2022年高三一轮教案线性规划 .pdf

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1、 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x， y)，把它的坐标 (x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C 的符号即可判断AxByC0 表示的直线是AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划相

2、关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值

3、或最小值 . 题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例 1(1)若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是 () A.73B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用 二元 一次不等式组表示 为_答案 (1)A(2)xy10，x2y20解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线 ykx43过定点0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线ykx43能平分平面区域因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 D12，52. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 当 y kx43过点12，52时，52k243，所以 k73. (2)两直线方程分别为x2y20 与 xy10. 由(0,0)点在直线x 2y20 右下方可知x2y20，又(0,0)点在直线 xy10 左下方可知 xy10，即xy10，x2y20为所表示的可行域思维升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个， 若直线不过原点， 则测试点常选取原

5、点(1)在平面直角坐标系中，若不等式组xy 10，x1 0，axy10(a 为常数 )所表示的平面区域的面积等于 4，则 a 的值为 () A 5 B3 C5 D7 (2)如图所示的平面区域(阴影部分 )满足不等式 _答案(1)D(2)xy10 解析(1)直线axy10 过点(0,1)，作出 可行域如图知可行域由点A(1,0)， B(1，a1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界 )，且 a1，则其面积等于12(a1)14，解得a7. (2)边界对应直线方程为xy10，且为虚线，区域中不含 (0,0)， 由以上可知平面区域(阴影部分 )满足 xy10. 题型二求线性目标函数的最值例 2(

6、1)(2014 广东 )若变量x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，且 z2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn 等于 () A5 B6 C7 D8 (2)(2013课标全国 )已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，ya x3 ，若 z2xy 的最小值为1，则a_.答案(1)B(2)12解析(1)画出可行域，如图阴影部分所示由 z2xy，得 y2xz. 由yx，y 1，得x 1，y 1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 -

7、- - - - - - - - A(1， 1)由xy1，y 1，得x2，y1，B(2， 1)当直线 y 2xz 经过点 A 时，zmin2(1)13n.当直线y 2xz 经过点 B 时， zmax2213m，故 m n6. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 )易知直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由x1，ya x3 ，得x1，y 2a，zmin22a1，解得 a12. 思维升华线性规划问题的解题步骤：(1)作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移 将 l 平行移动， 以确定最优解的对应点的位置；(3)求值 解方程组

8、求出对应点坐标(即最优解 )，代入目标函数，即可求出最值(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域 D由不等式组0 x2，y2，x2y给定若 M(x，y)为 D 上的动点，点A 的坐标为 (2，1)，则 zOM OA的最大值为 () A3 B4 C32 D42 (2)(2014北京 )若 x，y 满足xy20，kxy20，y0，且 zyx 的最小值为 4，则 k 的值为 () A2 B 2 C.12D12答案(1)B(2)D 解析(1)由线性约束条件0 x2，y2，x2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zOM OA2xy， 将其化为 y2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点 (2，2)时，

9、z 最大，将点 (2，2)代入 z2xy 得 z 的最大值为4. (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kxy20 与 x 轴的交点为A(2k，0)zyx 的最小值为 4，2k 4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解得 k12，故选 D. 题型三线性规划的实际应用例 3某客运公司用A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，从甲地去

10、乙地的营运成本分别为1 600 元/ 辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于 A型车 7辆 若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、 B 型车各多少辆？解设 A 型、 B 型车辆分别为x、y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z1 600 x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件xy21，yx7，36x60y900，x，y0，x，yN.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线z1 600 x2 400y 经过可行域的点 P 时， 直线

11、z1 600 x2 400y在 y轴上的截距z2 400最小，即 z 取得最小值故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小思维升华解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答某企业生产甲、 乙两种产品， 已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润5 万元、每吨乙产品可获得利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨、B 原料不超过18 吨，那么该企

12、业可获得的最大利润是_万元答案27 解析设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z5x3y. 由题意得x0，y0，3xy13，2x3y18，可行域如图阴影所示由图可知当x、y 在 A 点取值时， z取得最大值，此时 x3，y4，z533427(万元 )题型四求非线性目标函数的最值例 4(1)设实数 x， y 满足xy20，x2y40，2y30，则yx的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 最大值为 _(2)已

13、知 O 是坐标原点，点A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则|OAOM|的最小值是 _答案(1)32(2)322解析(1)yx表示点 (x，y)与原点 (0,0) 连线的斜率， 在点(1，32)处取到最大值(2)依题意得，OAOM(x1，y)，|OAOM|x 12y2可视为点 (x，y)与点 (1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线 xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点 ( 1,0)的距离最小，因此|OAOM|的最小值是|1 02|2322. 思维升华常见代数式的几何

14、意义有(1)x2y2表示点 (x， y)与原点 (0,0)的距离；(2)xa2 yb2表示点 (x，y)与点 (a，b)之间的距离；(3)yx表示点 (x，y)与原点 (0,0)连线的斜率；(4)ybxa表示点 (x， y)与点 (a，b)连线的斜率跟踪训练4(1)设不等式组x1，x2y30，yx所表示的平面区域是1，平面区域2是与 1关于直线 3x4y90 对称的区域，对于1中的任意一点 A 与 2中的任意一点B，|AB|的最小值等于() A.285B4 C.125D2 (2)设变量x，y 满足5x2y180，2xy0，xy30，若直线kxy20 经过该可行域，则k 的最大值为_答案(1)B

15、(2)1 解析(1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域 1中的点到直线3x4y90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点 (1,1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为2|31419|54，选 B. (2)画出可行域如图，k 为直线 ykx2 的斜率，直线过定点 (0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B(2,4)点，所以 k42201. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 -

16、 - - - - - - - - 利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值典例： (12 分)变量 x、 y 满足x4y30，3x5y250，x1，(1)设 zyx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围思维点拨点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，yxy0 x0表示点 (x，y)和原点连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点 (x，y)和点 (3,2)的距离的平方规范解答解(1)由约束条件x4y30，3x5y250，x1，作出(x，y)的可行域如图所示由x1

17、，3x 5y250，解得 A 1，225. 由x1，x4y30，解得 C(1,1)由x4y30，3x5y250，解得 B(5,2)4 分zyxy0 x0. z的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率观察图形可知zminkOB25.6 分(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， dmin|OC|2， dmax|OB|29. 2z29.9 分(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax352 2228. 16

18、z64.12 分温馨提醒(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义(3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 方法与技巧1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线 )2求最值：求二元一次函数zaxby (ab0)的最值

19、，将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb， 通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值最优解在顶点或边界取得3 解线性规划应用题， 可先找出各变量之间的关系，最好列成表格， 然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题4利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题失误与防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2 在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当 b0 时， 截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时， z 也取最小值； 当 b0 时，截距zb取最大值时， z 取最小值

20、；截距zb取最小值时， z取最大值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 直观图与三视图教案考纲要求1. 能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的模型，2. 会用斜二测画法画出它们的直观图。3. 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的共同表现形式。基础知识梳理1. 空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下， 与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图

21、形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括、2. 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1) 画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x轴、y轴已知图形中平行于x轴的线段， 在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为 .(2) 画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度 .3. 一个规律三视图的长度特征： “长对正

22、，宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法预习自测1. （2012 四川）下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.(2012湖南 ) 某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

23、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - （）3.(2011陕西 ) 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A823 B83 C82D.23课堂探究案典型例题考点 1：空间几何体的三视图【典例 1】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( ) 【变式 1】 (2011 浙江 ) 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）考点 2：空间几何体的直观图【典例 2】已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的

24、面积为 ( ) A.34a2B.38a2C.68a2 D.616a2【变式2】如图，矩形O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O A6cm ，O C2cm ，则原图形是 ( ) A正方形 B矩形C菱形D一般的平行四边形考点 3 体积与面积计算【典例 3】某几何体的三视图如图所示，它的表面积为【变式3】(2011 天津) 一个几何体的三视图如图所示( 单位： m)，则该几何体的体积为_m3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - -

25、 - - - - - - 当堂检测1. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_ (填入所有可能的几何体前的编号) 三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱2.(2011 山东 ) 如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正( 主) 视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正( 主) 视图、俯视图如图；存在圆柱，其正( 主) 视图、俯视图如图其中真命题的个数是( ) A3 B2 C1 D0 3. 在空间，下列命题正确的是（）A. 平行直线的平行投影重合 B.相等的线段在直观图中仍然相等C. 两条相交直线的投影可能平行 D.两条平行线段在直观图中对应的两

26、条线段仍然平行4. （2013 陕西理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 _. 5.（2013 浙江理）若某几何体的三视图( 单位 :cm)如图所示 , 则此几何体的体积等于_3cm. 课后拓展案43233正视图侧视图俯视图（第 5 题图）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - A 组全员必做题1. 下列三视图所对应的直观图是（）ABC D 2. （2012 浙江理 11）已知某三棱锥的三视图( 单位：cm)

27、如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 等 于_cm33. （2010 浙江理数） 若某几何体的三视图 （单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_3cm. B组提高选做题1 （2013 广东）某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是（）A4B143C163D62 （2013 重庆）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）ABCD56035803200240名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 （2013 辽宁）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是_. 参考答案预习自测1.C 2.D 3.A 典型例题【典例 1】D 【变式 1】D 【典例 2】D 【变式 2】C 【典例 3】54【变式 3】6当堂检测1. 2.A 3.D 4.3 5.24 A 组全员必做题1.C 2.1 3.144 B组提高选做题1.B 2.C 3.1616名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -