2022年高中三年级数学一轮复习教案全套人教A版数学归纳法 .pdf

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1、1 / 7 高三一轮复习 6.7 数学归纳法 教学目标 1. 了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点难点 1. 教学重点 了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2. 教学难点 学会对知识进行整理达到系统化, 提高分析问题和解决问题的能力； 教学策略与方法 自主学习、小组讨论法、师生互动法 教学过程 教学流程教师活动学生活动设计意图考纲了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 真题再现 ; 1古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10, 第n个三角形数为 错误 ! 错误 !n2错误 !n.记第

2、n个k边形数为N,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数N 错误 !n2错误 !n, 正方形数N n2, 五边形数N 错误 !n2错误 !n, 六边形数N 2n2n, 可以推测N的表达式, 由此计算N _. 解析由题中数据可猜想含n2项的系数为首项是错误 !, 公差是 错误 !的等差数列 , 含n项的系数为首项是错误 ! , 公差是 错误 ! 的等差数列 , 因此N错误 !n2错误 !n错误 !n2错误 !n. 故N 11n210n111021010 1 000. 答案1 000 2. 已 知 集 合X 1,2,3,Yn1,2,3,n, 设Sn|a整除b或b。学生通过对高考真题的解决

3、, 发现自己 对知识 的掌握情况。通 过 对 考 纲的解读和分析。让学生明确考试要 求 , 做 到 有 的放矢名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 / 7 整除a,aX,bYn, 令f表示集合Sn所含元素的个数写出f的值；当n6时, 写出f的表达式 , 并用数学归纳法证明解f13. 当n6 时,f错误 !下面用数学归纳法证明当n6 时,f62错误 ! 错误 ! 13, 结论成立；假设nk时结论成立 , 那么nk1

4、时,Sk1在Sk的 基础 上 新增 加的 元素 在 ,中产生 , 分以下情形讨论1若k16t,则k65, 此时有ff3k2错误 ! 错误 ! 32错误 ! 错误 ! , 结论成立；2若k16t1, 则k6t, 此时有ff1k2错误 ! 错误 ! 1 2错误 !错误 !, 结论成立；3若k16t2, 则k6t1, 此时有ff2k2 错误 ! 错误 ! 22错误 !错误 ! , 结论成立；4若k16t3, 则k6t2, 此时有ff2k2 错误 ! 错误 ! 22错误 !错误 ! , 结论成立；5若k16t4, 则k 6t 3, 此时有ff 2k 2 错误 ! 错误 !2 2错误 ! 错误 ! ,

5、结论成立；6若k16t5, 则k6t4, 此时有ff1k2 错误 ! 错误 ! 12错误 !错误 ! , 结论成立 综上所述 , 结论对满足n6的自然数n均成立知识梳理知识点数学归纳法的定义及框图表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 / 7 1数学归纳法的定义证明一个与正整数n有关的命题 , 可按下列步骤进行证明当n取第一个可取值n0时命题成立；假设nk时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,

6、就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示1必知关系； 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法, 第一步是递推的 基础 , 第二步是递推的 依据 , 两个步骤缺一不可2必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点第一步验证nn0时,n0不一定为1, 要根据题目要求选择合适的起始值第二步中 , 归纳假设起着 已知条件 的作用 , 在证明nk1 时, 命题也成立的过程中一定要用到它, 否则就不是数学归纳法考点分项突破考点一用数学归纳法证明等式1. 设f1错误 ! 错误 ! 错误 !求 证f f f nf 1 解 当n2 时, 左边f1,

7、右边 2错误 ! 1, 左边右边 , 等式成立假设nk时, 结论成立 , 即fffkf1, 那么 , 当nk1 时,ffff 学生通过对高考真题的解决, 感受高考 题的考 察视角。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 / 7 环节二kf1 ffk错误 !kff1, 当nk1 时结论成立由可知fffnf1归纳 数学归纳法证明等式的思路和注意点1 思路用数学归纳法证明等式问题, 要 先看项 , 弄清等式两边的构成规律,

8、 等式两边各有多少项, 初始值n0是多少2注意点第二步关键是 一凑假设 , 二凑结论 由nk时等式成立 , 推出nk1 时等式成立 , 一要找出等式两边的变化, 明确变形目标； 二要充分利用归纳假设 , 进行合理变形 , 正确写出证明过程考点二用数学归纳法证明不等式1. 等比数列 an的前n项和为Sn, 已知对任意的nN*,点均在函数ybxr0 且b1,b,r均为常数的图象上求r的值；当b2 时, 记bn2, 证明对任意的nN*, 不等式 错误 ! 错误 ! 错误 !错误 !成立 解 由题意 ,Snbnr, 当n2 时,Sn1bn1r. 所以anSnSn1bn1由于b0且b1,所以n2 时,a

9、n是以b为公比的等比数列又a1br,a2b, 所以 错误 ! b, 即错误 ! b, 解得r 1. 由及b2 知an2n1, 因此bn2n, 所证不等式为 错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! . 当n1 时, 左式 错误 ! , 右式 错误 ! , 左式 右式 ,所以结论成立 假 设nk 时 结 论 成 立 , 即错误 !错误 ! 错误 ! 错误 ! , 则当nk1 时, 错误 !错误 !错误 !错误 !错误 !错误 ! 错误 !, 要证当nk1 时结论成立 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

10、 - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 / 7 只需证 错误 ! 错误 ! , 即证错误 !错误 !, 由基本不等式得错误 ! 错误 ! 错误 ! 成立 , 故错误 !错误 !成立 , 所以, 当nk1 时, 结论成立由可知 ,nN*时, 不等式 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !成立跟踪训练 1. 已知数列 an,an0,a10,a错误 ! an11a错误 ! . 求证当nN*时,anan1. 证明 当n1 时, 因为a2是方程a错误 ! a210 的正根 , 所以a1a2. 假设当nk时,0 akak1, 则由a错误 ! a错误 ! 0

11、, 得ak 1ak2, 即当nk1 时,anan1也成立根据 和, 可知anan1对任意nN*都成立 . 归纳 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键1适用范围当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法2 关键由nk时命题成立证nk1 时命题也成立 ,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明, 充分应用基本不等式、 不等式的性质等放缩技巧, 使问题得以简化考点三归纳猜想证明命题角度1 与数列有关的问题1 数 列 xn 满 足x1 0,xn 1 x错误 ! xnc证明xn是递减数列的充要条件是c0. 若 0c错误 !, 证明数列 xn是

12、递增数列 证明 充分性若c0, 由于xn 1x错误 ! xncxncxn, 所以数列 xn是递减数列必要性若 xn 是递减数列 , 则x2x1, 且x10. 又x2x错误 ! x1cc, 所以c0. 故xn是递减数列的充要条件是c0. 教师引 导学生 及时总结 , 以帮助学生形成 完整的 认知结构。引导学 生通过 对基础知 识的逐 点扫 描 , 来 澄 清 概念, 加强理解。从而为后 面的练 习奠定基础 . 在解题 中注意 引导学生 自主分 析和解决问题, 教师及时点 拨从而 提由 常 见 问 题的 解 决 和 总 结 ,使学生形成解题模 块 , 提 高 模 式识别能力和教师引导学生及时 总

13、结 , 以 帮 助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结 ,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理 ,加强理解记忆 ,提高解题技能。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 / 7 若 0 xn,也就是证明xn错误 !. 下面用数学归纳法证明当0c错误 ! 时,xn错误 ! 对任意n1,nN*都成立当n1 时,x10错误 !错误 ! , 结论成立假设当nk时结论成立 , 即xk错误 !. 因为函数fx2xc

14、在区间 错误 ! 内单调递增 ,所以xk 1ff错误 ! , 这就是说当nk1 时, 结论也成立故xnxn, 即xn 是递增数列命题角度2 与不等式有关的问题2由下列不等式1错误 ! ,1 错误 ! 错误 ! 1,1 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! ,1 错误 ! 错误 ! 错误 ! 2, 你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明 解 一般结论1错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !, 证明如下当n1时, 由题设条件知命题成立假设当nk时, 猜想正确 , 即 1错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! . 当nk1时 ,1 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误

15、 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! , 2k项当nk1时, 不等式成立根据可知, 对nN*, 有 1错误 !错误 !错误 !错误 ! . 归纳 1证明与数列有关的问题应注意两点准确计算a1,a2,a3发现规律 ； 证明ak1时,ak1的求解过程与a2,a3的求解过程相似 , 注意体会特殊与一般性的辨证关系2正确理解 归纳猜想证明模式 归纳猜想证明 的模式 , 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式, 这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用, 它的模式是先由合高学生 的解题 能力和兴教师引导学生及时总结 , 以帮助学生形

16、 成完整 的认知结构。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 / 7 情推理发现结论, 然后经逻辑推理证明结论的正确性环节三课堂小结1. 了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 学生回顾 ,总结 . 引导学生对学习过 程 进 行 反 思 ,为在今后的学习中 , 进 行 有 效 调控打下良好的基础。环节四课后作业学生版练与测学 生 通 过 作业进行课外反思,通过思 考发散 巩固所学的知识。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -