2022年高中物理竞赛-天体部分习题精选 .pdf

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1、1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零. 证明设球壳单位面积质量为 , 壳内 P点处有一质点 m,如图 4-17 所示, 球壳上取一小面元 S1, 距 P 为 r1, 过此面元边界与P 连接并延长 , 在球壳上又取下对应面元 S2, 距 P为 r2, 可得 S1与S2对质点 m的总万有引力 Fi为Fi=F1- F2. 图 4-17 Fi=G 1mr12 S - G 2mr22 S=G m(121rS - 222rS). 从图中可得121rS - 222rS. 因为 S1和S2很小, 所以S1=S1cos , S2=S2cos, 即121rS =222rS. 这样可得

2、Fi=0. 所以 F=ii=1F=0. O P 1SV2SV1r2rO 1SV2SVP 1SV2SV名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2.两个质量为 1.0g 的质点相距 10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.如果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？解设想 m1绕 m2做半径为 l 的圆周运动，m2为圆心 . 由于两质点只有万有引力作用，故可视为 m1做类似于太阳

3、系行星的运动. 设 m1在 A点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动， m2为焦点，如图 4-18 所示. 设圆运动和椭圆运动的周长分别为 T和 T，圆半径和椭圆半长轴分别为l 和 l，由开普勒第三定律有23lT=3lT21当 m1在 A 点的速度减为零时，有l12，则 m1从 A 运动到 m2的时间 t=2T.又因为 m1做圆周运动时，受向心力Fn=122m mlG=m1l224T作用，故23lT=224mG. 2由1、2两式得 T=2（l）3221mG，所以 t=2T=(12)3221mG=1.36108s. 3.求半径为 R 的液态行星中心处压强， 假设液态不可压缩且密度为.若 R=6.4 1

4、06m，=1.7 103kg/m3，计算此压强。图 4-18 A 1ml TT 2m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解将行星球体分成大量厚r 的薄球层 . 不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零 . 为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m的微粒 . 圆锥从球层上分出面积分别为S1和 S2两部分（图 4-19）. 若球层单位面积表面摊有物质的质量为，则S1和 S2部分对质量 m的万有引力分别为1121mSr

5、FG，2222mSrFG，但是1121cosrS2222cosrS, 式中：为圆锥顶点O处立体角 . 作 OM1=OA1和 OM2=OA2，所以OA1M1=OA2M2. 图 4-19 此外，OA1B1=OA2B2. 因为1=OA1B1-OA1M1，2=OA2B2- OA2M2，所以1=2，因此，121rS=222rS. 结果 F1 =F2，这两个力彼此相互平衡 . 对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论 . 体积 Sr 元层所受指向行星中心的引力为324rr3=rSFG . 式中： r 是从此元层到行星的距离 . 由此求出厚 r 部分压强的增加为24p=rr3FGS . 于是在离

6、行星中心距离r0处的压强为204p=p +rr3G. 11A1B1S1MO 1r22S2A2B2M2r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 由于rr等于图像 y=r 与轴 r 所围图形面积，所以2200+r-r-rrr=22RRR（）（），因而222002p=p +r3GR （）. 取行星表面处压强等于零，得到22202p=r3GR （）. 在行星中心处（ r0=0）压强等于222p=3GR. 代入和 R数值，得到P

7、1.6 1029N/m2. 4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km2的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R地=1.5 108km 的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向， 在地球轨道上太阳光压强为p=10-5pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时， 它可以飞到半径 R火=2.3 108km 的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响. 太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M太G=1.3 1011km3/s2. 解（1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为F=G2M mR太地 - p

8、S = G2M mR太地 - G22mpmRSGR地地名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - = G22M- pSR /Gm mR太地地（）可见， 太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力. 这个力结果是使太阳质量不是M太，而是某个减少后的等效质量，即M效= M太- 2pmSRG地. 我们利用引入的等效质量， 可以不考虑太阳光压而进一步解题. 在质量为 M效的物体的引力场里，航天器总机械能为E = 12mv2 - GmMR

9、效. 根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于E = 12mv2地- GmMR效地，式中： v地为航天器在离太阳距离R地且当帆张开时具有的速度。根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度. m2v地地R = G2mMR太地，即 v地 = MGR太地. 由此可见，E = G mR地(- M2M太效) = G mR地(2p-m2MSRG太地). 如果 E0, 即在下面条件下2p-m2MSRG太地0，航天器可以飞离太阳系。由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。（2）设 M为某一质量 m1时，航天器与火星轨道相切， 航天器能够飞到火星名师资料总结 - - -精品资料欢迎

10、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m中，m1是最大的 . 在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R地+R火） （图 4-20） ，在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。根据机械能守恒定律，有211m v - 2地G1m MR效地 = 211m v2火 - G1m MR效火，V2地 - V2火 = 2GM效（1R地 - 1R火）. 根据开普勒第二定律V地R地= V火R火，即V火= V地RR地火. 综合上两式并

11、考虑到v地= MGR太地，经不太复杂代换后得到2 M效 R火= M太（R火+ R地） ，即 2（M太- 2pmSR地1G）R火 = M太( R火+ R地）. 由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m1：m1 = 22pmSR地太G-RRR火火地104kg. 5. 质量为 400kg 的宇宙飞船绕地球沿离地面高h1=200km 的圆周轨道运行 .启动火箭，发动机在短时间t 内工作，使宇宙飞船速度增加了v=10m/s ，而运行轨道变为椭圆形，离地面最近距离 h1=200km ， 离地面最远距离 h2=234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v2为多少，火箭发动机牵引力F 多大，工作时

12、间 t 多长，消耗燃料质量 m 多少以及火箭发动机的工作效率多大 . 飞船质量的变化不计 .地球的半径 R6370km ，地球的质量 M=6 1024kg，万图 4-20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 有引力恒量 G=6.67 10-11N m2/kg2，每秒消耗燃料m0= mt= 1kg/s ，喷气流速度 u=4000m/s. 燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2 107J/kg. 解离地面最近点宇宙飞船速度v

13、1等于v1= v0 + v . 沿圆周轨道运行速度v0可以由下面方程求得201mv2 = 1m2MGR . 式中： R1 = R + h1 = 6.57 106m . 由此 v0 =1GMR代入数值，得到v0 = 24-1166.67106 106.5710=7.805103m/s , v1=7.805103+10=7.815103m/s. 根据动量守恒定律，有mv1R1= mv2R2所以在远点速度 v2为 v2=112v RR，式中： R2 = R + h2 = 6.604 106m . 代入数值，可得v2= 3667.815106.570106.604 10 =7.775 103m/s.

14、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力F Ft = mu，式中： m为在时间 t 内火箭发动机喷出的气体质量，u 为喷气流速度 . 改写这方程F = mutVV =cm u. 代入数值，得到F=14000=4310N. 发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到：Ft = mv，得：m v40010t=1s4000FVV. 消耗燃料和氧化剂的质量m 可以根据对于“飞船燃料物”系

15、统动量守恒定律得到：m v= muVV，即m v40010m=1kgu4000VV. 火箭发动机工作效率由下式确定：=PQ，式中 P为发动机功率， Q为燃料燃烧时释放的功率。由于20m u=2P，Q=m0q，所以火箭发动机工作效率等于：2327u4 10=0.67.2q2 1.2 10（）6.木星彗星族的形成粗略描述为下面.彗星从遥远处无初速“落”向太阳，并从木星不远处飞过（图4-21）当木星引力场对彗星的显著影响消失后，它又在太阳引力场中运行，并且它的速度方向与木星速度方向相反 .彗星新轨道的远日点位于图 4-21 木星* 太阳远日点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

16、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 木星轨道附近，即在离太阳为R=5.2 天文单位处. 试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳多远处 . 解注意：太阳为巨重木星103倍，结果同太阳影响相比，木星引力范围大小为其轨道半径的10-6. 并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短. 因而， 在这段时间内彗星的摄动就算不了什么 . 所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段：（1） 彗星从遥远处沿着指向太阳系方向， 在太阳引力作用下运行； （

17、2）在木星引力场里 “瞬间”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运行（且可不必考虑木星的影响）. 木星受到太阳（质量为M ）的引力作用而沿着圆周轨道运行，其条件为22v=RGMR. 由此得到木星的速度v=GMR. 当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度kv由能量守恒定律得出2kv-=02GMR，即k2GMv =2vR. 木 星 和 彗 星 两 星 速 度 方 向 互 相 垂 直 ， 则 彗 星 相 对 木 星 速 度 等 于1v =3 - 1 v（） . 从飞出木星引力场后（第三阶段开始）， 彗星相对与行星速度只改变了方向，而相对太阳速度大小为1v =3 - 1v（）现在彗星重新仅与太阳相互作用，在远

18、日点和近日点速度均垂直于从太阳引出的半径矢量，于是根据开普勒第二定律有12vv xR. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 根据能量守恒定律有2212vv - = - 22xGMGMR. 解上述两个方程，有1x = = 5.2R天文单位，这是轨道远日点与太阳距离；22- 3x =0.37 =1.9-1RR（）（ 3 ）天文单位，这就是所求轨道的近日点到太阳的距离. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -