2022年高考数学一轮复习教案：第四篇三角函数、解三角形第讲正弦定理、余弦定理应用举例 .pdf

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1、第 7 讲 正弦定理、余弦定理应用举例【20XX 年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 (1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为 (如

2、图 (2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30 ，北偏西 45 ，西偏东60 等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉

3、及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 程(组)得出所要求的解双基自测1(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为50 m，ACB45 ， CAB105 后，就可以计算出A，B 两点的距离为 (

4、)A 502 m B503 m C252 m D.2522m 解析由正弦定理得ABsin ACBACsin B，又B30 ABAC sin ACBsin B502212502(m)答案A 2从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ，的关系为 ( )A B C 90 D 180解析根据仰角与俯角的定义易知 . 答案B 3若点 A 在点 C 的北偏东 30 ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ，且 ACBC，则点 A 在点 B 的( )A北偏东15B北偏西15C北偏东 10D北偏西 10解析如图答案B 4一船向正北航行，看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条

5、直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60 ，另一灯塔在船的南偏西75 ，则这艘船的速度是每小时( )A 5 海里B53海里C 10 海里D103海里名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解析如图所示，依题意有 BAC60 ， BAD75 ，所以CAD CDA 15 ，从而 CDCA 10(海里 )，在 Rt ABC 中，得 AB5(海里 )，于是这艘船的速度是50.510(海里 /时)答案C 5海上有A，B

6、，C 三个小岛，测得A，B 两岛相距10 海里， BAC 60 ， ABC75 ，则 B，C 间的距离是 _海里解析由正弦定理，知BCsin 60ABsin 180 60 75.解得 BC56(海里 )答案5 6 考向一测量距离问题【例 1】?如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离， 在这岸定一基线CD，现已测出 CD a 和 ACD60 ，BCD30 ，BDC105 ， ADC60 ，试求 AB 的长审题视点 在 BCD 中，求出 BC，在ABC 中，求出 AB. 解 在 ACD 中，已知CDa， ACD 60 ， ADC60 ，所以ACa. BCD30 ， BDC105 CBD45在

7、BCD 中，由正弦定理可得BCasin 105sin 45312a. 在 ABC 中，已经求得AC 和 BC，又因为 ACB 30 ，所以利用余弦定理可以求得A，B 两点之间的距离为 ABAC2BC22AC BC cos 30 22a. (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解【训练 1】 如图， A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75 ，30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为60

8、 ，AC0.1 km.试探究图中B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解 在 ACD 中， DAC30 ，ADC60 DAC30 ，所以 CD AC0.1 km.又 BCD180 6060 60 ，故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以BDBA. 又 ABC15在 ABC 中，ABsinBCAACsinABC，所以 ABACsin 60sin 153

9、 2620(km) ，同理， BD3 2620(km) 故 B、D 的距离为3 2620km. 考向二测量高度问题【例 2】?如图，山脚下有一小塔AB，在塔底 B测得山顶 C 的仰角为 60 ，在山顶C 测得塔顶 A 的俯角为45 ，已知塔高AB20 m，求山高 CD. 审题视点 过点 C 作 CE DB，延长 BA 交 CE 于点 E，在AEC 中建立关系解如图，设 CDx m，则 AEx20 m，tan 60CDBD，BDCDtan 60 x333x (m)在 AEC 中， x2033x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

10、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解得 x10(33) m故山高 CD 为 10(33) m. (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出 )示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理【训练 2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得 BCD ， BDC ， CDs，并在点 C 测得塔顶A 的仰角为 ，求塔高 AB. 解 在 BCD 中， CBD ，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，所以 BCCDsinBDCsi

11、nCBDs sin sin 在 RtABC 中， AB BCtan ACBstan sin sin . 考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例 3】?如图所示，在梯形ABCD 中， ADBC，AB5，AC9， BCA30 ， ADB45 ，求 BD 的长审题视点 由于 AB5， ADB45 ，因此要求BD，可在ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值在 ABC 中， AB 5，AC9， ACB30 ，因此可用正弦定理求出sin ABC，再依据 ABC 与BAD 互补确定 sin BAD 即可解 在 ABC 中， AB5，AC9， BCA30 . 由正弦定理，得ABsinACB

12、ACsinABC，sinABCAC sinBCAAB9sin 305910. ADBC， BAD 180 ABC，于是 sinBADsin ABC910. 同理，在 ABD 中， AB5，sinBAD910，ADB45 ，由正弦定理：ABsinBDABDsinBAD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解得 BD9 22.故 BD 的长为9 22. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，

13、要注意有利于应用正、余弦定理【训练 3】 如图，在 ABC 中，已知 B45 ，D 是 BC 边上的一点， AD10，AC14，DC6，求 AB的长解 在 ADC 中， AD10，AC14， DC6，由余弦定理得cos ADCAD2DC2AC22AD DC10036196210612， ADC120 ， ADB60 . 在 ABD 中， AD10，B45 ， ADB60 ，由正弦定理得ABsinADBADsin B，ABAD sinADBsin B10sin 60sin 4510322256. 规范解答 9 如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1 解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题

14、建模 准确地画出图形 求解 检验作答 ., 2 三角形应用题常见的类型：,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；,实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；,实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.

15、 【示例 】?(本题满分12 分) 如图， 甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1处，此时两船相距20 海里，当甲船航行20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2处，此时两船相距102海里问：乙船每小时航行多少海里？(1)分清已知条件和未知条件(待求 )(2)将问题集

16、中到一个三角形中(3)利用正、 余弦定理求解解答示范 如图，连接A1B2由已知 A2B2102，A1A23022060102， A1A2A2B2. 又 A1A2B2180 120 60 ， A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A2102.由已知， A1B120，B1A1B2105 60 45 ，(8 分) 在 A1B2B1中，由余弦定理得B1B22A1B21A1B22 2A1B1 A1B2 cos 45 202(102)222010222 200，B1B2102. 因此，乙船的速度为1022060302(海里 /时)(12 分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意

17、图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解【试一试】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30 、相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB 前往 B 处救援，求cos . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 尝试解答 如图所示，在ABC 中， AB40，AC20， BAC120 ，由余弦定理，得BC2 AB2AC22AB AC cos 120 2 800，所以 BC207. 由正弦定理，得sinACBABBC sinBAC217. 由 BAC120 ，知 ACB 为锐角，故cosACB277. 故 cos cos(ACB30 ) cosACBcos 30 sinACBsin 30 2 7732217122114. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -