2022年高中数学《变量间的相关关系》文字素材新人教A版必修 .pdf

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1、用心爱心专心1 变量间的相关性知识导学一、课标要求 1 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、要点清点（一）变量间的相关关系 1 变量间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系， 但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时我们称两个变量具有相关关系。注：相关关系与函数关系的异同点：（1）相同点：两者均是指两个变量的关系。（2）不同点：函数关系是

2、一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系。函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 2 散点图把两个变量作为横、纵坐标， 在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。注： 散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系。 3 正相关、负相关具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。（二）两个变

3、量的线性相关 1 线性相关、回归直线如果散点图中， 相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心2 近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条，我们称之为回归直线。 2 用最小二乘法求回归直线方程。记回归直线方程为yabx，a，b叫做回归系数。 利用最小二乘法可以求得回归系数：1122211(

4、)nniiiiiinniiiix ynx yxxyybxnxxx，aybx。其中11niixxn，11niiyyn。注： （1）我们知道，回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是离差的平方和，即总离差21niiiQyabx， 这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。（ 2）利用最小二乘法求回归系数a，b时，是将离差的平方和Q转化为关于a或b的二次函数，利用二次函数知识求得的。 3 求回归直线方程的步骤（ 1）作出给出数据的散点图，并直观地判断是否是线性相关的；（ 2）求出x，y；（ 3）求出2ix，iix y；（ 4）求出a和

5、b，写出回归直线方程。 4 回归直线方程的应用（ 1）描述两变量之间的依存关系：利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系；（ 2）利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量y）进行估计，即可得到个体y值的容许区间。（ 3）利用回归方程进行统计控制规定y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中2NO的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页

6、- - - - - - - - - 用心爱心专心3 来控制空气中2NO的浓度。5利用散点图和回归直线方程的注意事项（ 1）做回归分析要有实际意义；（ 2）回归分析前，最好先作出散点图，以判断是否是线性相关关系；（ 3）回归直线不要外延。三、范例剖析例 1 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（）A小麦产量与施肥值B球的体积与表面积C蛋鸭产蛋个数与饲养天数D甘蔗的含糖量与生长期的日照天数分析：设球的半径为r，则球的体积为343Vr，球的表面积24Sr，显然这两者不是线性关系。解析：B评注：线性关系是一种函数关系，因此具有确定性。本题中的B两者之间有相关关系，但不具有线性关系。例 2 要分析学

7、生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了 10 名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 入学成绩x63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 期末成绩y65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 （1）若变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）若某学生的入学成绩为80 分，试估计他的期末成绩。解析：（1）1636745888171529958767010 x，165785282928973985677610y。12210.76556niiiniix ynx ybxn

8、x，22.4108aybx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心4 所求线性回归直线方程为22.4108 0.76556yx。（ 2）某学生的入学成绩为80 分，代入上式可求得84y，即这个学生期末成绩的预测值为 84 分。评注： 知道x与y呈线性相关关系， 无须进行相关性检验。否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说， 它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的

9、，而且用其估计和预测的量也是不可信的。例 3 下表是我国居民生活污水排放量的一组数据：年份1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 排放量151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3 试估计 1996 年我国居民生活污水的排放量，并预测 2004 年生活污水的排放量 （单位：810 t） 。分析：要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水的排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996 年，样本容量为7。解析：设1995 年为第 1年， 2002 年为第 8 年，列表，用科学计算器进行有关计算：i1 2 3 4 5 6

10、 7 ix1 3 4 5 6 7 8 iy151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3 iix y151 567.3779.21019 1325.41593.91858.44.857x，202.8y721200iix，721292648.68iiy，717294.2iiix y717222177294.274.857202.811.4520074.8577iiiiix yxybxx，202.8 11.45 4.857147.2aybx。所求回归直线方程为11.45147.2yx，从而当2x时，170.1y；当9x时，250.25y。名师资料总结 - - -精品

11、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心5 1996 年污水排放量估计为8170.1 10t，2004 年污水排放量估计为8250.2510 t。评注：灵活选取数据可以简化运算，当只要求分析两变量相关关系用其解决实际问题时，可选取恰当的变量进行分析。例 3 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积2m115 110 80 135 105 销售价格（万元）24.8 21.618.4 29.2 22 （1）画出数据

12、对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（ 2）的结果估计当房屋面积为1502m时的销售价格。分析：将表中各对数据在平面直角坐标系中描点，便得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，即得散点图；按照求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程。解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：（ 2）5111095iixx，5211570iixx，23.2y，51311.2iiixxyy。设所求回归直线方程为ybxa，则51521311.20.19821570iiiiixxyybxx，23.2 109 0.19821.5962aybx。故所求回归直线方程为0.19821.5962yx。（3）当 x=1502m时，销售价格的估计值为0.1982 150 1.596231.3262y（万元）。评注：研究变量间的相关关系，求得回归直线方程，能帮助我们发现事物发展的一些规律，补充积累资料的不足，估计预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -