2022年高中数学论文：由一道数学选择题的求解过程所想到的 .pdf

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1、1 高中数学论文由一道数学选择题的求解过程所想到的题目： 设函数2)(xf，23)(bxaxxg，若)(xfy的图像与)(xgy的图像有且仅有两个不同的公共点),(),(2211yxByxA，则下列判断正确的是（）A 当0a时，0,02121xxxx B 当0a时，0,02121xxxxC 当0a时，0,02121xxxx D 当0a时，0,02121xxxx开始接触这一题的时候，直觉这是有关图像公共点问题，应该采用数形结合的方法，于是大部分的学生都很快地在草稿上画图，有些学生能根据图像判断出结果，但说不上理由，有些学生虽想画图，但不知如何入手1小题小做解法1：223bxax有两个解，xbxa

2、x22有两解bxaxy2与xy2的图像有两个交点。解法2：223bxax有两个解，22xbax有两解，baxy与22xy的图像有两个交点。考察以上图像，大部分学生都是说，显然可得D由这个过程可以看到：（1）如果满足于考试得分，那么的解法1,2就可以实现，理由呢？基本上都说不上来，此法是很典型的“会而不对，对而不全”1。oxy1x2xoxy1x2xoxy1x2xoxy1x2x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 （2

3、）以上图像方法确实比较简单，但为什么还有一部分学生执着于一元三次函数而不得其法呢？即如何选择函数使解题更为简单呢？（3）选择三次函数能否解决此题呢？2. 解法分析解法 1 的补充说明 ： 当0a时，AO,是直线与抛物线的两个不同的交点，故在第一象限内， 射线OA在抛物线的下方， 所以02212xx， 所以021xx， 所以0,02121xxxx； 同理可得，当0a时，0,02121xxxx解法 2的补充说明 ：如图， 当0a时，baxy单调递增，12axbaxb ，221222xx， 所以12| |xx，且0,021xx，12xx ，即120 xx同理可得，当0a时，12120,0 xxx x

4、3解题思考显然，考察解法1，解法 2 的函数图像对此选择题来说比较简单，特别地，解法1 即为 2012 山东理选择题10，但还是有这样的遗憾：难道命题老师的原意就仅仅想玩变形的技巧吗？是否还有其他通性通法呢？题目中给出的三次函数仅仅是为了设置解题障碍吗？即是否可以考察三次函数223bxaxy与x轴的位置关系呢？图像交点问题还有其他解题视角吗？解法 3：因为方程0223bxax有两个根，根据实系数方程虚根成对出现原则，方程有两相等实根，不妨设其根为211,xxx，则)()(222123xxxxabxax，展开可得.2.02.2221212121axxxxxabxx当0a时，由可得02x，由可得0

5、221xx，所以01x，021xx；0121xxx；当0a时，同理可得021xx，021xx说明 ：若关于x的一元三次方程023dcxbxax)0(a有三个不同的实根321,xxx，则22oxy1x2x11(,)A xx11(,)Axx22oxy1x2x11(,)A xx11(,)Axx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 adxxxacxxxxxxabxxx321133221321，一元三次方程韦达定理作为一元二

6、次方程韦达定理的延续，也可视为一元二次函数两点式)(21xxxxay的延续，在研究一元三次函数的图像性质上有着广泛的应用，在思维上有一定灵活性和深广度4提升思考研究一元三次函数32yaxbx(0)a的图像可发现：当1xx ，即123bxa时，函数取得极大值， 当0 x时，函数取得极小值，021xx表示点)2,(1x比点)2,(2x离直线0 x更远，作直线1xx 可发现，若能证明12()()fxf x即可。解法4：当0a时，2)()(21xfxf，且21xx，则01x，02x，02)()()()()()(31213121311112axxbxabxaxxfxfxfxf所以)()(12xfxf，又

7、)(xf在区间),0上单调递增，所以12xx，021xx同理可得当0a时，021xx，021xx说明： 这个性质可视为偶函数)(xfy，若)()(21xfxf，则021xx性质的拓展，刻画了曲线与极值线的偏离程度，比偶函数的性质更具一般性，广泛性。比起其他复杂函数更具代表性。由此可得推广命题：若直线ty)20(t与23bxaxy的交点从左到右分别记为321,ttt，则1212xtt，032tt. 对于以上的推广命题：不妨以求证1212xtt为例（其中123bxa） ：因为3223211211111 111111(2)( )(2)( )26(124)84fxtf tfxtf tatax taxb

8、x taxbx其中令3223211111( )26(124)84y tatax taxbx taxbx ，1(,tx，2222211111111( )6121246 ()64640y tatax taxbxa txaxbxaxbx， 所 以( )y t在 区 间1(,x上单调递减，11( )()y ty x，即112(2)()0fxtf t，112(2)()fxtf t，又( )f x 在区间1(,x上单调递增，所以2112ttx，即1212xtt5反思一元三次函数是高中阶段学习的一种新型函数，在高考中的地位是毋庸置疑的，每年都可以见到以一元三次函数为背景的函数综合题。主要是因为这个函数具有承

9、前启后的作用，一方面可视为一元二次函数的延续，可以用初等数学的方法研究此函数，另一方面它与高等数学又有着紧密的联系，导数的所有基本思想基本方法都能在一元三次函数中体现出来，并且比一些超越函数在运算上简单。但在人教A版教材中仅对一些具体的一元三次函数的单调区间和极值进行了讨论，但没有对一般的一元三次函数的图像和性质oxy21x2x1xotxy1x1t23tt2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 做系统的讲解，学生对

10、此函数的图像性质的了解不全面，因此对比较综合的函数题的解决也就难于突破。盲目采用一些复杂的函数进行强化练习，不仅会增加学生的负担，而且会让学生更加云里雾里，让学生只见树木不见森林。因此在教学中，注重对一元三次函数的图像性质的研究，让学生掌握对该函数的图像性质的研究方法，可以达到事半功倍的效果。参考文献 1罗增儒 . 中学数学解题的理论与实践M. 南宁：广西教育出版社,2008.9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -