2022年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法 .pdf

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1、2018 年高考数学数列专题复习通项与前n 项和通法一、问题描述一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（ 1）利用nS与1nS的关系；（ 2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n 项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（ 4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重。二、智慧笔记1. 证明等差等比数列 等差数列的证明方法：（1）定义法：1nnaad(常数 ) （2）等差中项法：112(2)nnnaaan 等比数列的证明方法：（1

2、）定义法：1nnaqa(常数) （2）等比中项法：211(2)nnnaaan2. 通项na的求法 累加法： 数列有形如)(1nfaann的递推公式，且)(nf的前 n 项和可求，可利用累加法求) )(211niiinnaaaaa。 累乘法： 数列有形如nnanfa)(1的递推公式，且)(nf的前 n 项积可求，则利用累乘法求出通项)2(123121naaaaaaaaannnn。 已知通项公式na与前 n 项和nS关系求通项： 利用na和nS的关系，若给出nS或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

3、- - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 可以求出nS，则可利用2,1,11nSSnaannn，求na。 辅助数列法： （）递推公式为qpaann1型【其中， p,q 为常数，0)1)(1(qppq】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1nnapa，再设nnba，则bn即为以11ab为首项， p 为公比的等比数列，求出bn的通项公式，从而求出na；（）递推公式为11nnnqpaa型【其中 p,q 为常数0) 1)(1(qppq】.方法为：先在原递推公式两边同除以nq，得qqaqpqannnn111，引入辅助数列bn（其中nnnqab），得qbqpbnn1

4、1，再应用类型（）的方法解决。（）递推关系为cabaaannn 1（其中 a,c 为常数且0ac）型的数列，取倒数得nnnnaacabaacbaa11， 当ba时1na是等差数列；当ba时nnnnaacabaacbaa11，令nnnnabab1111，可利用类型（）的方法解决。3. 典型的求和方法 分组求和法： 数列的通项公式为nnba的形式，其中an和nb满足不同的求和公式，常见于na为等差数列，nb为等比数列或者na和bn分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。 倒序相加法： 讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和， 则这样的数列求和时可用倒序相加法（等

5、差数列前n 项和公式的推导即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 用此方法）。 错位相减法： 求数列nnba和bann的前 n 项和，数列na，bn分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，向后错一项，与原数列的和做差，即nnqSS，然后求nS即可。注意：（）等比数列公比为负数的情形；（）应用等比数列求和公式注意1q，如果不能确定公比q 是否为 1，应讨论。 裂项相消： 将数列恒等变形为

6、连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。常见的裂项相消变化有：（）111)1(1nnnnan；（）)11(1)(1knnkknnan；（）)121121(21)12(1-21nnnnan）（；（）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan；（）nnnnan111；注意：（）使用裂项法，应注意正负项相消时削去了哪些项，保留了哪些项；（）由于数列na中每一项na均裂成了一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必定相同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

7、- - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4. 几个重要考点 方程思想：1()2nnn aaS=1(1)2n ndna等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1, , ,nna aq n S五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。 函数思想： 等差数列na的前 n 项的和221( )()22nddSf nnanAnBn，（A、B 是与 n 无关的常数），关于n 的二次型函数，没有常数项. nS的最大（小）值： 方法一：不等式组思想：nS的最大值100nnaa,求得 n的值 再求nS.nS的最小值100nnaa，求得 n 的值 再求nS.方

8、法二：利用项的单调性求解 .判断哪些项为负数， 哪些项为非负数， 从而求nS的最值 .方法三：(函数思想 )利用nS：由21()22nddSnan，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n 的值 . nS的最大值2( )nSf nAnBn的最大值。nS的最小值2( )nSf nAnBn的最小值。方法四：利用差比或者商比【判定( )nSf n的单调性】(1)(1)( )( )f nf nf nf n的差与零的关系或者的商与 1的关系，从而判定nSfn的单调性 . END 三、智囊例题【例 1】【 2014 高考湖北文第18 题理第 18 题】已知等差数列na满足：21a，且1a、2a、5a成

9、等比数列 . （1）求数列na的通项公式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - （2）记nS为数列na的前n项和，是否存在正整数n，使得?80060nSn若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（ 1）2na或24nan. 【解析】试题分析：（ 1）设数列na的公差为d，根据dd42 ,2,2成等比数列求得d的值，从而求得数列na的通项公 式；（2）由（1）中求得的na，根据等差数列的求和公式求出nS

10、，解不等式80060nSn求出满足条件的的n. 【例 2】【2014 高考湖南卷文第16 题】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 已知数列na的前n项和NnnnSn，22. (1)求数列na的通项公式；(2)设nnanabn12，求数列nb的前n2项和. 【答案】 (1) nan(2) 21222nnTn【例 3】【2015 高考安徽 文 18】已知数列na是递增的等比数列，且14239,8.aaa a名师资料总结

11、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - （）求数列na的通项公式；（）设nS为数列na的前n项和，11nnnnabS S，求数列nb的前n项和nT. （） 由题设可知83241aaaa，又941aa， 可解的8141aa或1841aa（舍去）由314qaa得公比2q，故1112nnnqaa.（）1221211)1 (1nnnnqqaS又1111111nnnnnnnnnnaSSbS SS SSS所以1113221211111.111

12、1.nnnnnSSSSSSSSbbbT12111n. 例 4】【2015 高考山东理18 】设数列na的前 n 项和为nS.已知233nnS. （I）求na的通项公式；（II）若数列nb满足3lognnna ba，求nb的前 n 项和nT. 【解析】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 所以，13,1,3,1,nnnan1363623nn，又1T适合此式 .13631243nnnT【例 5】【2013 浙江 18 理

13、文 19】在公差为d的等差数列na中,已知101a,且3215,22,aaa成等比数列 . (1)求nad,; (2) 若0d,求123|.naaaaL L【答案】解:()由已知得到 : 22221 311(22)54(1)50(2 )(11)25(5)aa aadaddd224112122125253404611nndddddddanan或( ) 由 (1) 知, 当0d时,11nan, 当111n时, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - -

14、- - - - - - - 123123(1011)0|2(21)2nnnnnaaaaaaaaannL LL L当12n时, 1231231112131231112320|()11(21 11)(21)2()()222212202nnnnaaaaaaaaaaaannaaaaaaaannL LL LL LL LL L所以 , 综上所述 :1232(21),(111)2|21220,(12)2nnnnaaaannnL L四智客习题A组（夯实基础）时间： 30 分钟一、选择题（每题5 分，共 60 分）1(2011 年福建泰宁调研)已知等比数列 an中有 a3a114a7，数列 bn是等差数列，且a

15、7b7，则 b5b9() A2 B4 C8 D16 2(2011 年福建泰宁调研)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snnn2，则 a4() A 6 B 8 C12 D 14 3若数列 an是公比为 4 的等比数列，且a12，则数列 log2an 是() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - A公差为2 的等差数列B公差为 lg2 的等差数列C公比为2 的等比数列D公比为 lg2 的等比数列4一个四边形的四个

16、内角成等差数列，最小角为40 ，则最大角为 () A140 B120 C100 D805等差数列 an、 bn的前 n 项和分别为Sn、Tn，且SnTn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数 n 的个数是 () A3 B4 C5 D6 6. (2011 年辽宁 )若等比数列 an满足 anan116n，则公比为 () A2 B4 C8 D16 7(2010 年浙江 )设 Sn为等比数列 an的前 n 项和， 8a2a50，则S5S2() A11 B5 C 8 D 11 8数列 an 中，a11，an，an1是方程 x2(2n1)x1bn0 的两个根，则数列bn 的前 n 项和 Sn() A

17、.12n1B.1n1C.n2n1D.nn19. (2011 年安徽 )若数列 an 的通项公式是an(1)n (3n2)，则 a1a2 a10() A15 B12 C 12 D 15 10.(2011 年四川 )数列 an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)，若 b32，b10 12，则 a8() A0 B3 C8 D11 11. (2010 年北京 )在等比数列 an中，a11，公比 |q|1.若 ama1a2a3a4a5，则 m() A9 B10 C11 D12 12已知Sn为等比数列 an的前 n 项和， a12，若数列1an也是等比数列，则Sn等于 () A2nB3nC

18、2n12 D3n1 二、填空题（每题5 分，共 20 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 13. 已知数列 an满足 a12，an12an1，则 an_. 14. (2010 年福建 )在等比数列 an 中，若公比q4，且前 3 项之和等于21，则该数列的通项公式an_. 15已知数列ann1n为奇数，nn为偶数，则 a1a100_，a1a2a3a4a99a100 _. 16(2011 年江苏 )设 1a1a

19、2 a7，其中 a1，a3，a5，a7成公比为q 的等比数列，a2，a4，a6成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 _B组（能力提升）时间： 20 分钟1. 【2015 高考湖北文19】设等差数列 na的公差为 d，前 n 项和为nS ，等比数列 nb的公比为q已知11ba ，22b，qd ，10100S（）求数列na，nb的通项公式；（）当1d时，记nnnacb，求数列 nc的前 n 项和nT 2. 【2014 高考大纲理第18 题】等差数列na的前 n 项和为nS，已知110a，2a为整数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 且4nSS. （I）求na的通项公式；（II）设11nnnba a，求数列nb的前 n 项和nT.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -