2022年高中数学中的自对称和互对 .pdf

《2022年高中数学中的自对称和互对 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学中的自对称和互对 .pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、- 1 - 浅析高中数学中的对称美太康县第一高级中学数学组李云厅函数是高中数学的灵魂，也是整个高中数学的基础。函数的性质是近几年高考的重点与热点问题，而函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来体会高中数学中对称美。一、自对称：函数自身的对称性定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a x) = 2b 证明：（必要性） 设点 P(x ,y) 是 y = f (x)图像上任

2、一点，点 P( x ,y) 关于点 A (a ,b)的对称点 P（2ax，2by）也在 y = f (x)图像上，2by = f (2ax) 即 y + f (2ax)=2b故 f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) f (x) + f (2a x) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即 2by0 = f (2ax0) 。故点 P（2ax0，2by0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论： 函数 y = f (x

3、)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0 定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a x) 即 f (x) = f (2ax) 推论：函数y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是f (x) = f (x) 定理 3. 若函数 y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点 B (b ,c) 成中心对称（ ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab） ，

4、则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（ ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab| 是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（ *）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

5、 - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 2 - 又函数 y = f (x)图像直线 x =b成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（ *）得：f (x) = 2c f 2(ab) + x（ * ） ，用 2（ab）x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2c f 4(ab) + x代入（ * ）得：f (x) = f 4(ab) + x,故 y = f (x)是周期函数，且 4| ab| 是其一个周期。二、互对称：两个不同函数对称性定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2bf (2ax)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。定理 5

6、. 函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a) 的图像关于直线xy = a成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理5 中的设点 P(x0 ,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0)。记点 P( x ,y) 关于直线 xy = a的轴对称点为 P（x1， y1） ，则 x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入

7、 y0 = f (x0)之中得 x1a = f (a + y1) 点 P（x1， y1）在函数 xa = f (y + a)的图像上。同理可证：函数 xa = f (y + a) 的图像上任一点关于直线xy = a的轴对称点也在函数 y = f (x)的图像上。故定理5 中的成立。推论： 函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表函数对称中心坐标对称轴方程y = sin x ( k, 0 ) x = k+/2 y = cos x ( k+/2 ,0 ) x = ky = tan x (k/2 ,0 ) 无注：上表中 k

8、Z y = tan x的所有对称中心坐标应该是(k/2 ,0 )四、函数对称性应用举例例 1 确定函数xxxf31)(的图象的对称中心 . 解析 1：设函数xxxf31)(的图象的对称中心为（ h，k） ，在图象上任意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 3 - 取一点 P（x，y） ，它关于（ h，k）的对称点为 Q（2h-x，2k-y） ，Q 点也在图象上，即有xhxhyk21223，由于xxy31，两式相加得

9、hxxhk2112233，化简得01241161322hkhhhxhhxh（*）. 由于 P 点的任意性，即（ *）式对任意 x 都成立，从而必有x 的系数和常数项都为 0，即 h=1，k=1. 所以函数xxxf31)(的图象的对称中心为（ 1,1）. 解析 2：设函数xxxg3，则 g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于1) 1(1)1(1)(3xgxxxf，说明函数 f(x)的图象是由 g(x)的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移1 个单位得到点 (1,1). 所以函数xxxf31)(的图象的对称中心为（ 1,1）. 例 2：设定义域为 R的函数 y = f

10、 (x) 、y = g(x) 都有反函数，并且f(x 1) 和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么 f(4)= （ ）。（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。解： y = f(x1)和 y = g-1(x 2) 函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x 2) 反函数是 y = f(x 1)，而 y = g-1(x 2) 的反函数是 :y = 2 + g(x), f(x 1) = 2 + g(x), 有 f(5 1) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001,应选（ C）例 3. 设 f(

11、x) 是定义在 R上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x), 当1x0 时，f (x) = 21x，则 f (8.6 ) = _ 解： f(x)是定义在 R上的偶函数 x = 0是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数， f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( 0.6 ) = 0.3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页

12、，共 4 页 - - - - - - - - - - 4 - 例 4.函数 y = sin (2x + 25)的图像的一条对称轴的方程是（）(A) x = 2(B) x = 4(C) x = 8(D) x =45解：函数y = sin (2x + 25)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25= k+2x = 2k,显然取 k = 1 时的对称轴方程是x = 2故选 (A) 例 5. 设 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当 0 x1 时，f (x) = x，则 f (7.5 ) = （）(A)0.5 (B) 0.5(C) 1.5(D) 1.5 解： y = f (x)是定义在 R上的奇函数，点（ 0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x)， 即 f (1+ x) = f (1 x)，直线 x = 1是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f ( 0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -