2022年高中数学三角函数公式及口诀 .pdf

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1、一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k）sin （kZ）cos（2k）cos （kZ）tan （2k）tan （kZ）cot （2k）cot （kZ）公式二：设为任意角， +的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin （） sin cos（） costan （）tan cot （）cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin （） sin cos（）costan （） tan cot （） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与的三角函数值之间的关系：sin （）sin cos（

2、） costan （） tan cot （） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2- 与的三角函数值之间的关系：sin （2） sin cos（2）costan （2） tan cot （2） cot 公式六：/2 及 3/2 与的三角函数值之间的关系：sin （/2 ）coscos（/2 ） sin tan （/2 ） cot cot （/2 ） tan 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - sin （/2

3、）coscos（/2 ）sin tan （/2 ）cot cot （/2 ）tan sin （3/2 ） coscos（3/2 ）sin tan （3/2 ） cot cot （3/2 ） tan sin （3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan （3/2 ）cot cot （3/2 ）tan ( 以上 kZ)注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于/2*k (k Z)的三角函数值，当 k 是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到 相应的余函数值，即sin cos;cos sin;tan c

4、ot,cottan.（奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2 ) sin(4 2 /2 ) ，k4 为偶数，所以取 sin 。当是锐角时，2(270，360)， sin(2 ) 0， 符号为“”。所以 sin(2 ) sin 上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时，角k2 360+（kZ），- 、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正； 二正弦(余割) ；三两切；四余弦 ( 正割) ”这十二字口诀的意思就是说：名

5、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内切函数是“”，弦函数是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“”上述记忆口诀 , 一全正 , 二正弦 , 三内切 , 四余弦还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦 .余弦 .正切 .余切 .同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系

6、:tan 2 cot 1sin 2 csc1cos 2 sec1商的关系：sin /cos tan sec/csc cos/sin cot csc/sec 平方关系：sin2( ) cos2( ) 11tan2( ) sec2( )1cot2( ) csc2( )同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带

7、有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin （）sin coscossin sin （）sin coscossin cos（）coscossin sin cos（）coscossin sin tan （）(tan +tan)(1-tan tan )tan （）(tan tan ) (1 tan

8、2 tan )二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2 2sin coscos2cos2( ) sin2( )2cos2( )112sin2( )tan2 2tan /1 tan2( )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2( /2) (1 cos) 2cos2( /2) (1 cos) 2tan2( /2) (1 cos) (1 cos)另也有 tan( /2)=(1 cos)/sin=sin /(1+cos )万能公式万能公式sin =2tan( /2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan =2tan( /

9、2)/1-tan2(/2)万能公式推导附推导：sin2 =2sin cos=2sin cos/(cos2( )+sin2( ).*，（因为 cos2( )+sin2( )=1）再把*分式上下同除 cos2( ) ，可得 sin2 2tan/(1 tan2( )然后用 /2 代替即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 3sin 4sin3( )cos34cos3( ) 3costan3 3tan tan3( ) 1 3tan2( )三倍角公式推导附推导：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

10、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - tan3 sin3 /cos3 (sin2 coscos2sin )/(cos2 cos-sin2 sin )(2sin cos2( ) cos2( )sin sin3( )/(cos3()cossin2( ) 2sin2( )cos )上下同除以 cos3( ) ，得：tan3 (3tan tan3( )/(1-3tan2()sin3 sin(2 ) sin2 coscos2sin 2sin cos2( ) (1 2sin2( )sin 2sin

11、 2sin3( ) sin 2sin3( )3sin 4sin3( )cos3cos(2 ) cos2cossin2 sin (2cos2( )1)cos 2cossin2( )2cos3( ) cos(2cos 2cos3( )4cos3( ) 3cos即sin3 3sin 4sin3( )cos34cos3( ) 3cos三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 ) ，所以要“挣钱” ( 音似“正弦” ) ）余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”）注意函数名， 即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦

12、表示。另外的记忆方法 :正弦三倍角 : 山无司令 ( 谐音为 三无四立 ) 三指的是 3 倍sin , 无指的是减号 , 四指的是 4 倍, 立指的是 sin 立方余弦三倍角 : 司令无山与上同理和差化积公式三角函数的和差化积公式sin sin 2sin( )/2 2 cos( )/2sin sin 2cos( )/2 2 sin( )/2coscos2cos( )/2 2 cos( )/2coscos2sin( )/2 2 sin()/2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin 2 cos0.5sin() sin( )cos 2 sin 0.5sin() sin( )名师资料总结 - - -

13、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - cos 2 cos0.5cos( ) cos( )sin 2 sin 0.5cos( ) cos( )和差化积公式推导附推导：首先, 我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,

14、若把两式相减 , 就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的 , 我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以, 把两式相加 , 我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样, 我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sin

15、b=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好, 有了积化和差的四个公式以后, 我们只需一个变形 , 就可以得到和差化积的四个公式 .我们把上述四个公式中的a+b设为 x,a-b 设为 y, 那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -