2022年高等数学考研知识点总结 .pdf

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1、1 第四讲定积分与反常积分一、 考试要求1 理解（了解）定积分的概念。2 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定理。3 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5 了解反常积分的概念，会计算反常积分。二、内容提要 1 定义 2 若 f(x) 在a,b 上连续，则存在，特别 3 4 性质： (1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - -

2、- - - - 2 (2) (3) (4) 不等式性质 (5) 估值定理， 则 (6) 积分中值定理：若f(x) 在a,b 上连续，则，注：可在开区间（ a,b ）内取到 . 一般地， f(x) 在a,b 上连续 , g(x)在a,b 上可积且不变号，则 5 定积分的计算 (1) 牛顿莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法 6 反常积分（1）无界区域上的反常积分：设)(xF是)(xf在),(a上的一个原名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页

3、 - - - - - - - - - 3 函数，且)()(),0(limAFFaFA均存在，则称adxxf)(收敛，且定义adxxf)(=)0()(aFF；如果)()(),0(limAFFaFA中有一个不存在，则称adxxf)(发散。同样可定义的收敛，发散，及其值。如果存在c使得cdxxf)(和cdxxf)(都收敛，则称dxxf)(收敛，且定义dxxf)(=cdxxf)(+cdxxf)(。（2）无界函数的反常积分： 设)(xf在,(ba上连续但无界， 而)(xF是)(xf在,(ba上的一个原函数，且)0(aF存在，则称badxxf)(收敛，且定义badxxf)(=)0()(aFbF；如果)0(

4、aF不存在，则称adxxf)(发散。如果)(xf在),ba上连续但无界，同样可定义的收敛，发散，及其值。设存在c使得)(xf在),ca和,(bc上均连续但无界，如果bcdxxf)(和cadxxf)(都收敛，则称badxxf)(收敛，且定义badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(。（3）几个重要的反常积分（i ）若, 1a则apxdx1;1,11pppap发散收敛；（ii ）若, 1a则apxxdxln1;1,1ln1pppap发散收敛；（iii）若,bac则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

5、 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4 bakdxcx)(1, 0k1时收敛；当 k 1 发散。（iv ）dxex2；202dxex三 、重要公式与结论1、若)(xf在,ba上可积（特别它在其上只有有限个第一类间断点），则xadttfx)()(在,ba上连续；若)(xf在,ba上连续，则xadttfx)()(在,ba可微，它是)(xf在,ba上的一个原函数。（变限积分求导）若)(xf连续，而)(),(xbxa可微，则)()()(xbxadttf可微，且)()()()()()()(xaxafxbxbfdttfxbxa2、=)()()()(,

6、)(2,00 xfxfxfxfdxxfa3、 设 f(x+T)=f(x),则特别，aadxxdxx0sinsin，.coscos0aadxxdxx四、 典型题型与例题题型一、定积分的概念及性质 解题提示 1 ）利用定积分定义求数列极限；2）积分badxxf)(为常数. 例 1、设,)cos(sin,cos1sin11434112dxxxNxdxxxMdxxxxP)cossin(43112，则（A） MNP （B） NMP （C） PMN （D） PN0时连续，f(1)=3 且xyyxdttfydttfxdttf111)()()(，)0,0(yx，试求 f(x). 名师资料总结 - - -精品资

7、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8 题型三、定积分的计算方法：1、定积分的计算与不定积分的计算类似，要熟练掌握如下几种基本方法分项积分法，凑微分法，换元积分法，分部积分法。2、与不定积分不同的是作变量替换时相应地要换积分限，不必变量还原了。同时，要注意定积分计算的一些特点，如（1）奇（偶）函数在对称区间上的积分。（2）周期函数的积分，定积分的几何意义等。3、如果被积函数的原函数可求出，一般可用牛顿莱布尼兹公式求定积分。1、利用常用的方法计算

8、定积分(1) 基本方法：牛莱公式，换元积分法，分部积分法例 12、求342cos2sin2dxxxxI例 13、 求2ln021dxeIx ，或，texsin 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 9 例 14、求3222)1(23dxxxxI例 15、求dxxx102)2()1ln(2、利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性方法：利用公式例 16、求xxIx(x)( ee)dx12007113、利用被积函数的周期性

9、例 17、求4021sinsindxxxI例 18、设 n 为自然数，求 I=xxdxnsin0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10 4、利用定积分的几何意义计算积分例 19、求222|4dxxxI5、 循环计算法例 20、求 （注：上限不一样）解：令 x=2-t,dx=-dt,x：02时，t ：20, 则I=022002ln sinln cos ()ln cos.x xttx xddd于是0220022200

10、2022200sin 22(ln sinln cos )ln(sincos )ln2ln 21ln(sin 2 )ln 2ln sin222ln 21ln sinln sin22ln 21ln sinln sin22x uxIxxxxxxxxxu uu uu uu uy yu令ddddddddd ( 令20ln 2ln 2ln sin.22yu uI)d名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 11 故 I=ln 22

11、. 例 21、求解对右边第二个积分：作代换，令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12 6、作变换tbaxbabadttbafdxxfI)()(则dxxbafxfIba)()(21用此方法可以方便的求一些定积分例 22、求4421cosdxexIx分析相当于4,4ba，令ttbax解：令tx，则4421cosdtetIt从而4182sin41822cos1coscos)1)(1(11()1cos1cos(21|4

12、0404024024422xdxxxdxxdxeeeedxexexIxxxxxx例 23、求203cossinsindxxxxI分析相当于0,2ba，令ttbax2解：令tx2，则203023cossincoscossincosdttttdttttI从而412cos814)2sin211(21)coscossin(sin21cossincossin21|202020222033xdxxdxxxxxdxxxxxI评注：利用变换tx2，20)sin,(cosdtttfI，则2020)sin,(cos)cos,(sin21)cos,(sindxxxfxxfdxxxfI名师资料总结 - - -精品资料

13、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 13 例 24、求02cos1sindxxxxI分析相当于0,ba，令ttbax解：令tx，则IdtttdttttdtttdttttI02020202cos1sincos1sincos1sincos1sin)(4cosarctan2cos1sin22002|xdtxxI评注：一般地IdttfdttfttxdxxxfI000)(sin)(sin)()(sin0)(sin2dttfI7、利用分部积分法例 25、设

14、xdtttxf0sin)(，求0)(dxxf例 26、（101）20cosxxdx. . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 14 8、 几类特殊问题 1) 分段函数求积分例 27、(043,4 分) 设11,22( )11,2xxexf xx, 则212(1)f xdx 2) 含有绝对值的积分例 28、求10|)(dtxttxf分析注意到关于 t 的被积函数中含有参数x，积分应对x的取值分情况讨论。但10t，x

15、的取值分三种情形，0 x、1x、10 x解：（ 1）当0 x时，231)()(10 xdtxttxf，（2）当1x时，312)()(10 xdttxtxf，（3）当10 x时，令0|xt，得分界点xt，3123)()()(310 xxdtxttdttxtxfxx注：在被积函数中若有参数，一定要讨论参数的取值，再积分。 3) 含有抽象函数的积分例 29、已知 f()=2, 4)反常积分的计算反常积分是变限积分的极限，因此由定积分的运算法则及极限名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

16、 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 15 运算法则就可得到反常积分的运算法则。下对无穷积分作一说明，无界函数的积分类似。1、设)(xf在),a连续，)(xF在),a连续，),()()( axxfxF。若)()(limFxFx存在，则)()()()(|aFFxFdxxfaa2、设dxxfa)(，dxxga)(收敛，则dxxgkdxxfkdxxgkxfkaaa)()( )()(2121，其中21,kk为常数；3、设)(xf，)(xg在),a有连续的导数，若)()(limxgxfx存在，dxxgxfa)()( 收敛，则dxxgxfxgxfdxxgxfaaa)()( )(

17、)()( )(|，这里)()()()(lim)()(|agafxgxfxgxfxa例 30、（002）22)7(xxdx例 31、（011）exxdx2ln例 32、求 ( 混合型反常积分 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 16 例 33、利用幂级数计算积分解于是题型四、定积分有关命题的证明 (1) 定积分等式的证明方法： 1) 换元积分法； 2) 分部积分法； 3) 参数变易法定积分等式的证明常用如下几种

18、方法1. 换元积分法（由积分限及被积分函数确定变量代换的形式）2. 分部积分法3. 转化为函数恒等式，如可把()abf x dx中的 b 或 a 换为 x，另外还应掌握一些积分技巧。例 34证明222211()()aaadxadxfxf xxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17 例 35、设)(xf在,ba有二阶连续导数，又0)( )(afaf，求证：21( )()()2bbaaf x dxfxxb d

19、x (2) 定积分不等式的证明基本方法：积分估值定理；单调性( 参数变易法 )；微分、积分中值定理；泰勒公式；题设条件： f(x) 在a,b 上 1) 连续；2) 一阶可导； 3)二阶以上可导定积分不等式的证明常用如下几种方法1、定积分的性质（估值等）2、分部积分法3、引进辅助函数（如dttfba)(变为dttfxa)(等）转化为函数不等式。4、积分中值定理或微分中值定理、泰勒公式*例 36、设 f(x) 在0,1 上连续，且对x y, ,有f xfyM xy M( )( ),0证明：f x dxnfknMnkn( )()12101证f x dxnfknf x dxfkndxknknknknk

20、nknkn( )()( )()11011111f xfkndxM xkndxknknknknknkn( )()111Mknx dxMnknknkn()211*例 37、设 f(x) 在0 ，)上连续且单调增加，试证对0b，恒有babadxxfadxxfbdxxxf00)()(21)(证令xdttfxxF0)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 18 babaxdxxxfdttfdxxFaFbF0)()()()()(babadxxxfdxxxfxxf.)(2)()(结论. 或：令xaxadttfadttfxdtttfxF00)()(21)()(xaxxxfxxfdttfxxfxF0,0)()(21)()(21)(又 F(a)=00)(, 0)(bFaxxF结论. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -