2022年高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题 .pdf

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1、函数专题之值域与最值问题一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+(23x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(2 3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(2 3x) 0 ，故 3+(2 3x) 3 。函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=x(0 x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5）二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原

2、函数的值域。例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2) 的反函数为 :x=(1 2y)/（y1）,其定义域为y1的实数 ,故函数 y 的值域为 yy1,y R。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10 x+10-x)/(10 x10-x) 的值域。（答案：函数的值域为yy1）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例 3：求函数 y=( x2+x+2) 的值域。点

3、拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由 x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时 x2+x+2= （ x1/2 ）29/40，9/4 0 x2+x+23/2,函数的值域是 0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x515 4x 的值域 .(答案 :值域为 yy3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x2 2x+3)/(x2 x+1) 的值域。点拨： 将原函数转化为自变量的二次方程，应用二

4、次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （）当 y2 时,由 =(y 2)24（y2）x+(y 3) 0 ，解得： 2x10/3当 y=2 时,方程 ()无解。函数的值域为2y10/3 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0 ，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c

5、)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2 3x+1) 的值域。（答案：值域为y 8 或 y0 ）。五最值法对于闭区间 a,b 上的连续函数y=f(x), 可求出 y=f(x) 在区间 a,b内的极值 ,并与边界值f(a).f(b) 作比较 ,求出函数的最值,可得到函数y 的值域。例 5 已知 (2x2-x- 3)/(3x2+x+1)0,且满足 x+y=1, 求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围， 将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： 3x2+x+1 0，上述分式不等式与不等式2x2-x- 30

6、同解，解之得1x3/2 ，又x+y=1 ，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(- 1x3/2), z=-(x-2)2+4且 x-1,3/2, 函数 z 在区间 -1,3/2 上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z=5；当 x=3/2 时， z=15/4 。函数 z 的值域为 z 5z15/4 。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 x 为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A（ ， ）B7， C0， ）D5， ）（答案： D）。六图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法

7、得到函数的值域。例 6 求函数 y=x+1 +(x -2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为2x+1 (x 1)y= 3 (- 12) 它的图象如图所示。显然函数值y3, 所以，函数值域3， 。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、 换元法等方法求函数的值域。七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x 1 -3x(x 1/3) 的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= 1

8、-3x,y=f(x)+g(x) ，其定义域为x1/3 ，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解： 设 f(x)=4x,g(x)= 1 -3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x1 -3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为y|y 4/3 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 点评：利用单调性

9、求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x 的值域。 (答案： y|y 3 ) 八换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x- 3+2x+1 的值域。点拨： 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t= 2x+1 （t 0 ）,则x=1/2(t2-1) 。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2 -4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y 7

10、/2 。点评： 将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x 的值域。（答案：y|y 3/4 九构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y=x2+4x+5+x2 -4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)= (x+2)2+1+ (2-x)2+22 作一个长为4、宽为 3 的矩形 ABCD ，再切割成12 个单位正方形。设HK=x, 则 ek=2-x ,KF=2+x,AK=(2

11、-x)2+22 , KC= (x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5 。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的知域为y|y 5 。点评：对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=x2+9 + (5-x)2+4 的值域。（答案：y|y 52）十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数， 进而求出原函数的值域。例 4 已知 x,yR，且 3x-4y-5=0, 求函数 z=x2+y2 的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5

12、=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0变形得， (x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数 ) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=3/5 时，x=3/5,y= 4/5 时， zmin=1 。函数的值域为z|z 1 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式

13、，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知 x,yR， 且满足 4x-y=0, 求函数 f(x,y)=2x2-y的值域。 （答案：f(x,y)|f(x,y)1）十一利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解： y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1) 。 1/(x+1)0，故 y3 。函数 y 的值域为 y3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x- 1)(x

14、1) 的值域。（答案：y2 ）十二不等式法例 6 求函数 Y=3x/(3x+1) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知x/(1-x) 0 1-x0解得， 0 x1 或 y0）的值域为 -1 ，4 ，则a,b的值为 _ 17函数15103032xxxxxxy的最大值是18已知 a,b 为常数，若22( )43,()1024,f xxxf axbxx则5ab三、解答题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

15、理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 19. 求下列函数的值域（1）5442xxy；（2）xxy21；（3）xxy1220 已知函数222( )(0)1xbxcf xbx的值域为 1，3 ，求实数b、c的值。21设函数41)(2xxxf，（1）若定义域为 0 ，3 ，求)(xf的值域；（2）若定义域为1,aa时，)(xf的值域为161,21，求a的值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 -

16、- - - - - - - - 22. 已知函数：)(1)(axRaxaaxxf且（ 1）证明：( )2(2)0f xfax对定义域内的所有x都成立 . （ 2）当( )f x的定义域为1,12aa时，求证：( )f x的值域为 3, 2； * （3）设函数2( )| ()( ) |g xxxa f x, 求( )g x的最小值 . 函数的值域与最值参考答案（三）例题讲评例 1(0,1;4,3);(,4;1, 43 2例 2620,0,03yxxx及2232726182()(03)22Zxxxx，最大值18；最小值272例 3 1,1)；1,1)3；33,33；例 4223(1)2(1)44(

17、1)22111xxxyxxxx，当且仅当41(1)1xxx时取等号；即1x时， y 的最小值是2。没有最大值。另外2211331xyxxx方法同上，即1x时， y 的最大值是12。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为xR。若用判别式法得1162y，当16y时，求得3x，不合。例 55,);(,22；45,);0,3（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2 个小题， 有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。）（四）练习题一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

18、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 答案B C B A A B D C C C A C C 9. 提示：令)14()2()12()(xfxgxfxg，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。10. 提示：由1111244ababababab，111()1145ababab二、填空题14.7 ； 15.4012； 16. a=4, b=3 ； 17. 4； 18.2。15. 提示：()( )( )f abf af b用赋值法或令( )2xf x三、解答题19 解析 先确定

19、函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换. （1）函数的定义域为5, 1xx且，令09,9)2(5422uuxxxu且，即0u或9440409uuu或，函数的值域为),0(94,(；（注）这里运用了不等式性质：baabba110； 解法二 原函数等价于0)45(4, 4)54(22yyxyxxxy即，当0y时，得 4=0，矛盾，0y，)5,1(xxRx且，0)49(0)45(4162yyyyy，解得函数的值域为),0(94,(. （2）函数的定义域为21,(. 作换元，令)0(21212ttxtx，),0)(, 1)1(212122在tfttty上为增函数，名师资料总结 - - -精品

20、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 21)0(fy，函数的值域为),21； 解法二 令xxfxxf21)(,)(21，原函数)()(21xfxfy，)()(21xfxf与在定义域内都是减函数，原函数)(xfy在定义域21,(是减函数，21)21(fy，而当x时，y，函数的值域为),21. （3）函数的定义域为21x，)210(1)11(2112222xxxxxxy，由二次函数性质知函数的值域为0 ，1 ； 解法二 令12xt，)0(212tt

21、x，10, 12212)(2ytttttfy，即函数的值域为0 ，1 20由y=1222xcbxx得 (2 y)x2+bx+cy=0,(*) 当y20, 由xR,有=b24(2 y) (cy) 0 即 4y24(2+c)y+8cb20，由已知得2+c=1+3 且482bc=13 b=2,c=2 又b0, b=2,c=2, 而y2=0,b=2,c=2代入（ *）式得x=0 b=2,c=2 为所求21解：21)21()(2xxf，对称轴为21x，（1）2103x，)(xf的值域为)3(),0(ff，即447,41；（2）,21)(minxf对称轴 1,21aax，212321121aaa，区间 1

22、,aa的中点为210ax，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 当211,2121aa即时，16141)1()1(,161) 1()(2maxaaafxf，49(4302748162aaaa不合）；当123,2121aa即时，161)()(maxafxf，41(45051616,1614122aaaaaa不合）；综上，4543aa或. 22. （1）证明：xaaaxaxaaxxafxf21221)2(2)(0122

23、1121xaxaxaaxaxxaxaax结论成立（2）证明：xaxaxaxf111)()(当112,211211121xaxaaxaaxa时2113xa即2,3)(值域为xf（3）解：)( |1|)(2axaxxxg当axaxxxgaxax43)21(1)(,122时且如果211a即21a时，则函数在),(), 1aaa和上单调递增2min)1() 1()(aagxg，如果agxgaa43)21()(,21211min时即当而当21a时，)(xg在21ax处无定义，故)(xg最小值不存在当45)21(1)(122axaxxxgax时如果45)21()(23211minagxgaa时即如果2mi

24、n) 1()1()()1,()(23211aagxgaxgaa上为减函数在时即当0)21()43() 1(210)23()45()1(232222aaaaaaaa时当时综合得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 当21a时 g （x）最小值是a43当2321a时 g （x）最小值是2)1(a当23a时 g （x）最小值为45a当21a时 g （x）最小值不存名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -