2022年高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备平面的性质与直线的位置关系 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载EABCDA1B1C1D1平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语, 其中命题和叙述方法都正确的是（3）。（1）BA,，AB （2）aa,，a（3）aaA,，A（4）aaA,，A2下列推断中，错误的是（4）。（1）lBlBAlA,（2）CBACBA,，A,B,C 不共线,重合（3）ABBBAA,（4）AlAl,3判断下列命题的

2、真假，真的打“”，假的打“”（1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（）4 如右图，点 E是正方体1111ABCDA BC D的棱1DD的中点，则过点 E与直线AB和11BC都相交的直线的条数是： 1 条5右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与 ED平 行； CN与 BE是异面直线；CN与 BM 成 60o角；

3、DM与 BN垂直 . 以上四个命题中，正确命题的序号是。E A F B C M N D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载6完成下列证明，已知直线a、b、c 不共面，它们相交于点P，A a，D a，B b，E c 求证： BD和 AE是异面直线证明：假设 _ 共面于 ，则点 A、E、B、D都在平面 _ _内A a，D a， _. P a，P _. P b，B b，P c，E c _ _， _，这与

4、 _矛盾BD 、AE_ 答案：假设BD 、AE共面于，则点 A、E、B、D都在平面内。Aa，D a， a . P a，P . Pb，B b，P c，E c. b ， c ，这与 a、b、c 不共面矛盾BD 、AE是异面直线【范例导析】例 1已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,OEkOAOFKOB OGkOC OHkOD，（1）求证：四点,E F G H共面；（2）平面AC /平面EG分析：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。解： 法一：（1）四边形ABCD是平行四边形，ACABAD，EGOGOE，()()()k OCk OAk OCO

5、Ak ACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH,E F G H共面；（2）()EFOFOEk OBOAk AB，又EGk AC，/,/EFAB EGAC所以，平面/AC平面EG法二：（1）EFOFOE,OEkOAOFKOB()EFk OBOAk AB/EFAB同理/HGDC又/ABDC/EFHG,E F G H共面；OABCDHFGE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）由（

6、 1）知：/EFAB，从而可证/EFABCD面同理可证/FGABCD面，所以，平面/AC平面EG点评： 熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。例 2已知空间四边形ABCD. (1) 求证：对角线AC与 BD是异面直线 ; (2) 若 AC BD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点 , 试判断四边形EFGH 的形状 ; (3) 若 AB BC CD DA,作出异面直线AC与 BD的公垂线段 . 分析： 证明两条直线异面通常采用反证法。证明： (1) （反证法）假设AC与 BD不是异面直线，则AC与 BD共面，所以 A、B、C、D四点共面这与空间四边形ABCD的定义矛盾所

7、以对角线AC与 BD是异面直线 (2) 解： E,F 分别为 AB,BC的中点 , EF/AC, 且 EF=21AC. 同理 HG/AC, 且 HG=21AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四边形 . 又 F,G 分别为 BC,CD的中点 , FG/BD, EFG是异面直线AC与 BD所成的角 . AC BD, EFG=90o. EFGH 是矩形 . (3) 作法取 BD中点 E,AC 中点 F, 连 EF,则 EF即为所求 . 点评： 在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例3如图，已知E，F 分别是正方体1111ABCDA B

8、C D的棱1AA和棱1CC上的点，且1AEC F，求证：四边形1EBFD是平行四边形简证：由1AEC F可以证得ABE11C D F所以1BED F又可以由正方体的性质证明1/BED F所以四边形1EBFD是平行四边形变式题 ：如图，已知E、F分别是正方体1111ABCDABC D的棱1AA和棱1CC的中点（）试判断四边形1EBFD的形状；（）求证：平面1EBFD平面11BB D解（）如图，取1BB的中点M，连结1AM、MFM、F分别是1BB和1CC的中点，1DA1ABCD1B1CFEA1ABCD1B1CF1DE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

9、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1DACDPBACDPB11/MFBC，在正方体1111ABCDA BC D中，有1111/ADBC，11/MFA D，四边形11AMFD是平行四边形，11/A MD F又E、M分别是1AA、1BB的中点，1/A EBM，四边形1AEBM为平行四边形，1/EBA M故1/EBD F四边形1EBFD是平行四边形又Rt EABRt FCB，BEBF，故四边形1EBFD为菱形（）连结EF、1BD、11AC四边形1EBFD为菱形，1EFBD在正方体11

10、11ABCDA BC D中，有1111B DAC，111B DA A11B D平面11A ACC又EF平面11A ACC，11EFB D又1111B DBDD，EF平面11BB D又EF平面1EBFD，故平面1EBFD平面11BB D例 4：如图，已知平面,，且,AB PCPDC D是垂足， 试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论解：AB与CD是异面直线。可采用反证法进行证明。变式题 1：如图，已知平面,，且,AB PCPDC D是垂足（）求证：AB平面PCD；（）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解： （）因为,PCAB，所以PCAB同理PDAB又PCP

11、DP，故AB平面PCD（）平面平面。证明如下：设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以CHD是二面角CABD的平面角又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即090CPD在平面四边形PCHD中，090PCHPDHCPD，所以090CHD故平面平面备用题：（1）已知异面直线a,b 所成的角为700，则过空间

12、一定点O，与两条异面直线a,b 都成 600角的直线有条（2） 异面直线 a,b 所成的角为, 空间中有一定点O， 过点 O有 3 条直线与 a,b 所成角都是600，则的取值可能是。A 300 B500 C600 D900解析：（1）过空间一点O分别作aa,bb。将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与ba ,都成 600角的直线。故过点 O 与 a,b 都成 600角的直线有4 条。（2）过点 O分别作aa、bb，则过点 O有三条直线与a,b 所成角都为600，等价于过点O有三条直线与ba ,所成角都为600，其中一条正是角的平分线。从而可知为600。点评： 该题以学生对

13、异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。【反馈演练】1判断题（对的打“”，错的打“” ）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（2）两线段AB 、CD不在同一平面内，如果AC=BD ，AD=BC ，则 AB CD （ ）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）答案：（1）（2）（3）（4）2定点P 不在 ABC所在平面内，过P 作平面 ，使 ABC的三个顶点到 的距离相等，这样的平面共有 4 个。3P为矩形 ABCD 所在平面外一点，且PA 平面 ABCD ，P到 B，C，D三点的距

14、离分别是5 ，17 ，13 ，则 P到 A点的距离是 1 。4直角三角形ABC的斜边 AB在平面 内，直角顶点C 在平面 外， C 在平面 内的射影为C1，且 C1AB ，则 C1AB为钝角三角形。5已知四点，无三点共线，则可以确定 1个或 4 个平面。6某刺猬有2009 根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有 4014 种不同的支撑身体的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 -

15、 - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载方式。【答案】 4014当有 n 根刺时有na种支撑法， n = 4 ，5， 6 ， ，则13 12nnnaaa或1422nnnaaanan = 4 ，5，6，为等差数列，44a24nan，20094014a。7在正方体1111ABCDABC D中，写出过顶点A 的一个平面11AB D，使该平面与正方体的12 条棱所在的直线所成的角均相等( 注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况 ) 。8P为ABC所在平面外一点，PA 、PB 、PC与平面 ABC所的角均相等，又PA与 BC垂直，那么ABC的形状可以是。正三角形等腰三角形非

16、等腰三角形等腰直角三角形【答案】由题意可知ABC的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC 选（ 1） （ 2） （4） 。9给出以下四个命题： （1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外， 则该直线在平面外； （3）若直线 a,b,c中，a 与 b 共面且 b 与 c 共面， 则 a 与 c 共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。10三个平面 ，两两相交， a，b，c 是三条交线。（1）若abP，求证： a，b，c 三线共点 ; (2) 若/ab, 用反证法证明直线a，b，c 互相平行。证明：（1）设,abc则,PPPca，

17、b，c 三线共点于P。（2）假设,a c不平行，,a c共面可设acP由（ 1）可知： a，b，c 三线共点于P，与已知条件/ab矛盾。/aca，b，c 互相平行。11如图，已知,l Al Bl（A,B 不重合）过 A在平面 内作直线AC ，过 B在平面 内作直线 BD 。求证： AC和 BD是异面直线。证明：（反证法）若AC和 BD不是异面直线，设确定平面 ，则由题意可知：平面和都过 AC和 AC外一点 B，所以两平面重合。同理可证平面和也重合，所以平面和也重合。这与已知条件平面和相交矛盾。所以 AC和 BD是异面直线。12如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若 PQ ，CB的延长线交

18、于M ，RQ ，DB的延长线交于N，RP ，DC的延长线交于K。求证： M ，N ，K三点共线。证明：MPQPQR面，BCBCDM面lD B C A A N M R Q P D C B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载M是平面 PQR与平面 BCD 的一个公共点即 M在平面 PQR 与平面 BCD的交线上。同理可证N，K也在该交线上。M ， N ，K三点共线。点评：利用两平面交线的唯一性，是证明多点共线的常用方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -