2022年高考经典椭圆与双曲线的经典性质归纳 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载椭圆与双曲线的性质-（必背的经典结论）椭圆1.点 P处的切线PT 平分焦点 PF1F2在点 P 处的 外角. 2.PT 平分焦点 PF1F2在点 P处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以 PF1或 P F2为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab上 ， 则 过0P的 椭 圆 的 切 线 方 程 是00221x xy yab. 6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为

2、P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex；(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则 MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭

3、圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab. 双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角.

4、 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P在右支；外切：P在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 名师资料总结 - - -精

5、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载7.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线 上 任 意 一 点12F PF， 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为122t2F PFSb co. 8.双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy

6、在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、 N 两点，则 MF NF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0） 的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22abKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在双曲线22221xya

7、b（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的性质-（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线

8、BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为 椭圆 上 任 意一 点 ，在 PF1F2中 ， 记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5.若椭圆22221xyab（ab0）的左、 右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当21e1 时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d与 PF2的比例中项

9、. 6.P为椭圆22221xyab（ab0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载定点，则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyab（ab0） ，O 为坐标原

10、点， P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最 小值为22224a bab，最大值为a2+b2;（3）OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设 P 点是椭圆22221xyab（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为 其焦 点

11、记12F PF， 则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设 A、B 是椭圆22221xyab（ ab0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心 率 ， 则 有 (1) 222cosc-acos2abPA2.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知椭圆22221xyab（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且yBC轴，则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭

12、圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

13、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1.双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任 一 点 ,F1, F2是

14、焦 点 , 12PF F, 21PF F， 则t a nt22cacoca（或tant22cacoca）. 4.设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5.若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内

15、一定点， 则21| 2|AFaPAPF,当且仅当A,F1,P 三点共线且P和 A,F1在 y 轴同侧时，等号成立. 7.双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8.已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴

16、于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上同一支上的任意两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 2cot221bSFPF. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - -

17、- - - - 学习好资料欢迎下载12.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2222a-cosccos2abPA. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、 B 两点,点C在右准线l上，且yBC轴，则直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

18、焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). ( 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -