2022年高中数学推理与证明专题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载课题: 合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。3. 数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理( 简称归纳 ). 注: 归纳推理的特点; 简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：4. 师生活动例 1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的, 海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例 2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，结论：凸n 边形的内角和是（n2） 1800。例 3,333232,2

2、32232,131232探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！ ”5. 提高巩固数列的通项公式。试归纳出这个且的第一项：已知数列例,.),2, 1(1, 1411naaaaannnn观察猜想证明( , ,)a b mbb+m由此我们猜想：均为正实数 。aa+m归纳推理的发展过程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载?,21,32, 1,2:44321naaaaa

3、求拓展例6. 课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2) 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题：类比推理教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推

4、理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。一问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手 . 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？二数学活动我们再看几个类似的推理实例。例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=ba

5、+c=b+c; (1) aba+cb+c; (2) a=b ac=bc; (2) ab ac bc; (3) a=ba2=b2; 等等。 (3) aba2b2; 等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦 ( 不是直径 ) 的中点的连线垂直于弦球心与截面圆( 不是大圆 )的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等

6、；与球心距离不等的两截面圆不等， 距球心较近名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一

7、类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即例 3. 在平面上 , 设 ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点 ,P 到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, 我们可以得到结论: 试通过类比 , 写出在空间中的类似结论. 观察、比较联想、类推猜想新结论1ccbbaahphphp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

8、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载巩固提高1(2001年上海 ) 已知两个圆 x2+y2=1: 与 x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程. 将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广 , 即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为- - 2 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形3 个面两两垂直的四面体C903 个边的长度a， b，c 2 条直角边a，b 和1 条斜边 cPDF P

9、DE EDF 904 个面的面积S1，S2，S3和 S 3 个“直角面” S1，S2，S3 和 1 个“斜面” S3 （2004，北京） 定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_ ， 这 个 数 列 的 前n项 和Sn的 计 算 公 式 为_ 课堂小结1 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间

10、的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 （猜想）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题：演绎推理一复习 :合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想二问题情境。观察与思考1 所有的金属都能导电铜是金属 , 所以，铜能够导电2. 一切奇数都不能被2 整除 , (2100+1) 是奇数，所以， (210

11、0+1)不能被 2 整除 . 3. 三角函数都是周期函数, tan 是三角函数 , 所以， tan 是 周期函数。提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二学生活动：1. 所有的金属都能导电大前提铜是金属 , -小前提所以，铜能够导电结论2. 一切奇数都不能被2 整除大前提(2100+1) 是奇数，小前提所以， (2100+1)不能被 2 整除 . 结论3. 三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数 , 小前提所以， tan 是 周期函数。结论三，建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一

12、般模式；包括大前提 - 已知的一般原理；小前提 - 所研究的特殊情况；结论 -据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式M P（M是 P）（大前提）SM （S是 M ）（小前提）SP（S是 P）（结论）3. 三段论推理的依据, 用集合的观点来理解: 若集合 M的所有元素都具有性质P,S 是 M的一个子集 , 那么 S中所有元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（小前提）是二次函数函数12x

13、xy也都具有性质P. 四，数学运用恢复成完全三段论。的图象是一条抛物线”、把“函数例112xxy解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）例 2. 已知 lg2=m, 计算 lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23 小前提lg8=3lg2 结论 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例 3. 如图 ; 在锐角三角形ABC中,ADBC, BE AC, D,E是垂足 , 求证 AB的中点 M到 D,E 的距离相等解： (1) 因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, 大前提在 ABC中

14、,ADBC,即 ADB=90 - 小前提所以 ABD是直角三角形结论(2) 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线, 小前提所以 DM= 21 AB结论同理 EM= AB 所以 DM=EM. 五 回顾小结：演绎推理具有如下特点: 课本第 33 页 。演绎推理错误的主要原因是1大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。作业：第35 页练习第 5 题 。习题 2。1 第 4 题。结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12xxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

15、 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题：直接证明- 综合法与分析法2教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学过程 : 学生探究过程：证明的方法（1） 、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中， 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考

16、方法，应用十分广泛。（2） 、 例 1 设 a、 b 是两个正实数， 且 ab， 求证：a3+b3a2b+ab2证明： ( 用分析法思路书写)要证 a3+b3a2b+ab2成立，只需证 (a+b)(a2-ab+b2) ab(a+b) 成立，即需证 a2-ab+b2ab 成立。 ( a+b0) 只需证 a2-2ab+b20 成立，即需证 (a-b)20 成立。而由已知条件可知，ab，有a-b 0，所以 (a-b)20显然成立，由此命题得证。 ( 以下用综合法思路书写) ab， a-b 0， (a-b)2 0，即 a2-2ab+b20 亦即 a2-ab+b2 ab 由题设条件知， a+b0，(a+

17、b)(a2-ab+b2)(a+b)ab 即 a3+b3a2b+ab2，由此命题得证例 2、若实数1x，求证：.)1 ()1 (32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1 ()1(3xxxx=3242422221333xxxxxxx =)1(234xxx =)1()1(222xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载=.43)21() 1(222xx,043)21(,0) 1(, 122x

18、xx且从而, 043)21()1(222xx.)1 ()1 (32242xxxx例 3、已知,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设. 0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0, 1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。教学反思： 本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点 . “变形”是解题的关键，是

19、最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题：间接证明- 反证法 (1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设 ，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾 ，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法( 结论的反面只有一种) 与穷举反证法 ( 结论的反面不只一种) 。用反

20、证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1) 反设； (2) 归谬； (3) 结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/ 不是；存在/ 不存在；平行于/不平行于；垂直于/ 不垂直于；等于/ 不等于；大( 小) 于/不大 ( 小 )于；都是 / 不都是；至少有一个 /一个也没有；至少有 n 个/ 至多有 (n 一 1) 个；至多有一个 / 至少有两个； 唯一/ 至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。 导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公

21、理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。(2) 、例子例 1、求证：2不是有理数例 2、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）例 3、设233ba，求证.2ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例4 、 设 二 次 函 数qpxxxf2)(， 求 证 ：)3(, )2(,) 1(fff中至少有一个不小于21. 证明：假设) 3(, )2(, )1 (fff都小于21，则.2)3()2

22、(2) 1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1 ()3()2(2)1 ()3()2(2)1 (qpqpqpffffff（2）（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 5、设 0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，ab

23、c 0 ，求证： a, b, c 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法( 结论的反面只有一种) 与穷举反证法( 结论的反面不只一种) 。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1) 反设； (2)

24、归谬； (3) 结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/ 不是；存在 / 不存在；平行于/ 不平行于；垂直于/ 不垂直于；等于/ 不等于；大 ( 小 ) 于/ 不大 ( 小)于；都是 / 不都是；至少有一个/一个也没有； 至少有 n 个/ 至多有 (n 一 1) 个；至多有一个 / 至少有两个；唯一 /至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。名师资料

25、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题 : 数学归纳法1数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）2数学归纳法公理：（1） （递推奠基） ：当 n 取第一个值n0结论正确；（2） （递推归纳） ：假设当 n=k(k N*，且 kn0) 时结论正确；（归纳假设）证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明）由 (1) ， (2) 可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。【例题评析】例

26、1 . 用数学归纳法证明2) 1()13(1037241nnnn例 2：用数学归纳法证明11111231nnn(nN,n2) 说明：注意从 n=k 到 n=k+1 时, 添加项的变化。EX :1.用数学归纳法证明:111111111234212122nnnnn(1) 当 n=1 时, 左边有 _项, 右边有 _项；(2) 当 n=k 时, 左边有 _项, 右边有 _项；(3) 当 n=k+1 时, 左边有 _项, 右边有 _项；(4) 等式的左右两边, 由 n=k 到 n=k+1 时有什么不同 ? 变题:用数学归纳法证明21111222n (n N+)例3 ：设f(n)=1+11123n, 求

27、 证n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n 2) 【课堂小结】1数学归纳法公理：（1） （递推奠基） ：当 n 取第一个值n0结论正确；（2） （递推归纳） ：假设当 n=k(k N*，且 kn0) 时结论正确；（归纳假设）证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明）由 (1) ， (2) 可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。2.注意从 n=k 到 n=k+1 时, 添加项的变化。 利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与 f(k)的递推关系 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

28、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【反馈练习】1用数学归纳法证明3kn3(n 3,n N) 第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2用数学归纳法证明111112312nn nNn且第二步证明从“k 到 k+1”，左端增加的项数是( ) A. 12k B 12k C 2k D 12k3若 n 为大于 1 的自然数，求证2413212111nnn证明 (1)当 n=2 时，2413127221121(2) 假设当 n=k 时成立，即2413212111kkk2413) 1

29、)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当4用数学归纳法证明nn1n2nn21 32n1 , nN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载课题 : 复习课一、教学目标：1了解本章知识结构。2进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 课题 : 数学归纳法3认识数学本质，把握数学本质

30、，增强创新意识，提高创新能力。二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力三、教学过程：【创设情境】一、知识结构：【探索研究】我们从 逻辑上 分析归纳、类比、演绎的推理形式 及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程 及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。【例题评析】例 1：如图第 n 个图形是由正边形“扩展”而来, （，） 。则第 n2 个图形中共有_个顶点。推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证

31、法数 学 归 纳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载变题： 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第 n 个图案中有白色地面砖块。例 2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,，则22cossin=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_; 变题 1：已知， m是非零常数， xR,且有()fxm= 1()1()fxfx,问 f(x)是否是周期函数？若是，求出它

32、的一个周期，若不是， 说明理由。变 题2 ：数 列na的 前n项 和 记 为Sn， 已 知).3 ,2, 1(2, 111nSnnaann证明：（）数列nSn是等比数列；（）.41nnaS第 1 个第 2 个第 3 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3：设 f(x)=ax2+bx+c(a 0), 若函数 f(x+1)与函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证：1()2fx为偶函数。例 4：设Sn=1+111.23+ +n (n1,n N), 求 证 ：212nnS（2,nnN）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -