2022年高中数学必修⑤..《余弦定理》教学设计 .pdf

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1、课题：必修1.1.2 余弦定理三维目标：1、知识与技能（1）通过对任意三角形边长和角度关系的合作探索，掌握余弦定理的内容及其证明方法；（2）能运用余弦定理与三角形内角和定理及相关的三角知识解斜三角形的两类基本问题；（3）通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能，为下一步学习打好基础。2、过程与方法引领学生从已有的几何、三角知识出发, 共同探究在任意三角形中，边与角的关系，引导学生通过观察、分析、实践、交流，用各种方法推证余弦定理及其推论，在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角、向量知识的工具性作用及所带来的分类讨论思想、转化思想及数形结合思想；通过用向量推导三角公式，体会向量的

2、强大威力，锻炼自己的抽象思维能力和推理论证能力；通过公式的推导与应用，进一步体会三角知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、余弦定理、向量的数

3、量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：用向量法推导余弦定理及其基本应用教学难点：余弦定理的探索、推导以及综合运用。教具：多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：同学们，上一节课我们学习了正弦定理，通过初步运用，

4、我们进一步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力请同学们回顾一下正弦定理所带来的三角公式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 若在ABC中，已知bACcAB,和角 A即已知两边及夹角，怎样求另一边BC ？能直接用正弦定理求吗？显然不能，能否还有其它的关于边角的公式呢？有了正弦定理，是不是应该还有余弦定理呢？今天，我们一起探讨这个问题 二、 创设情境合作探究：【创设情境 】下面，我们就来解决上面提出的问题：在ABC中，

5、已知bACcAB,和角A即已知两边及夹角，怎样求另一边 BCC b a A c B 【分析】 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。【合作探究】A 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 如图设CB a，CA b

6、，AB c，那么cab，则bc22222cc cababa ab ba baba b C aB 从而2222coscababC同理可证2222cosabcbcA2222cosbacacB于是得到以下定理【继续探究 】这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（引导学生推出） 从余弦定理，又可得到以下推论：【开拓视野 】 （根据班级学生实际情况，可与学生交流一下下面的两种推导方法，一是进一步巩固相关知识的运用；而是感受各余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222

7、cosbacacB2222coscababC222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bacCba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 种数学思想方法的本质和联系。 ）几何法：在ABC中，已知a，b和角C，求c。 （即用a、b、C表示c）分两种情况讨论 (证明过程略 )得出余弦定理：2222coscababC（当C为锐角、直角或钝角时都成立，特别是当C为直角时即表现为勾股定理的形式）坐标法：利

8、用两点间的距离公式推导出余弦定理：2222coscababC（这里点B的坐标对角C是锐角、直角或钝角都成立）同理，可得：2222cosabcbcA，222cos2bcaAbc，2222cosbacacB，变形222cos2acbBac，2222coscababC；222cos2abcCab。【点评】cO( ,0)A b(cos,sin)B aC aC()CxyabACBabcACBabcDD(1)(2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - -

9、- - - - - - 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。【思考】勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（引导学生总结） 若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。三、互动达标巩固所学：问题.1 在三角形 ABC中，已知 b=60cm,c=34cm ，A=410. 解三角形（角度精确到 10, 边长精确到 1cm ）: 【分析】 直接运用正弦定理求出其它

10、元素即可【解析】82.1676cos2222Abccba所以，)(41 cma再用正弦定理求出5440. 0sinC00106,33,BCbc【点评】 此问题是一个最基本的问题，第一步直接利用余弦定理求出一条边，然后再运用正弦利用正弦定理求出其它的元素。此题是一个运用两定理的基本问题。关于这方面的综合题，两个定理经常要结合起来运用。对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。问题.2 例 2在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形【分析】显然，可 直接运用余弦定理的推论来求解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

11、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【解析】 由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B；0000180() 180(56 2032 53)CAB090 47.【分析】 解决这类基本问题关键是运算能力，所以要通过这些题目培养运算能力。四、思悟小结：知识线：（1）余弦定理及其推论；（2）相关的三角公式

12、和性质；（3）向量性质的运用。思想方法线：（1）公式法；（2）等价转化思想；（3）分类讨论思想方法。题目线：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）利用余弦定理解决的基本问题已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。五、针对训练巩固提高：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【小试牛刀 】在三角形ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 0.10,边长精确到 0

13、.1cm）: (1) a=2.7cm , b=3.6cm , C=82.20. (2) b=12.9cm ,c=15.4cm , A=42.30. (3) a=7cm , b=10cm ,c=6cm. (4) a=9.4cm , b=15.9cm ,c=21.1cm. 【巩固提高 】1. 在ABC中，一定成立的等式是：A B C D2. 在ABC中，60 ,7 6,14Bba，则A= 。3. 如果在ABC中，3a，7b，2c，那么 B等于：A6B4C3D324. 在ABC中，9a，10b，12c，这个三角形是 _三角形。5. 钝角三角形的三边长为2, 1,aaa，其最大角不超过0120，则a的

14、取值范围是：A30a B323a C32a D251a6. 在ABC中，已知45,26,32Bca，求b和角 A. 说明：试用两种方法来解决这个问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7. 在ABC中，已知21,29,20cba，解三角形。8. 在ABC中，已知bccba222，求角 A. 10. 已知ABC中，acosA=bcos B，请判断三角形的形状【作业】【巩固提高】中第5 题（提示一下，主要为了训练解不等式）课本： 第 10 页 A 组 3 （1）4 （1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -