11，即 2a2 时，则当时有最小值，若1，即 a2 时，则当 cosx=1 时有最小值，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - -

6、- - - - - - 6 于是（2）若，则只可能，由，则 a=1 或 a=3. 2a2， a= 1. 由 14a=，解得 a=，它不满足a2. 当 a=1 时，有，此时 f(x) 最大值为 5. 评析 ：一般地，形如y=sin2xpsinx q 的最大值和最小值的求法如下：若11，即 2p2，则当 sinx= 时，y 有最小值，最大值在sinx=1 或1 时取得 . 若1，即 p2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - -

7、 - 7 则当 sinx= 1 时，y 有最小值 1pq；当 sinx=1 时，y 有最大值 1pq. 若1，即 p2，则当 sinx=1 时，y 有最小值 1pq；当 sinx= 1 时，y 有最大值 1pq.例 5、解析： 分析题设条件，周期应是一个整数，处理这种抽象函数的有关问题，应注意有耐心地用好题设给出的函数值间的递推关系. （1）显然 f(x) 1，所以所以 f(x4)=f(x2)+2 所以 因此 f(x) 是以 8 为周期的周期函数. （2） 因为 f(1)= 2， 所以， 所以这种类型的题目可与数列，尤其是递推数列产生联系，可将某种求值问题隐藏在周期性之下试想，若本题去掉第（1

8、）问，直接让你计算第（2）问的 f（2005）的值，你还会联想到利用函数的周期性吗？高考解析三角函数的图象与性质是密不可分的，高考在考查三角函数的图象的同时也常常兼顾三角函数的性质的考查，使知识更具有系统性和完整性. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 例 1、已知函数f(x)=sin()( 0, 0 )是 R 上的偶函数， 其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值分析： 本小题主要考查三角函数的图象和单

9、调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力解： 由 f(x)是偶函数，得f(x)=f(x) 即 sin(x)=sin( x), 所以 cossin x=cos sin x对任意 x 都成立，且0 ，所以得 cos=0，依题设 0 ，所以解得由 f(x) 的图象关于点M 对称，当 k=0 时，当 k=1 时， =2 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 当 k2 时，所以，综合得例 2、已知函数 f(x)

10、=2sinx(sinx cosx). （1）求函数 f(x) 的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x) 在区间上的图象 . 分析： 将函数解析式化为只含有一个角的一个三角函数的形式. 解答： （1）所以函数 f(x)的最小正周期为 ，最大值为1. （2）由（ 1）知：x y 1 11 11 故函数 y=f(x) 在区间上的图象是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 点评： 本题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -