2022年高等数学第一章函数与极限试题需打印 .pdf

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1、高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设 F(x)是连续函数f(x) 的一个原函数，NM表示“ M 的充分必要条件是N” ，则必有（A） F(x)是偶函数f(x) 是奇函数 . （B） F(x)是奇函数f(x) 是偶函数 . （C） F(x)是周期函数f(x) 是周期函数 . （D） F(x)是单调函数f(x)是单调函数2设函数,11)(1xxexf则（A）x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点. （B）x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点（C）x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点. （D）x=0 是 f(x) 的第二类间断点，x=

2、1 是 f(x) 的第一类间断点. 5已知9)(limxxaxax，则a( )。A.1 ；B.；C.3ln；D.3ln2。8极限：xxx11lim0=（）A.0 ；B.；C21；D.2 9. 极限：)(lim2xxxx=（）A.0 ；B.；C.2 ；D.2110极限 : xxxx2sinsintanlim30=（）A.0 ；B.；C.161；D.16 二. 填空题11极限12sinlim2xxxx= . 13. 若)(xfy在点0 x连续，则)()(limxfxfxx=_；16. 若函数23122xxxy，则它的间断点是_20. 函数)(xfy在点 x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三

3、个条件是三. 计算题21. 求).111(lim0 xexxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - xxxxf25lg1223.求lim2 x(3 x)25xx;24.求limx(11xx)x;25.求lim0 x)3(2tansin22xxxx27. 计算极限nnnn1)321 (lim28. 求它的定义域。746153lim22nnnnn31. 求33. 求)1(limnnn在前面加上sin 34.求nnnnn32

4、32lim35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限2,2, 1xxxxy2x0,310,sinxxxxy0 x48. 研究函数在指定点的连续性0, 10,sin)(xxxxxf x00 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断， 指出是哪类间断点。11)(xxf ,x 1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0,00,1)(xxxxf，x51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。0, 10,)(2xxxxf，x52. 证明 f(x) x2是连续函数55. 试证方程2x33x22x30 在区间 1,2至少有一根名师资料总结 - - -

5、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 57. 试证正弦函数y = sin x 在 (- , + ) 内连续。58. 函数 f (x) = x = 00 xxxx，；，在点 x = 0 处是否连续？59. 函数)(xf=0001sinxxxx，；，是否在点0 x连续？60. 求极限xaxx1lim0.答案：一.选择题1.A 【分析 】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解 】方法一：任一原函数可表示为xCdttf

6、xF0)()(，且).()(xfxF当 F(x)为偶函数时， 有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x) 为奇函数；反过来，若f(x) 为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A) 为正确选项 . 方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除 (B) 、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=221x, 排除 (D); 故应选 (A). 【评注 】 函数 f(x) 与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有

7、何关系? 2. D【分析 】显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解 】由于函数 f(x) 在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点. 且)(l i m0 xfx，所以 x=0 为第二类间断点；0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D). 【 评 注 】应 特 别 注 意 ：1lim1xxx，.1lim1xxx从 而11limxxxe，.0lim11xxxe5 C 8 Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式= 21111lim) 11()11)(11(lim00 xxxxxxx.（

8、有理化法 ）9 D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 错误 ！10 C解原式161821lim)2()cos1(tanlim32030 xxxxxxxx. 注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim30 xxxx.二.填空题11. 2 13. 0 16. 2, 1x三. 计算题21 . 【分析 】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【

9、详解 】)1(1lim)111(lim200 xxxxxexexxxex=2201limxexxxx=xexxx221lim0=.2322lim0 xxe23.e324.e225.6127. 3 28. 解：由 x2解得 x-2 由 x解得x由 5 x解得x2.5 函数的定义域为x2.5 x-2 且 x1或表示为（ 2.5,1 ）（ 1,-2 ）31 . 解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

10、 - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn33 . 解：nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn34 . 解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn35 . 解：因为3lim,2lim22yyxx，yyxx22limlim所以函数在指定点的极限不存在。 因为0031lim,00sinlim00y

11、yxx，yyxx00limlim所以函数在指定点的极限0lim0yx处连续。在函数而解0)0()(lim1)0()(1sinlim)(lim.480000 xfxffxfxxxfxxxx49. 间断，函数在x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在x0 处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断，0)(lim0 xfx但 f(0)1，两者不相等，第一类间断点52. 证明：x0( , ) 因为2022)lim(lim)(lim000 xxxxfxxxxxx，f(x0)=x02所以)()(lim00 xfxfxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

12、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 因此，函数f(x)x2是连续函数。55 . 证明：设f(x) 2x33x22x3，则 f(x) 在1,2 上连续， f(1) 20 根据零点定理，必存在一点(1,2) 使 f( ) 0，则 x就是方程的根。57.证x (- , + ) ，任给 x 一个增量 x，对应的有函数y 的增量y = sin(x+x)- sin x = )2cos(2sin2xxx. xxxy222sin20，由夹逼准则知，y 0 （ x0） ，再由 x 的任意性知正弦函

13、数y = sin x 在其定义域(- , +) 上处处连续，即它是连续函数。58. 解注意 f (x)是分段函数，且点0 x两侧 f 表达式不一致。解法 1f (0 - 0 ) =0)(lim0 xx，f (0 + 0 ) =0lim0 xx，0)(lim0 xfx. 又 f (0 ) = 0， 函数 f (x) = x 在点 x = 0 处连续（图119） 。解法 2 )0(0)(lim)(lim00fxxfxx， 函数在点0 x左连续；又)0(0lim)(lim00fxxfxx， 函数在点0 x右连续， 所以函数在点0 x连续。59.证虽然 f 是分段函数，但点x= 0两侧函数表达式一致。)0(01sinlim)(lim000fxxxfMxx，)(xf在点 x = 0 处连续60.解令 a x 1 = t，则 x = loga (1+t ) ，当 x0 时， t0, 原式aetttatatatlnlog1) 1(log1lim)1(loglim100. 特别地，11lim0 xexx，这表明 x0时， x ex - 1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -