2022年高中数学《指数函数》教案新人教A版必修 .pdf

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1、用心 爱心 专心1 26 指数函数【要点导学】 1 、指数函数的定义形如)10(aaayx且的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 指数函数的解析式) 10(aaayx且的结构特征是：xa的系数是 1，且指数是x. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 例如), 10(Rmaaaymx且；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如) 10(aaayx且，这是因为它的解析式可以等价化为)10()1(aaayx且. 2、指数函数)10(aaayx且的图象和性质a1 0a1 图象性质 定义域： R 值域： (0,+ ) 过点 (0,1) ，即x=0时，1y 在R上是增函数 在R 上

2、是减函数指数函数) 10(aaayx且的图象和性质是在1a及10a这两种情况下分别给出的，a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，掌握指数函数的图象特征，有利于进一步理解和应用指数函数的性质. 【范例精析】例 1 求下列函数的定义域和值域：（1）31)21(xy；（2）xay1. 思路剖析根据函数式的特征, 结合指数函数的性质求解. 解题示范(1) 要使函数有意义，必须03x即3x.031x,1)21()21(031xy.1yxo 1 y1yxo 1 y)1(aayx)10(aayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

3、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用心 爱心 专心2 又0y,0y且1y.函数的定义域为,3|Rxxx, 值域为 10|yyy且.(2) 要使函数有意义，必须01xa,即1xa. 当1a时 ,0 x；当10a时 ，0 x. 0 xa,11xa. 又01xa, 10y当1a时, 函数的定义域为0|xx, 当10a时, 函数的定义域为0|xx.值域为 10|yy. 回顾反思1、对于求指数函数与其它函数复合而成的函数的定义域时, 充当指数的式子取全体实数都有意义, 求值域时 , 要注意到指数函数本身的要求0 xa, 并利用好

4、指数函数的单调性 . 2、在利用指数函数)10(aaayx且的单调性解题时， 要特别注意a的范围，a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提，当a的范围不确定时，要对a分1a及10a两种情况分别求解，以区别它不同的增减情况. 例 2 将下列各数从小到大排列起来：31)32(，21)53(，323，21)52(，32)23(，0)65(，3)2(，31)35(思路剖析先确定所要比较的几个数是大于0，还是小于0，然后再分别对（0，1）和（1，+）内的数运用指数函数的单调性比较大小. 解题示范3)2(1；021)53(，21)52(，31)35(32)23(31)23(=31)32(. 同理可得2

5、1)52(21)53(31)35(. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用心 爱心 专心3 3)2(21)52(21)53(31)35(0)65(31)32(32)23(323. 回顾反思比较幂的大小，可先与特殊值0，1 进行比较，然后再利用指数函数的单调性进行比较 . 当指数相同， 底数不同时， 可用作商法比较大小，如本题中比较32)23(与323的大小 . 例 3 求函数xxxf2221)(的单调区间，并证明之

6、. 思路剖析先利用复合函数的单调性求出单调区间, 然后再用函数单调性的定义证明. 解题示范令xxu22，uuf21)(在 R上为减函数，要求)(xf的单调区间，只要求xxu22的单调区间即可. xxu22在1,上单调递减，在, 1上单调递增 , 函数)(xf的递增区间为1,上单调，递减区间为, 1. 证明：令uuf21)(，xxxu2)(2. 设21xx， 则)()(21xuxu=)2(2222121xxxx =)2)()(2)(2121212221xxxxxxxx.21xx,021xx. 当1,21xx时，0221xx, 这时0)2)(2121xxxx, )()(21xuxu，1 ,)(在x

7、u上为减函数 .当,1,21xx时，0221xx, 这时0)2)(2121xxxx, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用心 爱心 专心4 )()(21xuxu，, 1)(在xu上为增函数 . uuf21)(在 R上为减函数，函数xxxf2221)(在1,上单调递增，在, 1上单调递减 . 回顾反思求由指数函数与其它函数复合而成的函数)1, 0()(aaayxf的单调区间，常利用复合函数法求解. 对于指数函数的复合

8、函数)1,0()(aaayxf的单调性的证明问题仍然用定义法，但考虑到指数函数单调性的特点，常转化为用定义证明)(xf的单调性. 例 4 已知149yx，求12123yx的值域 . 思路剖析根据条件对目标函数12123yx消元，将目标函数转化为熟悉的函数. 解题示范149yx, xy914. 95)313(21)91 (21331421331232121xxxyxyx , 令0,3ttx，则95)31(21232121tyx，当0t时，95)31(21)(2ttf为增函数，21)0()(ftf，即12123yx21. 12123yx的值域为（),21. 回顾反思消元法是数学中的常用方法，当所求

9、目标中的变量较多时，常用消元法消去多余的变量，使问题变得明了、清晰. 在求解本题时，还需要注意指数函数本身的特点0 xa. 例 5 画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程kx|13|无解？有一解？有两解？思路剖析先利用图象变换法作出函数的图象，再运用数形结合法求解. 解题示范先作函数xy3的图象，然后将xy3的图象向下平移1 个单位，再将所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用心 爱心 专心5

10、得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，得|13|xy的图象，如图所示. 由图象可得，当k 0 时，直线ky与函数|13|xy的图象无交点 , 原方程无解 . 当k = 0或k 1 时，直线y = k与函数|13|xy的图象有一个交点，原方程有一解. 当 0 k 0 ，a 1 ，问x为何值时有（1）21yy？（ 2）21yy？12、求函数| 1|21xy的定义域、值域、单调区间，并作出其图象.13、求下列函数的单调区间：（1）34260 xxtgy；（2）12121xxy. 14、已知函数3234xxy的值域为 7 ，43 ，试确定x的取值范围 . 15、若0442yx, 5424yxz

11、， 求z的取值范围 . 【素质提高】16、若函数1311xmy的定义域为R,求实数m的取值范围 . 17、 画 出 函 数|21)21(|xy的 图 象 ， 并 利 用 图象 回 答 ：k为 何 值 时 ， 方 程kx|21)21(|无解？有一解？有两解？18、已知mcba,都是正整数 ,mmmcba, 当m取怎样的值时,长分别为cba,的三线段能构成三角形? 2.6指数函数 1、C 2、C 3、A 4、B 5、B 6、 （，） 7、1a8、3a 9、), 1( 10、33aa或 11、 （1）31xx或； （2）当 0a1 时，1x 1 时，x3 12、定义域xR , 值域10y, 增区间

12、1 ,(, 减区间),1 , 图象略 13、（1）增区间), 2，减区间2,(； （2）增区间21,(，减区间),2114、2 ，3 15、213z 16、0m 17、当k21时，无解；当21k时，方程有唯一解 (x= 0) ；当k = 0 时，方程有两解 (x=1) ；当210k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用心 爱心 专心7 时，方程有四个不同解 18、1m，Zm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -